线性代数笔记-不难版

考研线性代数复习笔记笔记作者：笔记课程来源：李永乐线代一、行列式计算注意：不要将行列式与矩阵初等变换搞混、不要与矩阵的运算搞混。例如kAkaij]与kAknA每年都有同学搞混。总之，在复习时矩阵与行列式的性质多看相对重要的公式：上下三角、副对角线元素乘积、拉斯、范拉斯 *

ABB

A1)mnAB，其中m和nABO

1x3(x2x1)(x3x1)(x3x2x x x 拓展至n，即：大指标减去小指标的连乘积，指标是(1 0ab00ab0a00b0cd0c00d特点：0多且规则，即：每行都是两个0，考虑将其移到一角，用拉斯解：利用 斯

b

b

0(adbc)2 a1

0 特点多且含有相反数，考虑将每一列均加至第1列 造解：均加至第一列后，按第1列展4a1x00a1x000x000x4

(xai) x3(xai

aa00ax0a0xa00x

特点：每一 x上方均 -1，可利 -1x进行逐行相 造解：逐行相加之后为：a a

aa1xa

a

ax2ax

a

a1x3a2x2a3xa

(a1x3a2x2a3xa4)(1)5(1)3a1x3a2x2a3xa11111111120010301004特点：爪型，倍加造0化为上(下)1-11

23

2234314

1 0 13

爪型转换规则：考 多 爪型，需要根据做题经验，化为爪型进一步做题 4特点：除了三条对角线其余均为，对于阶或阶这种形式，可以考虑逐行相加、或每一行均加至第一行。对于n阶形式需要用数学归纳法003 003 4解：利用逐行相加得：原式

数学归纳（一验证n1时，命题fn正确假设nk时，命题fn正确（二验证n1和n2时命题fn都正确假设nk时，命题fn正确证明nk时，命题fn方法选例如：fn2fn13:即n阶命题与一个低阶命题有关，只需对一个地方进行例如：fn4fn15fn26两个地方用归纳假设，用（二N阶情况，数学归纳： a a 设A

是n阶矩阵，证明|A|n1特点：除三个对角线之外，其余均为0，由于是n阶需要用按照第一列展开，可进行预判，fn与fn-1、fn-2有关，利用第二类数学归纳解当n1时，D12a命题Dnn1)an正当n2时，D1

3a2,命题D

(n1)an正设nk时，命题正确当nk时，按1列展开，得：Dka11A11a21

2ak

a2

2ak ,因为nk时满足结论，将 、k k k k带入结论中化简(k1)ak，证明完毕抽象型行列式性质、恒等变ABA*

AAA*AAAAA如果A的特征值为、.......n,则 若A和BAB，（若PAPB,则A、B相似AB均为n阶矩阵，且|A|3,|B|2,A-1B*A*B-1

A1(2B1)

(1)n

6设A、B为3阶矩阵、且|A|3,|B|2,|A1B|2,则|AB-1特点：没有对应公式，可考虑加进行恒等变形，步骤：添加两个E一前一后或者一后一前。|AB-1||EAB-1E||B-1BAB-1A1A||B-1(BA1A|B-1||BA1||A|若A、A、A32，则|A*| 特点

看到伴随想到|A*||A|n-看到这两个条件，考虑相解：A(,,)(,,32)(,,

由：APPBP1APB,得A与B相似，即|A|

132|A*|已知A是3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，如果A、A2E3A均不可逆，则|AE|特点：告诉三个矩阵不可逆，言外之意是|A|0|A2E|0|3A2E|，由|E-A|0为特征值，本题暗示A的三个特征 同理得：A的特征值为022，在利用公式：AnE的特征值为31,3,3二、行列式的应用例1：若-

