异步电动机的工作原理与数学模型

异步电动机的工作原理与数学模型内容概要异步电动机的静态数学模型与T值等效电路三相异步电动机的功率和转矩三相异步电动机的机械特性异步电动机的动态数学模型一、异步电动机的静态数学模型和T值等效电路分析方法：通过对转子开路、转子堵转、转子转动3个过程的分析，得出异步电机在三相对称正弦电压下稳态时的数学模型和T值等效电路。分析核心：电势平衡关系，磁势平衡关系，转矩平衡关系1、转子静止、转子绕组开路时的电磁关系异步电动机绕线式转子绕组开路时的正方向此时转子电流

为零，定、转子间无能量传递，所以主要分析定子电磁情况。思想：把电流产生磁通，磁通又在绕组中感应电动势的关系，简化为电流在电抗上的压降形式。

电流电压在定子一相绕组中引起的电流会造成电压降。而所产生的主磁通在定子、转子绕组中会产生感应电势和。（：定子绕组电阻：定子一相漏电抗）

由上分析，异步电动机转子绕组开路时，定、转子一相的电势平衡方程式为：

（：定子相绕组的漏阻抗）

由该方程式可得转子绕组开路时的等值电路：

以上方程中，可看作在励磁阻抗上的压降：代入方程中的表达式，有：由此可得定子等值电路：2、转子堵转的电磁过程

堵转：定子绕组接到频率为、相电压为的三相对称电源上，转子绕组外接负载且转子被堵住不转。

绕线式转子堵转时的连接方式和正方向：2.1、磁势平衡关系气隙中存在的磁势是定、转子磁势的合成，称为气隙合成磁势。磁势平衡方程式：（气隙合成磁势=定子磁势+转子磁势）

、、的幅值分别为：

（、分别为定、转子每相绕组的有效匝数）将以上三式代入磁势平衡方程：其中，若令（：电流变比）则上式可化为：（电流形式的磁势平衡方程）

电流形式磁势平衡方程的理解异步电机堵转时，产生定子旋转磁势的定子电流可分解为两个分量。用于产生主磁通的励磁电流分量，其幅值由反电势决定。克服转子磁势产生的反作用的负载电流分量，其幅值随转子电流成正比例变化。2.2、堵转时的T型等值电路堵转时定、转子等值电路：由图，绕组折算

目的：把定、转子间磁的耦合关系，变换为定子、转子等值电路之间电的联系。

思想：用一个相数及有效匝数和定子相同的等效转子绕组替代相数为3、有效匝数为的实际转子绕组。

原则：折算前后转子磁势保持不变。（1）电流折算值

：转子电流的折算值由转子磁势不变：

（2）电势折算值

：转子电势的折算值（：电势变比）（3）阻抗折算值

：转子漏阻抗的折算值

：负载电阻的折算值

：阻抗变比

综上，将之前的算式整合在一起，得出异步电动机转子堵转的基本方程式：

由此可作出经绕组折算的T型等效电路：3、转子旋转时的电磁关系（1）转子电动势转差频率：转子以转速n恒速旋转时，转子绕组的感应电动势、电流的频率和漏电抗的对应频率

将同步转速公式代入上式，有转子旋转时转子绕组中的感应电动势转子不转时转子绕组感应电动势（2）转子磁动势幅值：转子电流产生的旋转磁通势幅值转速：转子三相合成旋转磁动势相对于转子绕组的转速

；

相对于定子绕组的转速，

因此定、转子磁势之间相对静止。（3）转子电路的频率折算和绕组折算①频率折算目的：获得转子旋转时的T值等效电路。存在问题：转子回路的物理参数频率与定子回路物理参数频率不同，因而不能直接用绕组折算的方法得到等效电路。解决方法：进行频率折算。思想：将转子物理量频率折算成定子物理量频率。实质是用一个不转的假想转子等效转动的真实转子。频率折算的具体方法折算的原则是保持转子磁势在折算前后不变。“不变”即指：

