离散时间信号及其Z变换

第3章离散时间信号及其Z变换第1节离散时间信号——序列第2节序列的Z变换及其性质第3节序列的Z反变换31一月2023第3章第1节离散时间信号一、序列——离散时间信号的定义

离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数值的信号，简称离散信号，也称离散序列。时间上离散的数据在时域内表示为离散时间信号，其只在离散时刻才有定义。工程上是从连续时间信号经抽样得到的离散时间信号。31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

1、单位抽样（脉冲）序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

2、单位阶跃序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

3、矩形序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

4、单边指数序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

5、斜变序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

6、正弦、余弦序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

6、正弦、余弦序列周期序列：如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞

则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。正弦序列的周期性：31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

6、正弦、余弦序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

6、正弦、余弦序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

7、复指数序列31一月2023第3章第1节离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）

8、用单位脉冲序列表示任意的序列31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

1、相加两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相加。序列的累加（求和）：31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

2、相乘两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相乘。序列的数乘：31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

3、移位（延时）31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

4、反褶（转置）31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

5、尺度变换——压缩和扩展序列的压缩也称为序列的抽取，即将序列中的某些值去除后剩下的序列值按次序重新排列，其结果使序列缩短。31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

5、尺度变换——压缩和扩展序列的扩展也称为序列的延伸（补零、内插零值），是在原序列的相邻序号之间插入零值，重新排列使原序列延长。31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

6、差分运算差分是指同一个序列中相邻序列号的两个序列值之差，根据所取序列相邻次序的不同分为前向差分和后向差分。高阶差分运算是对序列作连续多次的差分运算：31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

7、卷积运算——图解示例1、置换

2、反褶31一月2023第3章第1节离散时间信号三、序列的运算

7、卷积运算——图解示例3、移位4、相乘5、求和y(0)=2y(1)=7y(2)=11y(3)=10y(4)=5y(5)=1*31一月2023第3章第2节序列的Z变换一、Z变换的定义

1、由冲激抽样信号的拉普拉斯变换来定义31一月2023第3章第2节序列的Z变换一、Z变换的定义

2、直接定义31一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

1、收敛条件和收敛域的定义

序列的Z变换是一个幂级数，只有收敛时才有意义。根据级数收敛的条件可得，X(z)收敛的条件是级数绝对可和。

收敛域的定义：使序列x(n)的Z变换X(z)收敛的复平面上所有Z的集合，可用图形来表示，称为该Z变换的收敛域。记为ROC——RegionofConvergence31一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

2、收敛性的判定方法（1）比值判别法（2）根值判别法31一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

2、收敛性的判定方法31一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响

（1）有限长序列（有始有终序列）在有限区间内，有非零的有限值的序列，则0有限长序列收敛域：n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞n1<0，n2>0时，0<z＜∞n1≥0，n2>0时，0<z≤∞

31一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响

（2）右边序列（有始无终序列）右边序列是指序列收敛半径圆外为收敛域031一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响

（3）左边序列（无始有终序列）左边序列是指序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点031一月2023

有环状收敛域第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响

（4）双边序列（无始无终序列）双边序列圆内收敛圆外收敛

没有收敛域031一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响例：有限长序列8个零点7阶极点1阶极点收敛域为除了0和的整个平面031一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响例：右边序列031一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点031一月2023第3章第2节序列的Z变换二、Z变换的收敛域

3、序列特性对收敛域的影响例：双边序列0331一月2023第3章第2节序列的Z变换三、典型序列的Z变换

1、单位抽样（冲激）序列31一月2023第3章第2节序列的Z变换三、典型序列的Z变换

2、单位阶跃序列31一月2023第3章第2节序列的Z变换三、典型序列的Z变换

3、矩形序列31一月2023第3章第2节序列的Z变换三、典型序列的Z变换

4、斜变序列31一月2023第3章第2节序列的Z变换三、典型序列的Z变换

5、单边指数序列31一月2023第3章第2节序列的Z变换三、典型序列的Z变换

6、正、余弦序列31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

1、线性*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

2、移位性（时移性）例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

3、z域微分特性（线性加权特性）31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

3、z域微分特性（线性加权特性）31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

4、z域尺度变换特性（序列指数加权特性）31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

4、z域尺度变换特性（序列指数加权特性）31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

5、时域卷积特性31一月2023第3章第2节序列的Z变换四、Z变换的性质

5、时域卷积特性31一月2023第3章第3节序列的Z反变换已知序列x(n)的Z变换X(z)及其收敛域ROC，求序列x(n)称为Z反变换。序列的Z变换及其Z反变换表示如下：求Z反变换的方法：

1.围线积分法2.幂级数展开法(长除法)3.部分分式展开法31一月2023第3章第3节序列的Z反变换一、围线积分法（用留数定理）如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理：

式中表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，Z反变换则是围线c内所有的极点留数之和。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换一、围线积分法（用留数定理）

如果zk是一阶极点，则根据留数定理如果zk是N阶极点，则根据留数定理31一月2023第3章第3节序列的Z反变换一、围线积分法（用留数定理）

例1

解：

必然是因果序列，右边序列。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换一、围线积分法（用留数定理）

31一月2023第3章第3节序列的Z反变换二、幂级数展开法（长除法）

按照Z变换的定义：可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。

注意：在进行长除前，要先根据给定的收敛域是圆外域还是圆内域，确定x(n)是右边序列还是左边序列。如果x(n)是右边序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左边序列，级数则是正幂级数。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换二、幂级数展开法（长除法）

例2

解：

用长除法展开：

必然是因果序列，右边序列。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换二、幂级数展开法（长除法）

例2

解：

用长除法展开：

必然是因果序列，右边序列。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换二、幂级数展开法（长除法）

讨论：若将收敛域换为，则：用长除法展开：

是左边序列。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换二、幂级数展开法（长除法）由长除结果可得：

31一月2023第3章第3节序列的Z反变换三、部分分式展开法部分分式展开法是将X(z)展成简单的部分分式之和，然后获得各部分分式的z反变换，最后将它们相加即可得序列x(n)。只有一阶极点：，Am

是在pm

处的留数。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换三、部分分式展开法31一月2023第3章第3节序列的Z反变换三、部分分式展开法除了M个一阶极点外，还有一个s阶高阶极点，则：31一月2023第3章第3节序列的Z反变换三、部分分式展开法

例3

解：31一月2023第3章第3节序列的Z反变换三、部分分式展开法

例3

解：31一月2023第3章第3节序列的Z反变换用MATLAB实现Z的正、反变换一、Z变换的命令：1、F=ztrans(f)（常用）

对连续时间信号f(t)的抽样值f(nT)进行Z变换。若信号f的变量是z，则得到复变量的z变换函数。

2、F=ztrans(f,w)得到复变量的Z变换函数。3、F=ztrans(f,k,w)对连续时间信号f(t)的抽样值f(kT)进行Z变换。31一月2023第3章第3节序列的Z反变换用MATLAB实现Z的正、反变换一、Z变换的命令：例：解：

symsaznTf=a^(n*T)F=factor(ztrans(f))%做因式分解处理

运行结果为：f=a^(n*T)F=z/(z-exp(log(a)*T))

即表示：31一月2023第3章第3节序列的Z反变换用MATLAB实现Z的正、反变换二、Z反变换的命令：1、f=iztrans(F)（常用）

对F(z)返回f(nT)，T=1时返回f(n)。对F(n)返回f(kT)

。

2、f=iztrans(F,w)对F(z)返回f(kT)，T=1时返回f(k)。