-1

-1

0，则步骤：观察除对角线之外的6个数，哪两个加加减减能后得且同时含有的公因式。解-

-1

-1

1-

-1

2-1第列

1-

-1

2

1

2

例2（常考带参数的--

1

1

0,则步骤：与例1一样，利用除对角线之外的6个数造0，且必须同时含有的公000解：原式-1-2-1-1a-(-a1)1

(-a1)(a2)(a则，为a12aa克拉默法则a

21

22 2n an2 ann xD1,x

D2,......,x 000 000 a22 a2n

an2

ann若方程组有非0解，则系数行列式|A|0例1（本题为一道的第（2）问，第（1）问在行列式计算的例

x1 2 A xb第(1)的结论|A|n

1

xn 第（2）问：a为何值Axb有唯一解，并求出 111解：由克拉默法则和第(1)问的结 111x1

|A

,下面按照第1列展开之后，余下的行列式比|A|低1阶利用第(1)问的结论，化简为

(n

(n三、证明Ax0r(A)0|A||A||A矩阵A1、rArA中有r阶子式不为0，任何r1阶子式必全为2、rArA中每一个r阶子式全为3、rArA中有r阶子式不为4、rA0AO；AOrA5、若A是n阶矩阵：rAn|A|0A可逆；rAn|A|0A不可6、若A是mn矩阵，则rAmin(mn)7、Amn，Bns:r(AB)min(r(A),若A可逆：rAB)r(B)，r(BA)若A列满秩：rAB)若ABOB的列向量是齐次方程组Ax0的解；rAr(B)Amn，Bnm，若mn.证明|AB|思路：两种方法，看到m n首选与秩有关的公式，其次为齐次方程组有非0解1、证明r(AB)m|AB|0直接利用上面的结rABr(B又因为r(B)min(nmnm|AB|2、方法1最简单，但是李永乐老师强调下面这个方法也要理解(1)ABx(2)Bx(2)方程组的解一定是(1)若{Bx0的解}，B0ABA00,知必是ABx0由于ABx0的解包含Bx0的解，因此将证明ABx0有非0解，转换为证Bx0有非0根据定理“Amn，若mnAx0必有非0解（齐次方程组，方程少，未知数多，必有非0解）”因为Bnm且nm,因此Bx0有非0解ABx0有非0解结论已知3阶矩阵B0，且B的每一列向量都是方程 x2x 2xxx0，的解，求，证明|B| 3xxx (1)思路：求，就是证明齐次方程组有非0解，|A|0解出解：由于B0，则B至少有一个非0列向量，即齐次方程组Ax0有非01|A|3

5(1)0反证法：由题意AB0,若|B|0,则B可逆A(AB)B10B10,由题可知A不为0，结二、伴随（AA*A*A|A|E）易错点： B

CT T D DT

On，（只有这一种情况下有n次方公式 B B

O 1，

O

B1 B

B OAmn，Bns，ABCmsC的列向量可由A的列向量线性表、n维列向量（常考T、T表示矩阵、表示矩阵T、互为转置关系，且、T表示的数相等，设该数为A，则A上面的特征值T表示的数是平方和的形式，也就是该数一、矩阵的计算求、r(A)1An ln1A，其中l为矩阵A的迹。（最简单的一种求An的题 00 c型求An，（主对角线及其上方或者下方均为0的形式000 a则0 c 0，而3次 n次方均为 0 0 0 014

n次方均为

，用矩阵的乘法求出*

0

2 42 4，求AnA0

特点：直接求没有公式，形式上有点满足第2个结论，但是主对角线不为0，考虑将其拆开成两个矩阵相加的形式，然后利用结论2.解：A

E

0

则，An(En根据二项式定理：An(EB)nEnnEn1BC2En2B2n注意：如果是求AB)n则不适用该定理，A、B中必须一个是单位矩阵才行nB3....Bn均为0n(EB)nEnnEn1BC2En2n

n(n1) n n

4n2

0

0

若P1APB，A、B相似AnPBn一般情况下：B的参照物为对角矩即：AnPnP1，其中为矩阵A的特征值、P为矩阵A的特征向1 a 1 对角矩阵

a

an n n注：这个结论后面用到较多，现在先举一个简单的例A

0，BP1AP，则B20042A2 特点：A和B相似，B2004P1A2004P，即本题求:A2004、 解：先求A2

OA2

由 B

Bn

再求A2004，此时可利用A2，A2004A21002 0BP1APB2004P1A2004PP1EPEB20042A2 0

00二、伴随矩阵AA*A*A|A|求A*的方 A* n2，其中A为行列式|A|的每个元素a的代 .

nn3、常用|A*||A(A*)1(A1)*1|A(A*)T(AT)*(kA)*kn1A*；(A*)*|A|n2n，如果rA)nrA*，如果rAn0，如果rA)n

|| O为 3B*2

* 2B* *

3A*

2A* O O O解：常规方法：直接套公式，AA*|A|E

O O 对于

(1)用 斯

|A||B|60，得 O可B A1

2B* O

6

O，故选

O 选择题特有方式：发现四个选项左下、右上角内容不同， O

Y W，只需求出Z、Y中任意一个利用公 AA*|A|E Y

AZ6EZ6A1

O W EAaij]33满足A*AT，若a11a12a13为三个相等的正数，则a11注意：本题，都重新考过，只是题干不同解：由A*AT，写出A*、AT定义的形式，很容易aijAij，而行列式的展开又能将aij与Aij联系起来，且由题干a11a12a13为三个相等的正数按第1行展|A|a a a 3a20，欲求a，要求|AA||A|1)0.A||A|1)0.又因为A*AT|A*||AT||A|2|A

|A|1a11 13三、可逆矩阵（E 的恒等变形ABBAE称A为可逆矩阵，B为AA可逆rA)nA的列向量线性无关0不是A的特征值定理：若An阶，若ABE，则BAE求逆矩阵（一般不会单独考，可与相似、An结合1、定义2、行变A|E)(E|A1)中间不能夹杂列变换1A由上往下2A由下往上