幅值不变：幅值与转子相电流成正比。

相位不变：与的空间相位关系仅取决于转子回路的阻抗角。

因此，保持折算前后不变，即需构造：

：实际转动转子相电流；

：假想不转转子相电流；

：实际转子转动时转子回路的阻抗角；

：假想转子不转时转子回路的阻抗角。频率折算的具体方法以下过程是以进行折算，

以进行验证。

如图(a)，

构造可变形算式：

令，

由该式得到频率折算后转子等值电路如图2。

相位不变：即验证了以上折算的正确性。转子电路的频率折算和绕组折算②绕组折算通过频率折算将转子等值电路从旋转（）折算到静止（），但绕组的相数，每相有效匝数，仍与定子绕组不同，不能构成等效电路，仍需进行绕组折算。因此，问题回到了转子堵转时绕组的折算问题，其处理方法基本相同。

差异在于将的折算值换一种写法：

此时，在形式上相当于是转子堵转时折算后的负载电阻。但在物理意义上有本质差别。相当于一有功元件，转子电流在该电阻产生

的功率为总机械功率，即定子传到转子的电磁功率中转化成机械功率的部分。频率和绕组都折算后的转子等值电路（4）基本方程式与T型等效电路与转子堵转时相比，只有转子绕组回路的电压方程有所差别：三相异步电动机T型等效电路：二、三相异步电动机的功率和转矩1.异步电动机的功率传递与损耗从电网吸收的总输入功率

（、：定子相电压、相电流；：功率因数）定子铜损耗；定子铁损耗通过磁场经过气隙传到转子上的电磁功率

由等效电路知即电阻上的有功功率，因此有

或

进入转子后在转子电阻上产生的转子铜耗

转子铁耗很小，可忽略。最终，总机械功率即为：对比代入上式表明：总机械功率是等效电路中电阻上对应的有功功率。电机轴头输出的功率

（：轴承、风阻摩擦等引起的机械损耗；

：高次谐波、漏磁通等引起的附加损耗）2.电磁转矩a.计算式①

（：转子旋转的角速度）b.计算式②

代入

（：旋转磁场的角速度，即同步角速度）c.计算式③

代入其中，转矩常数3.转矩平衡关系异步电动机带动负载运行时，有3个转矩作用在拖动系统上。（1）电磁转矩——拖动系统转动

转子电流在磁场中受力产生的转矩。（2）负载转矩——阻转矩①

等于电机输出转矩：（3）空载摩擦转矩——阻转矩②

、

、

具有平衡关系：三、三相异步电动机的机械特性1.机械特性的表达式（1）机械特性：当定子电压、频率以及绕组参数都固定时，电动机的转速/转差率与电磁转矩之间的函数关系。（2）表达式

由T型等效电路图可知

②式代入①式

①式②式2.固有机械特性

异步电动机机械特性曲线（1）四象限分析①第Ⅰ象限~电动运行状态旋转磁场转向与转子转向一致，0<n<,0<s<1,电磁转矩T及转子转速n均为正。②第Ⅱ象限~发电状态，回馈制动旋转磁场转向与转子转向一致，n>,s<0;<0,n>0,③第Ⅳ象限~制动状态，反接制动旋转磁场转向与转子转向相反，>0,n<0,s>1;>0,n<0,④第Ⅲ象限~反向电动状态旋转磁场转向与转子转向一致，但与正方向相反。（2）特殊点分析①同步运行点A

该点=0，s=0,n=,此时电动机不进行机电能量转换。②额定运行点B该点所对应的和分别为电机的额定转速与额定转矩。③最大转矩点C该点电磁转矩为最大值，相应的转差率为临界转差率s<时，若增大，则s增大，n减小；曲线斜率为负s>时，若增大，则s减小，n增大；曲线斜率为正

由于最大转矩点是函数的极值点，因而通过求导计算可得：

因为<<,

所以忽略，有：“+”：电动状态（

第Ⅰ象限）“-”：回馈制动状态（

第Ⅱ象限）④起动点/堵转点D该点s=1,n=0,电磁转矩为初始起动转矩3.人为机械特性人为机械特性：机械特性的参数表达式中，改变除s,外的其他参数后所得到的机械特性。（1）降低定子端电压的机械特性

