基本数字信号处理：第三章 变换域中的离散时间信号

主要内容：傅立叶变换－离散时间傅立叶变换（Discrete-TimeFourierTransform，DTFT)（定义、收敛条件、性质）离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)（定义、性质）Z变换（定义、收敛条件、逆变换、性质）3.1离散时间傅立叶变换3.1.1定义傅立叶频谱的性质：1.2.傅立叶反变换（InverseDiscrete-TimeFourierTransform,IDTFT）：

3.1.2收敛条件（convergence)

如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在3.1.3带限信号（BandlimitedSignals) 3.1.4

DTFT的性质

1.一般性质 2.复序列的对称性 3.实序列的对称性

Table3.2

序列的离散时间傅立叶变换的基本性质

性质序列离散时间傅立叶变换

线性时移频移频率微分卷积相乘

帕斯瓦尔公式

Table3.3

复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系

序列离散时间傅立叶变换

Table3.4

实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系序列离散时间傅立叶变换

对称关系

注:和分别代表着的偶部和奇部3.1.5

能量密度谱

k=input(‘频率点数量=’);num=input(‘分子系数=’);den=input(‘分母系数=’);w=0:pi/(k-1):pi;h=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,real(h));grid;title(‘实部’);xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’);subplot(2,2,2)plot(w/pi,imag(h));grid;title(‘虚部’);xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’);3.1.6使用Matlab计算DTFTsubplot(2,2,3)plot(w/pi,abs(h));grid;title(‘幅度谱’);xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘幅度’);subplot(2,2,4)plot(w/pi,imag(h));grid;title(‘相位谱’);xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘相位，弧度’);频率点数量=256分子系数=[0.008-0.0330.05-0.0330.008]分母系数=[12.372.71.60.41]3.2离散傅立叶变换3.2.1定义

3.2.2矩阵关系

3.2.3用MATLAB计算DFT例3.11N=input('输入序列的长度=');M=input('输入离散傅立叶变换长度=');u=[ones(1,N)];U=fft(u,M);t=0:1:N-1;stem(t,u);title('原始时域序列');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');pause;subplot(2,1,1);k=0:1:M-1;stem(k,abs(U));title('DFT抽样点的幅度');xlabel('频率序号k');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);stem(k,angle(U));title('DFT抽样点的相位');xlabel('频率序号k');ylabel('相位');例3.12K=input('输入离散傅立叶变换长度=');N=input('输入离散傅立叶逆变换长度=');k=1:K;U=(k-1)/K;u=ifft(U,N);k=1:K;stem(k-1,U);title('原DFT抽样点');xlabel('频率序号k');ylabel('振幅');pause;subplot(2,1,1);n=0:1:N-1;stem(n,real(u));title('时域抽样点实部');xlabel('时间序号n');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);stem(n,imag(u));title('时域抽样点虚部');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');3.3

DTFT与DFT的关系3.3.3

DFT用于DTFT的数值计算

3.4DFT的性质Table3.5

DFT的基本性质性质长度为N的序列N点离散傅立叶变换

线性循环时移循环频移二元性N点循环卷积相乘

帕斯瓦尔公式

Table3.6

复序列的离散傅立叶变换的对称关系序列离散时间傅立叶变换

注:和分别代表着x[n]信号的周期共轭性对称及周期共轭性反对称部分.同时,Xpcs[k]和Xpca[k]分别代表着X[k]的周期共轭性对称及周期共轭性反对称部分Table3.7

实序列的离散傅立叶变换的对称关系序列离散时间傅立叶变换

对称关系

3.4.1序列的循环移位（circularshift）

3.4.2循环卷积（circularconvolution）

例（3.15、3.16、3.17）3.5.1两个实序列DFT的计算

3.5实序列DFT的计算3.5.2

2N点实序列DFT的计算

3.6使用DFT计算线性卷积3.6.1

两个有限长序列的线性卷积

例3.20x=input('输入第一个序列=');h=input('输入第二个序列=');L=length(x)+length(h)-1;XE=fft(x,L);HE=fft(h,L);y1=ifft(XE.*HE);k=0:1:L-1;subplot(2,1,1);stem(k,y1);title('基于DFT的线性卷积结果');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');y2=conv(x,h);error=y1-y2;subplot(2,1,2);stem(k,error);title('误差序列');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');3.6.2有限长序列与无限长序列的线性卷积

例3.21R=64;d=rand(R,1)-0.5;form=1:1:R;s(m)=2*(m-1)*((0.9)^(m-1));x(m)=s(m)+d(m);endk=0:1:R-1;M=input('滑动平均滤波器长度=');h=ones(1,M)/M;y=fftfilt(h,x,4);plot(k,s,'r-',k,y,'b*');legend('r-','s[n]','b*','y[n]');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');通常情况下，当N>M时，长度为M的序列h[n]与长度为N的序列x[n]的N点循环卷积的前M-1个样本与h[n]和x[n]的线性卷积不同，而后N-M+1个样本则相同例（略）3.7Z变换3.7.1定义与DTFT的关系：Z变换需在指定其收敛域才能唯一对应一个序列与傅立叶变换收敛的关系：1、序列g[n]的傅立叶变换当且仅当其z变换的收敛域包含单位圆时一致收敛2、傅立叶变换存在不能推出z变换存在例：hLP[n]傅立叶变换存在，但z变换不存在，因为hLP[n]r-n对所有的r不绝对可加3.7.2有理z变换 本书LTI离散时间系统所涉及的z变换都为z的有理函数，可以表示为或3.8有理Z变换的收敛域例3.29num=input('输入分子系数=');den=input('输入分母系数=');[z,p,k]=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp('零点在');disp(z);disp('极点在');disp(p);disp('增益常数');disp(k);disp('极点半径');disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp('二阶部分');disp(real(sos));zplane(num,den);3.9逆Z变换3.9.1定义3.9.2部分分式展开法（partial-fractionexpansion）例：3.9.3用MATLAB进行部分分式展开部分分式展开： [r,p,k]=residuez(num,den)

（其中r为留数向量，p为极点向量，k为常数向量。）逆运算： [num,den]=residuez(r,p,k)3.9.4长除法

3.9.5用MATLAB计算逆Z变换

impz: [h,t]=impz(num,den) [h,t]=impz(num,den,L)filter:

y=filter(num,den,x) x为冲激信号，y为冲激响应的时域表达…长除法3.10Z变换的性质

特性序列z变换收敛域共轭时间翻转线性包括时移,但z=0或∞除外

乘于指数

X[z]的微分