0，变成上0，变成对角3、在对对角矩阵用某 乘k的方式，变成单位矩 3、逆矩阵相关公式(A1)1A；(kA)11A1(kk(AB)1B1A1；(An)1((A1)T(AT)1；|A1 |AA11|A O

1；

B1 B O这里重点是定义法：A为n阶矩阵，满足A23A2EO，则AE)1思路：遇到(AE)1这样的形式，要考虑定义法，因为没有公式考虑(AE)和哪个矩阵相乘E，此时利用题干A23A2E：AEA2E4EA23A2EOAEA2E(AE)1(A2E)E(AE)11(A A

，BEA)1(EA),则(EB)1思路：看到(A B)1,没有公式，可以考虑用定义法，也可以根据条件用E变解1:EB)1EEA)1(EA)]1，看到(EA)1，因此E表示为(EA)1(E[(EA)1(EA)(EA)1(EA)]1[(EA)1(EAEA)]1[2(E 0 0 (EA) 4 4 解2：已知条件BEA)1(EAEA)BEA，考虑能否根据已知条件构成(EB)(某个矩阵)E的形式，用定义求解(EA)(EA)BEAEA(EA)(EB)EB)11(EA结2An阶，对称，可逆，若AB)2E，化简(EA1BT)T(E注意(AB)1没有公式，用E变形(A ATBT，且A对称AT解：原式ETA1BT)TAA1BA1]1EBT)TA1)TAB[EB(AT)1][(A1)1(A由于A是对称矩阵ATA，又因为题干AB)2E(AB)(AB)E(AB)1(A原式EBA1AABABA此时为最简，千万不要写成A2、、均为BEAB，CACA，则BC坑点：同学首先会想到BCEABACA，这里的AB、CA中的解：BEABEA)BEBECACAC(EAA，由上面知(EA)可逆BCEA)1A(EA)1EA)(EA)1E四、初等矩阵三种变换：把某行（列）k倍加至另一行（列注：行变换用于解方程组；行变换、列变换都可以用于求矩阵的秩（可混用初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩类型：倍加、两行（列）互换、某行（列）k 0- 201 0，倍加得到的初等矩阵的逆矩阵，将倍数换成201

010 1，两行（列）互换得到的初等矩阵，其逆矩阵与010

0

2 0，就是对角矩阵的逆矩阵，原矩阵取2

01 01 a13 A a，B 2a 23 32a31 a33 若A1 5，则B1 0

思路：找A与B什么关系，观察由A是如何得到B的，变换：A第三行2倍加至第2行，然后2和3解：B

A

B1

0

0

0

2，注意这里不要用矩阵乘法，直接用初等矩阵定义，对 1 5 0 60 1

-6进行相应的行变换、列变换 6 -A3阶可逆，把A的23列交换得到矩阵B，把矩阵B的第1列的-2倍加至第3列，得到矩阵C，则满足PA1C1的矩阵P为? 解：APB，BPC，其中P P ，

将B换掉，APPCC1APP)1P1P

11PP1P1

1 1 行阶梯矩阵：设A—m×n，若满足矩阵中有0行，则0行在矩阵最底部每个非0行的主元（即该行最左边的非0元）所在的列，其下面都是行最简矩阵：在满足行阶梯矩阵的情况之下，且还满足非0行主元都是1，且主元所在的列，除主元外其余均为0.五、正交矩阵(a,a,.......,a)T,(b,b,.......,b 内积（数

(,)aba .......ab(a,a,.......,a 1 2 n n. bna1 (b,b,.......,b)a2T n an若(,)0，称与正交（多用于后面的二次型、特征值(,Ta2a2a2，称a2a2..............a2为的长 An阶满足

AATATAE称A为正交矩阵ATA-1|A|2几何意义1）正交矩阵为后面的内容做铺垫，单独来说并不难，仅看一道例题例：A、B均为n阶正交矩阵，且|A||B|0，证明|AB|思路：没有公式，而且A、B很抽象，因此想到证明|AB||AB且看到|AB|想到用E变形一定添加两个E解：原式|EABE||BBTABAAT||B(BTATA|B(AB)TA||B||(AB)T||A||B|2|AB||AB四、向量空间（仅数一 kn不全为0，则线性相若只有 kn全为0时等式成立，则线性无关相关定理

x1向量组.....线性相关齐次方程组[,..., x20有非零 s. xs推论2：n1个n维向量一定线性（齐次方程：方程组少，未知数多，必有非0解例1：若1,3,4,2]T,2,1,3t]T,3,1,2,0]T线性相关，则t 解：这类题都是填空题，直接写出1,2,3的坐标竖过来即可，注意：考相关、无关，题干给定的无论

1，经过初等行变换

2 t 6 62(t 0 根据上面的定理62(t4)0，即t推论 ,s必定相 若1,2,.....,m延伸组1,2m无关，比如为3其无关，则在原基础上拓展至4维5 ,也是无关的，常用于求基础解选择题、证明题（线性无关的判断定义法 恒等变形重k1k2.....ks用