①同步转速不变；②临界转差率不变；③最大转矩、初始起动转矩均随定子电压的平方成正比地降低。（2）转子回路串三相对称电阻（增大）

时的机械特性①同步转速不变；②最大转矩不变；③随转子回路中电阻的增大成正比地增加。四、异步电动机的动态数学模型1.三相异步电动机的多变量非线性数学模型异步电动机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。在研究异步电动机的动态数学模型时，常作如下假设：忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间中互差120°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的；忽略铁心损耗；不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。三相异步电动机的绕组模型如图所示：如图，定子三相绕组轴线A、B、C在空间固定，转子绕组轴线a、b、c随转子旋转。a、A轴间的电角度为两者的角位移。异步电动机的动态数学模型由电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。ABCuAuBuC1uaubucabcr（1）电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为转子绕组进行绕组折算到定子侧后，基于旋转轴线a、b、c的电压方程为式中，,,,,,:定、转子相电压的瞬时值,,,,,:定、转子相电流的瞬时值

,,,,,:各相绕组的全磁链

,:定、转子绕组电阻

表示当磁通随时间变化时，在线圈中产生的感应电动势。将以上方程写为矩阵形式，并以微分算子p代替d/dt，有：即：u=Ri+pψ（2）磁链方程每个绕组的磁链=本身的自感磁链+其他绕组对它的互感磁链即：a.自感

对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通与漏感磁通之和，

所以，定子各相自感为

转子各相自感为

（：定子各相漏磁通对应的定子漏感

：转子各相漏磁通对应的转子漏感

：与定子一相绕组交链的最大互感磁通对应的定子互感

：与转子一相绕组交链的最大互感磁通对应的转子互感

因为折算后定、转子绕组匝数相等，所以可认为）b.不变互感

定子三相彼此之间、转子三相彼此之间的位置都固定，轴线彼此在空间

的相位差是±120°。所以这类互感为常值。

c.可变互感

定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的，所以

定转子之间的互感是转子相对于定子角位移的函数。将以上~式代入磁链方程，并写为分块矩阵形式：

式中（3）转矩方程在线性电感的条件下，磁场的储能和磁共能为由于电磁转矩等于在电流约束为常值、机械角位移变化时磁共能的变化率，且转子机械角位移。所以有将①式代入②式，并联系之前电感的分块矩阵关系式，有：又由于，代入上式有将上式中的、、、、和用矩阵和向量形式代入，最终可得：①式②式（4）电力拖动系统运动方程①将磁链方程式代入电压方程式，可得到展开后的电压方程：

（：脉变电动势；

：与转子转速成正比的旋转电动势）②在忽略电力拖动系统机构中的阻转矩阻尼和扭转弹性

转矩时，电力拖动系统的运动方程式为：③在转矩方程的推导过程中有：④将式①~④综合起来，可得到三相异步电动机的多变量非线性数学模型，如下式所示：①式④式③式②式2.坐标变换和变换阵变换目的：之前的数学模型分析求解比较困难，尤其有一个复杂的电感矩阵，影响磁通和受磁通影响的因素太多。因此，需采用坐标变换的方法加以改造，使变换后的数学模型容易处理一些。在简化数学模型的过程中，尤其需从简化磁通的关系入手。变换思路：将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机模式，然后再模仿直流电机进行控制，问题就可大大简化。变换原则：不同电机模型彼此等效的原则是在不同坐标系下产生的磁动势相同。以下三个模型产生的旋转磁动势大小和转速均相等，因而彼此等效：a)交流电机三相对称的静止绕组A、B、C，通以三相平衡的正弦电流、、

时，产生的合成磁动势即旋转磁动势F，在空间呈正弦分布，以同步转速

顺A-B-C相序旋转。b)产生旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，任意多相对称绕组，通

以多相平衡电流，都能产生旋转磁动势，其中以两相作为简单。因而可构造这

样的模型：两相静止绕组α和β，它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡电流，使其产生的旋转磁动势大小、转速均与三相静止模型的相同。c)两个匝数相等且互相垂直的绕组M和T，其中分别通以直流电流和，产生大小与上述两种模型的F相等的合成磁动势，其位置相对于绕组固定。若使包含两个绕组在内的整个铁心以转速旋转，则合成磁动势亦以转速旋转，则最终产生与前两种模型大小、转速均相等的旋转磁动势。（1）三相/二相变换（3/2变换）三相/二相变换：在三相静止坐标系A、B、C和二相静止坐标系α、β之间的变换。模型描述：如下图，将两个坐标系画在一起，取α轴与A轴重合。设三相系统每相绕组的有效匝数为，二相系统每相绕组的有效匝数为，各相磁动势均为有效匝数及其瞬时电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。交流电流的磁动势大小随时间而变，图中磁动势矢量的长短是任意画的。

