数值分析李庆杨-第一章 引论

数值分析一、什么是数值分析

数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.实际问题→数学模型→数值计算方法

→程序设计→上机计算求出结果第1章绪论§1数值分析的研究对象与特点二、数值分析的基本内容1、数值逼近

插值法函数逼近与曲线拟和数值积分与数值微分2、数值代数

线性代数问题(方程组和特征值)非线性方程(组)数值解法3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法三、数值分析的特点vs1、面向计算机

2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性3、良好的计算复杂性4、数值实验Cramer法则vsGauss消去法.四、如何学好数值分析1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析

3、积极动手上机实践2、注重实际问题，练习、作业

五、教学参考书

《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社《科学和工程计算基础》施妙根等清华大学出版社《数值分析》，易大义等编，浙江科学技术出版社《数值方法教程》，刘钦圣等编,冶金出版社,1998《计算方法》，秦林祥等编,兵器工业出版社,1992《数值分析基础》，关治等编,高教出版社,1998一、误差来源、分类

观测误差截断误差或方法误差模型误差§2数值计算的误差截断误差：舍入误差数制转换、机器数.在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类：1.模型误差2.观测误差3.截断误差4.舍入误差误差用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述数学模型的准确解与实际问题的真解不同实际问题的真解数学模型的真解为减化模型忽略次要因素定理在特定条件下建立与实际条件有别模型误差在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差根据实际情况可以得到误差上下界数值方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方法与之适应观测误差精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差例如,函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式

截断误差（介于0与x之间）近似代替，则数值方法的截断误差是

截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差舍入误差误差

例如在计算时用3.14159近似代替，产生的误差R=-3.14159=0.0000026…就是舍入误差。上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析二、误差、有效数字定义1

绝对误差，简称误差：误差限：相对误差：相对误差限：定义2例142.195,0.0375551,8.00033,2.71828,按四舍五入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.例2考察三位有效数字重力加速度g,若以m/s2为单位,g≈9.80m/s2,若以km/s2为单位,g≈0.00980km/s2,解1：若取近似值x*=3.1415，绝对误差是0.0000926…，有，即m=0,n＝4，故近似值x*=3.1415只有4位有效数字．解2：x*＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x的小数后第3位的半个单位，故近似值x*=3.1415准确到小数点后第3位．故近似值x*=3.1415只有4位有效数字

例3设x==3.1415926…，求x*=3.1415的近似值及有效数字定理１

例4解：设取n位有效数字，相对误差限*r=，例5 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： －0.00200 9000.00解因为x1*=－0.00200，m=－3绝对误差限0.000005=因为m=－3，n=3，x1*=

－0.00200有3位有效数字.a1=2，相对误差限r=x2*=9000.00，绝对误差限0.005，因为m=3，n=6，x2*=9000.00有6位有效数字，相对误差限为r＝如果认为小数点后边的0无用，将9000.00随便写作9000＝9×103，那么它的绝对误差就是=0.5=0.5×103－4+1，即m=3，n=4，表明这个数有4位有效数字．

可见，小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.三、数值运算的误差估计误差分析简介

向后误差分析法区间分析法概率分析法§3误差定性分析、避免误差危害一、病态问题与条件数

二、算法的数值稳定性考虑初始数据误差在计算中的传播问题.控制递推公式中误差的传播

对于一个数学问题的求解往往有多种数值方法在选择数值方法时，要注意所用的数值方法不应将计算过程中难以避免的误差放大的较快，造成计算结果完全失真。例

计算积分并估计误差解容易得到递推公式

即为则准确的理论递推式实际运算的递推式两式相减有

这就是说,若与的误差为=-,即

，则误差的递推规律为

于是

计算时的误差被扩大了倍,显然算法是数值不稳定的。如果将递推公式

变换一种形式准确的理论递推式实际运算的递推式从而有即于是有则这个算法的误差传递规律为

即每计算一步的误差的绝对值是上一步的十分之一，误差的传播逐步缩小，得到很好的控制，这个算法是数值稳定的算法的数值稳定性算法优劣的标准从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少.从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定.从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现.设计算法时应遵循的原则要有数值要稳定性,即能控制误差的传播.避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上.避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失.避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出.三、避免误差危害的若干原则除了分清问题是否病态和算法是否数值稳定外,还要考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则.1.避免‘大数’除以‘小数’例8

仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组

解：错.为什么,怎么办？减少运算误差原则2、两个相近的数相减，会严重损失有效数字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效数字，但x-y=0.43只有两位有效数字通常采用的方法是改变计算公式,例如当与很接近时,由于用右端代替左端公式计算,有效数字就不会损失

减少运算误差原则当x很大时可作相应的变换

则用右端来代替左端。

减少运算误差若干原则当x接近0时

一般情况，当f(x)≈f(x*)时，可用泰勒展开取右端的有限项近似左端。如果计算公式不能改变，则可采用增加有效位数的方法保证精度例11

仿计算机在3位十进制下，３、防止‘大数’吃‘小数’例求二次方程x2-105x+1=0的根解：按二次方程求根公式

x1=(105+(1010-4)1/2)/2x2=(105-(1010-4)1/2)/2

在8位浮点数计算得

x1=(105+105)/2=105(正确）,

x2=(105-105)/2=0(错误）产生错误的原因 ①出现大数1010吃掉小数4的情况 ②分子部分出现两个相近数相减而丧失有效数位常称为灾难性的抵消4、绝对值太小的数不宜做除数当分母为两个相近数相减时,会丧失有效数字这里分子的误差被扩大104倍,再如若将分母变为0.0011,即分母只有0.0001的变化时,计算结果却有了很大变化减少运算误差若干原则例

计算

解:分子分母分别计算后相除(取9位小数)

A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012=0.000000009(有舍入)

B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135=0.000000051(有舍入)

D=A/B=0.17647

真值为0.16948148…，所以D只准确到小数后一位减少运算误差若干原则

算法2。分成三组因子。每组只取六位小数计算

a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入)b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入)D=a*b*c=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482,准确到小数后5位。bca减少运算误差若干原则5、简化计算步骤，减少运算次数减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差

例：x255=xx2x4x8x16x32x64x128

原先要做254次乘法现只需14次即可例如计算多项式

p(x)=anxn

an-1xn-1

…

a1x

a0的值若直接计算akxk,再逐项相加，一共要做

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法

减少运算误差若干原则如果将前n项提出x，则有p(x)=（anxn-1

an-1xn-2

…

a1）x

a0

=((anxn-2an-1xn-3…

a2)xa1）x

a0

=(…(anxan-1)x…a2)xa1)xa0写成递推公式

减少运算误差若干原则于是,这种多项式求值的算法称为秦九韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序实现简单

本章小结

误差在数值计算中是不可避免的，误差的传播和积累直接影响到计算结果的精度。在研究算法的同时，必须注重误差分析，使建立起来的算法科学有效。按照误差产生的来源可分为模型误差、观测误差，截断误差、和舍入误差等。误差的表示法有绝对误差和相对误差两种。在表示一个近似数时,要用到有效数字的概念,这在数值计算中非常有用,有效数字是由绝对误差决定的通常用函数的泰勒展开对误差进行估计作业习题P19:2,

5,7,9.

规格化浮点数

x=0.a1a2...at10c

ai{0,1,2,…,9},a10，LcU计算机中的数系阶码尾数溢出错误计算机中数的计算特点:1.加法先对阶,后运算,再舍入2.