,) ,) ,,,.....,线性无关[, ,]x20只有0解, s x x3注意：rA)A列秩A行秩rAB)min(rAr(B))若A可逆rABr(Br(BAr(B),如A是mn，B是ns的矩阵且ABO,则rA)r(B)n.具体用法参考下面的例题例2（定义重组法解：定义法下面证只能：k1k2k3对于这种带括号的形式，先打开括号重3k15k3根据已知条件2kk0目的证只有kkk k4k

-即证该齐次方程组只有0解，因为 -

0220k1k2k34结例3（定义乘法：直接乘出A—n阶矩阵，—n维列向量，若Am10，Am0，证明 ,Am1线性无关 kmAm1我们用乘，目的是让式子变短，也就是乘完的式子绝大多数项0，根据题干知道Am0Am10.......mk2Ak32kAm10，再用Am2左乘m km均为0结

2例4（定义乘法：直接乘出用什么乘，使得式子变短k0,因此我们要研究一下已知条件。首先，我们需要0的条件，但是题干没给，因此变化一下AE)10,(AE)21,(AE)32.因为10k30,带回（2）中得k20，在将k30，k20带回（1）k1结例5（定义乘法：不直接乘出0，再构造一个式子，二者加减造选择题常用3思路：仅凭题干给出的条件，无法用乘，背特征值的定义：已知 解：设k11k22l11l22l330；（1）为了利用上面的条件，我们直接选择左乘A用左乘-根据已知条件l1l2l30，带回(1)k1k2注：该结论的证明考研还没有考过，但是结论常用例6（定义乘法：不直接乘出0，再构造一个式子，二者加减造设A为3阶矩阵，1、2为A的分别属于-1,1的特征向量，向解：根据题干给出的信息，先背特征值、特征向量的定义A左乘k11k22k3230；（2）直接乘无0，考虑两式加减造0-（上一题就是证明这个结论的，可直接用k1k30，带回（1）k22又因为2是特征向量，故2k20结

这个理由必须写，不写扣分例7（用秩 C13即：(,,)(,,) C，若,,线性无 3 23 C31 C33证明：1,2,3线性无关C矩阵可逆解：先证“”：C可逆，即|C|0,也就是秩将(1,2,3)看成矩阵B,由于1,2,3线性无关，则r(B)将(1,2,3)看成矩阵A,则r(BrAC)r(C)3，又因为r(B)故r(C3,即C可目标证B的秩3.r(B)rAC根据上面总结的rA)3得1,2,3线性无注：上面这个证明的结论，常常用于解决一类选择题，请看 已知1,2,3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是C.1解：这类问题，通常会有1到2例如本题A和B均线性相关，和7证明的结论“”，若线性无关|C0，则线性无关。1C选项中0

0120，故选3 二、线性表出向量可由1,2,......,s线性表出实数k1,k2 ,ksx1kk..........k方程组(,,......,x21 s xs常考讨论参数值的问主要有2种方法1|A|0，唯一解|A|2、抓0思想，化成如下形式，沿主对角线 .| .| .| .| .| .| ，系数0，方程组两种情况，无解或 具体怎么用，参1、例2，就明例1（ 法 讨论a,b何值时解 第一步：设x11x22x33，下面直接写增广矩阵 A a b

1 1 1 | 1 a 0a|(上面的步骤值2分，这一步自己一定要算一遍，一旦出错，下面就凉了：不能线性表出，即系数矩阵行列式Da(ab0a0或a 10 1，根据最后一行可推，对于b时，均无00 1(或者，因为r(A)r(A),方程组无解，即不能由1,2,3线性表出当ab时 10a 1，若此时ab0,等同于上面的情0a0 ：当Da(ab)0,即a0ab此时rA)rA)3有唯一x1x2x3(1-a111(1-a111a2(ab)x3x0；x

1；x1-

：分析一下目前的情况a0，b，无解；a0且ab唯一解a0且ab有解因此当ab0(必须强调A

1

1，此时x为自由变量，令x 0 xk，x1(11)(1k) k为任意常数（本题考过两次，得分率低注：若两个向量组可以相互线性表出，则两个向量组等价，注意与矩阵的等价相区例2（第二种方法 (II)[1,1,a]T,[2,a,4]T [2,a, 注：本题最好的方法是用秩，但是秩还没有复习，因此后面再讲，今天先讲一个虽然麻烦，但是却十分重要的方法，李永乐老师强调，这个方法一定要会，即：抓0思想。(

a a a 1

a 3 (a1)2第一个方程组

-a0

- a a

0，此时主对角线上为、a2、a其中10，第一个方程必定有解，而a2、a4.对应的常数 第二个方程组 - -

a0

a a

a1，注意此时的常数项不为0，因此要分析主对角3分别为1、a2、a4：当a40必定有解(上面总结的第一种情况)，当a4即，a4,该方程组第三个方程0x10x20x39,显然无解同样，当a20时必定有解，a20无解当a4且a-2可由(II)线性表第三个方程组 0 a0

a

1

，此时常数项也不为0，分 a (a1)2对于a4：当a40时无解，a40有解对于a2：当a20时无解，a20有a4且a2时，3可由(II)线性表三种a4且a2I可由(II)线性表注意：此时还没有结束，还需要讨论（I）不能由（）线性表示的情况。即至少有一个β不能由（I）线性表示。x1j1x2j2x3j3j，（j1,2,3）至少有一个方