(三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量位置)AN2iN3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oCB三相/二相变换关系推导：设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势α、β轴上的投影都应相等：为了便于之后求反变换，将变换阵表示成可逆的方阵。为此，在二相系统上再人为地增加一项零轴磁动势，并定义为：将以上三式合在一起，写为矩阵形式，有：式中，是三相坐标系变换到二相坐标系的变换阵。当满足功率不变条件时有：显然，与的乘积为单位阵：因此

；最终，三相/二相变换阵与二相/三相变换阵分别为：

功率不变条件：在变换前后功率不变，且电压和电流选取相同变换阵的条件下，变换阵的逆与其转置相等。在实际电机中并没有零轴电流，因此实际的电流变换式为：;以上变换式中，电流变换阵亦是电压和磁链的变换阵。（2）二相/二相旋转变换（2s/2r变换）二相/二相旋转变换：二相静止坐标系α、β和两相旋转坐标系M、T之间的变换。模型描述：将二相静止坐标系α、β和两相旋转坐标系M、T画在一张图中。图中，静止坐标系的两相交流电流、和旋转坐标系的两个直流电流、产生同样的以同步转速旋转的合成磁动势。由于各绕组匝数相等，可以消去磁动势中的匝数，直接标上电流。右图为二相静止和旋转坐标系与磁动势空间矢量ωs图中，M轴、T轴和矢量都以转速旋转，分量、的长短不变，相当于M、T绕组的直流磁动势。α轴和β轴是静止的，α轴与M轴的夹角随时间而变化，因此在α轴和β轴上的分量和的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势瞬时值。由图，、和、之间存在下列关系：写成矩阵形式有：式中对其做逆变换有：电压和磁链的旋转变换阵也与电流旋转变换阵相同。（3）由三相静止坐标系到任意二相旋转坐标系上的变换（3s/2r变换）变换思路：先将ABC坐标系变换到静止的αβ坐标系，然后再从αβ坐标系变换到旋转的dq坐标系。第一次变换采用变换阵，第二次变换采用变换阵。令d轴与a轴的夹角为θ，按照之前的2s/2r变换，有：

（为人为添加的零轴电流）写成矩阵形式为：又由之前的

3/2变换可知：合并以上两矩阵式，可得三相ABC坐标系到二相dq旋转坐标系的变换式：其反变换式为：以上两个坐标变换式同样适用于电压和磁链的变换。3.异步电动机在任意二相旋转坐标系上的数学模型（1）dq0坐标系上的电压方程采用2r/3s变换阵求得定子电压的变换关系为：先讨论A相：同理：在ABC坐标系上，A相电压方程为：将、、、三个变换式代入并整理得：令为dq0旋转坐标系相对于定子的角转速。由于θ为任意值，因此以下三式必须分别成立：同理，变换后的转子电压方程为：

（式中为dq0坐标系相对于转子的角速度）（2）dq0坐标系上的磁链方程定子磁链变换阵即为，其中令d轴与A轴的夹角为。转子磁链变换是从旋转的三相坐标变换到不同转速的旋转二相坐标，变换阵为，按两坐标系的相对转速考虑，在形式上与相同，只是θ角改为d轴与a轴的夹角。于是有：将上式中的定子和转子三相磁链写成电感矩阵与定、转子电流向量的乘积，再经过一系列变换：上式中③×④：将定、转子电流由dq0坐标系变换到ABC坐标系；→×②：变换到ABC坐标系后才可与②相乘求得ABC坐标系下的磁链；→×①：将ABC坐标系下的磁链变换到dq0坐标系。将分块矩阵中各元素写出并进行计算，其中：②③①④求得：同理：最终，在dq0坐标系上的磁链方程为：

：dq0坐标系同轴等效定子与转子绕组间互感