1 1 a | 1 2 2 a 1 a a a a

2a 3a 4a根据上面的做题步骤，第一个方程组：a,可由(I)线性表示令2aa20，此时有可能无解，得a2或a1，当a2时对应的常0,此时有解而a1时无解。令a10,得无解当a1时，2不能由(I)线性表示最后再将这两个整体取交集：a1.注：本题05年考的，11年修改题干重新考查，得分率仍然较低，因此要重视的复习，选择、证明题 ,s线性表出，且方法唯注意：箭头方向，一个双向，一个单 ,s线性表i具有不确定性，根据题干确定 ,s线性相 ,t线性表出，则s 若两个向量组等价，则秩相 3、k0(结论证能表出，证k0，然后当分母 设向量可以由向量组1,2 ,m线性表出，但不可以由向量 判断能否由1,2 ,m1线性表证(1)因为可以由向量组1,2,.....,m线性表出，故：l11l22 此时已经用掉了一个已知条件，下面看不可以由向量组1,2 ,m1线性表，发现有m就能表出，无就不能，因此lm0，利用上面总结的情况，移项将lm当分1(ll )能线性表l 1 2lm

m1 km1m1成立，然后在找与m有关系的条件 不能线性表秩向量组的秩： 此时，再任意添加一个j就有i1,i2 ,ir,j线性相关,则i1,i2ir为该向量组的一个极大线性无关向量组1,2,.........,s的极大线性无关组中,所含向量的个数r,向量组的秩，即：r(1,2 定理：向量组(I)可由(II)线性表示，且r(I)r(II)，则(I)与(II)等设4维向量组[1a,1,1,1]T[2,2a,2,2]T[3,3,3 4[4,4,4,4问：a何值时线性相关？当其相关时求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.解12341234123412341234123412341234 当a10或a0时，1,2,3,4线性相关

(aa0时，1为该向量组的一个极大无关组，且221，331，4 41 1

4

爪型 爪型，第1行不动，第一行的-1倍依次与234行相加

4

4 0

0 0 ，该矩阵秩 0 0

0

极大无关组（答案不唯一）：选出一个三阶行列式不为0的组合即可这种题一般做法将的坐标竖过来，无论是行向量，还是列向量，一律竖过来拼成矩阵 行变换（不能夹杂列变换）化成阶梯型判断秩 0例2（上次线性表出那道题，用秩做更简单）： (II)：(1,1,a)T，(2,a,4)T，(2,a, (I)可以由(II)线性表出，但是(II)不能由(I)线性表出，求(I根据上一节选择题、证明题第5个结论：下面分析：II不能由(I)线性表出，仅凭这一个得不到任何结论，二者秩的关系可以是（）都有可能，但是如果与前面的r(I)r(II)结合r(I)r(II)r(1,2,33，即：r(I)3.(a2)(a1)20a2或a

而(2,1,4)T不能由(I)表出，则,,不能由,,线性表2因a1满足题意

当a2时，,,1 -

- -

- r(I)r(II)与题意

-

1矩阵的秩：rA)rA中有r阶子式不为0，A中每个r1阶子式（如果有）全为（考题一定是给出两个条件，一个讲的秩大，一个讲的秩小，整合推如：r()3A中3阶子式全0；r()2有2阶子式不为0经过初等变换矩阵的秩不变（计算题rA)A列秩A行秩（矩阵与向量组的联系必背：Ax0有非0解rAn.一定有多解，其中无关解向量的个数nr(A)。（未知数个数矩阵的秩）秩的公式（必背内容）：1、rATr)r(AE)r(Er(B.4、rABmin[rA特别的，若A可逆：rAB)r(B)，r(BA)r(B)5、r(ATA)r(A)6、Amn，Bns，且AB0，则rAr(B Or(A)

11a 11a求n阶矩阵A..

1的秩..首先，要能分析出这是个爪型，下面进行初等变换就简单些 1 aA1

0a 0，下面将234列加至第1 . a（注：求矩阵的秩，不是解方程组，可以夹杂列变换an 10 a 00

a

0，当a1且a1n，则rA . a当a1，则rA)1；当a1n，则rAn设A是mn矩阵，B是ns矩阵，证明秩：rAB)min(rA),解：方法较多，选一个相对来说重要的(I)：ABx0.(II)：Bx0.若B0AB)A(B)：II的解集合，一定是(I)解集合的子集合下面用上面强调的重要定理：B是ns，n个方程，s个未知数无关解向量的个数s同理AB，m个方程，s个未知数，无关解向量个数sr(sr(B)sr(AB)r(AB)下面证AB的秩小于A的秩，借用r(AT)r(A)这个公式：rABrAB)Tr(BTAT，利用上面刚刚证明的结论r(BTAT)rAT)rA)结论。推广一下：在A可逆的条件下，证明rAB由上面rABr(B)r(EB)rA1ABrABrAB)上面这个方法，是证明两个秩相等的常用思想，类似设AT是3维列：证明秩rA)：若线性相关，则rA解：第（1）问考查两1、T这种形式，结果为矩阵，并且是每两行之间成比例的矩r因此r(T1r(T1rAr(TT2、下面就是考查这个公式：rAB)rAr(B)rA)第（2）问也是两个考点1、,相关，则不妨设k（两个向量相关的几何意义，共线）rAr(Tk)(k)T，下面打开()r[(1k2T]2、再用这个公式：r(kArA)(k0)rAr(T方程组（考研解答题重点）：一、Ax=0基础解系二、Ax=b解的结构四、应用：相关、无关；线性表示；求矩阵（重点）；求特征向量Ax0有非0解秩rAn(未知数A的列向量线性相注：方程少，未知数多，Ax0必有非0解（即：Amnmn）An阶，Ax0有非0解|A|0 Ax0有非0解，则解的数量一定无穷多，但线性无关解向量的个数nr)不考证明）基础解系 3、Ax0的任一解都可以由 t是Ax0的基础解注：tnrA)，其中t两个1、t为线性无关解向量的个2、未知数中自由变量求基础解增广矩阵行变换，化为行最简找其中的E，除去E的部分为自由.知道你看不明白，后面有例子做讲解，先看下去）看到行最简，直接写答案（求解过程不得分，写错了还扣分）先写nr(A)m,然后写出基础解系m个解向量的框 )T.......m 然后给自由变量，分别进行"01"赋值。看完下面例子你就A 40 0 2 取相反数为(1,0)1(1,1,0,0,0)T2，此时为的自由变量是第4列，而第4列原本是取相反数为(2,-3)填入22,0,-3，此时为的自由变量是第5列，而第5列原本是取相反数为(4,5)填入3第二种方法（不化成行最简，求基础解系形式如下 系数矩阵A

1已经是阶梯型，往下化行最简 0 3rA3,故nrA53找自由变量，方法：本题秩3，就找3阶行列式不为0组合（答案不唯一）例如24列，行列式不0，此时余下的35列就是自由变量令x31,x50由第3行(0,0,0,1,3)得0x10x20x31x43x50x4同理利用第21行得：x1，x 令x0,x1,同理得：x3，x5，x 1 T故基础解系：T

T；5

155 设齐次线性 (1a)xx... 2x(2a)x...2x nx1nx2...(na)xn问a为何值时，该方程组有非0解：对系数矩阵进行初等行变换1 A

3

23

3

3

，本题要化成爪型（注意积累爪型的形式 n第1行的1-2倍....-n倍依次下来

1

1000a若a0,则r(A)1,此时有n12....n为自由变量，依次赋值为1，其余为0，求x1,显然，每次都 -(-1,1,0,....,0)T,(-1,0,1,....,0)T (-1,0,0,... kn1为任意常数若a0,继续对矩阵B进行初等行变换2...n行乘1,然后将其-1a1 1 a1n(n 0

101001000B 0 0

1

1当a1n(n1)时，秩rA)n1n，有非0解，此时自由变量只有12取x1为自由变量，赋值1，根据上面化简的矩阵易求，x2 xn基础解系 ,n]T，故通解k,k为任意常 3阶矩阵A的第一行是(a,b,c)不全为0，矩阵B k为常数 且ABO，求方程组Ax0的解

3 k思路：见到ABO想到两点1、B的列向量，是Ax0的解、rAr(Bn。（不知道的同学记住解：由AB0rAr(B3，由题干得A0,B01r(A)1r(B)分情况讨论1：若rA2,r(B)1,此时k9,由nrA1有1个线性无关解向量而B的列向量又是Ax0解k(1,2,3)T1：若rA1,r(B)2,此时k9,由nrA2,有2个线性无关解向而B的列向量又是Ax0解k(1,2,3)Tk(3,6k 1：若rA)1,r(B)1,此时k9,由nrA)2,有2个线性无关解向量注意此时B的列向量不能满足需求，此时B只能提供k(1,2,3)T1因此我们就要回归题干，寻找突破口，A第一行(a,b,c)不全为0，还可以0由于此时rA1A0

0axbxcx

不妨设a0，此时x2、x3(第23列)为自由变量，按照前面所讲方,0k(b,1,0)Tk( T或者k(1,2,3)T前面任何一个，也,0 注：有方程组，加减消元求解；无方程组，用秩通过推理求解。n阶矩阵A的伴随矩阵A*O，若,,,是非齐次线性方程组Axb 互不相等的解，则对应齐次线性方程组Ax0的基础解仅有一个非0含有三个线性无关的解向解：先讲一个复杂的解题方法有几个线性无关解用nr(A)求，本题主要求r(求秩的题一定都是两个条件，A*O，若,,,是Axb 互不相等的解，（一个证明A....,一个证明A整合证明A A11 A* n20A0矩阵A有n1阶行列式不为 ... nnr(A)n1.下面的条件一又因为：12是Ax0的非0解rA)二者rAn1.故：nrA)1选n,r(A)r(A*)1,r(A)n0,r(A)n因为A*0,因此rA)n1，又因为是Ax0的非0 因此rAnrAn1，此时nrA1已知,,,是4维非0列向量，记A(,,,),A*是A 伴随矩阵，若齐次方程组Ax0的基础解系为(1,0,2,0)T则A*x的基础解系为 解：Ax0的基础解系为(1,0,2,0)TA(1,0,2,0)T基础解系为1个向量nrA1此时的n4，故rA)n,r(A)再利用结论：rA*1rA)n1rA*0,r(A)nnrA*3,有3个无关解向量，因此答案锁定CD又因为无关解向量之前是线性无关的联系，由A(1,0,2,0)TAx=b（非齐次线性方程组三种解无解、唯一解、无穷多解Axb有解rAr唯一解：rArA)无穷多解：rArA

注：不考证明，会用即可Axb无解rA1rArAb)b不能由A的列向量线性表解性质2、为Axb的解,为Ax0的解,则是Axb解的结构rArAn,则Axb的通解 knrnr，其中为Axb的特解，不唯 knrnr为Ax0基础解系，不唯例如A

此时已经是行最简，按照如下方法55nrA422，写框架k1k2此时第13,则、4240而基础解系部分，第24位分别进行1,0 kk，余下的空直接将常数项按顺序抄 1 2 而基础解系余下的空用前面所讲，自由变量1的那列数，取相反数填入空

-0kk

1

231 例1：2xxx2x 已知(1,1,1,1)T是该方程组的一个解，求：(I)：方程组的全部解，并用基础解系表示全部解(II)：该方程组满足x2x3的全部解解：有参数先确定参数，因为(1,1,1,1)T是该方程组的一个将其带入第一个方程，此时可以用表示，对增广矩阵 | 1 A |0 2 4下面讨论21是否为

0

11

2 A 2

1，此时为行最简，rArA0nrA)422按照前面所讲，搭好框架：TkTk 下面找行最简中的E，显然第1列与2列可拼成E,因此x3, 对于特解部分，自由变量位置填0，对于基础解系部分，自由变量10赋值 0，0Tk 1，0Tk 0， 余下的空，特解部分，将常数项按顺序抄上，基础解系部将自由变量为1的那一列的数取相反数，填入空T 0，

k1 k2

0， 其中k1k2为任意

A -21- -

化为行最简

1120 1rA)rA)3,nrA)1,同理其通解为 1

(II)：把方程通解写出，把通解中x2x3，研究参数k1、k2、1时，x13kk，x0k0k1 将通解中的k换成14k合并整理k3,1,1,4T，k为任意 例2（无方程组）：Ax的通解23()234)3整体rAnrA1,框架Tk由1,1,1,1T是Ax特解 ()()，若)I两类题1、两个方程组求公共解（简单 2设公共解为12 （注：故意带负号，为了下面书写 1 2x1x2 y y1x2xax0与x2xxa1有公共222212323x a求a的值与所有公共解：直接联立方程组，对增广矩阵加减1 1 1 | 0

1 | 0 A 0 a2 0 a a

0

a a (a1)(a 0 1 a 1 a (a1)(a 当a1且a2时方程组无解，从而无公共

2)当a1时A

，方程组的通解是k1,01|01|10|00|00|

即：二者通解 1T，k为任意常11011|||00|当a2时A此时公共解

，方程组唯一解是0,1,

基础解(I)：(1,0,2,3)T (II)：(2,1,a2,1)T,(1,2,4,a 求非0解：按照前面所讲，设公共解为，则x11x22y11x11x22y11y220得其次方程组Ax0,下面就是求出x对系数矩阵作初等行变 1 1A

，下面就确定a a 4 a 0 a a由题干知0，则x1、x2不全为0，y1、y2不全为即：要求齐次方程组有非0rA4a

00将a1代入

2此时行最简，第12列能拼成

0 0按照前面所讲第34列对应自由变量，也就是y1、y2为自由变[2,1,1,0]T，[1,2,0,1]Tkk k,k2k,k,k 1 2

00)

11)

也可以用表示k1,k2不全为

同解：（I）的解是（II）的解，（II）的解也是（I），称（I）与（II）同解。n-r(A)=n-r(Br(A)=r(B)

x1bx2cx3x2xax (I)2x13x25x30和(II)x2xax 同解，求a,b,c的：(II)中方程少，未知数多，必有非0解，又因为二者通解，(I)必有非0解|A|,或者用：同解rA)r(B),由r(B)3|A| 于是|A|

2a0a2，下面将a2回带，求(I)的通a然后在按照同解的概念，解出b, k均成A 5 k均成 1 0 xkxkxk带入方程组(II)(1bc) (2b2c1)k两式作差得：k(b2b)0,由于k取任意，则b2bb1,c2或者b0,c注意：很多同学认为这就结束了，别忘了，上面只是保证(I)是(II)的还必须验证(II)是(I)的b1,c2时对系数矩阵B进行初等行变换B

2

3 此时仅比A行变换之后少一行0，显然二者同解

b1,c2时对系数矩阵B进行初等行变换B 此时显然不满足同解，因为rA)r(B)，故该组值舍例1： 设A ,B ,当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC 并求出所有矩阵解：设C x2利用题干ACCAB构造方程组，求出x、x、x、, x 4 a x2 x x x 4 4 x 3 axxaxx即x xx ，求a,b何值时方程组有 对增广矩阵作初等行变换， 1A

a

b 当a1或b0时，方程组无当a1且b0时，按照前面所1k1k故：仅当a1且b0时，C k1 2特征值：一、特征值、特征向2|EA|0,(iEA)x3、相似二、相似A~三、实对称特征值、特征向量An阶是n维非0列向量，若A称是矩阵A的特征是矩阵A属于特征值的特征向由A,0EA)0,0是(EA)x0的由|EA|0,求特征 由（iEA）x0矩阵A属于特征值i线性无关的特征

求矩阵A 2的特征值与特征向 3

3

6个 0，且同时含有公因3

42

3

3(

(1)(4)(3)11,24,3下面求(iEA)x0,对应的基础解析，然 则任选一行为0，如： 1 2，行之间不成比例，

任选一行为 3

12 1

0

0 0按照前面所讲得基础解系当4时，由(4EA)x0 1

2，此时13行成比例，选其中一行为0，在进行 1 2

，得基础解系

04-其中k10，k20，k3结论：1、上下三角矩阵、对角矩阵的特征值，就是矩阵主对角线上的2、Aaij3|EA|3 a22a33)2s|A2s a12 a23 2 a)],a a, 推 若n阶矩阵A,r(A)1,|EA|n an1， a（主对角元素和 其余为注：对于aaa)T，bbb)TT 11A—||kAA—||kA—A—— 1注：p1Ap

—|————|—————|

——

，可由左边推，若的特征值是，则的特征值是，若B的特征向量是，则的特征向量是已知A是3阶矩阵，如果非齐次线性方程组Axb有通解5bk11求A的特征值、特阶矩阵，有3通解的构成，可知5b是xb一个特解(5b)b,得b1b5（满足定义A的形式）1A的特征值，b是对应的特征向量下面再用基础解系部分：A1O01A2O所以

00，特征向量kb、kkk0，k、k不全为0的特征值是、 1 2 设A为2阶矩阵，1,2为线性无关的2维列向量，A1A2212,求A的特征值和特征向解：最简单的方法，定义法：用A所以矩阵A的特征值是01特征向量是k11和k2212k1k2全不为下面讲一下比较讨厌的方法（为了给诸位串一下知识点 这个条件背0隐藏着2并且写成分块矩阵形式：A[,][0,2 2 令B

p,],则AppBp1ApB,即A~

2 此时可得B的特征值为0,1特征向

和

根据前面所

A的特征值为01,特征向量

2, 相重点：A~的问定义：A~B可逆矩阵p1Ap性质|A||Br(A)|EA||EB|A 注意箭头方向A~BAkE~BkE（下面再用相似的性质解题A~BAn~BnAnpBnp1考场的B一定是若A~B，B~C,则A~C即：p1ApB,p1BpC,则p1Ap 其中pp1A~p1Ap其中的元素，就是A的特征值，p为A的特征向如：A~ 注意：若p1ApB这里的p不是A的特征向

12若A是3阶矩阵，A~,则A有3个线性无关的特征向量，反过来注1、A~A有n个无关的特征向量（当A为n阶矩阵）若i是ni特征值，则必有ni个线性无关的特征向量r(iEA)n2、若A有n个不同的特征值3、若ATA

重点考查A是否与相似步骤2、不对称，求特征值，特征值均不同，则与相3、若特征值有重根，下面求秩来判断下面矩阵是否与相似：00

0这是上三角矩阵，特征值就是主对角线元素1,30特征值 不同，故22

5显然这是对称矩阵

A22

2，秩1，对于秩为1的矩阵，用前面总结的方法|EA|362得特征值为6,0,0此时0为重根，此时r(0EA)1而nni32ni表示重根的个数,此时满足r(iEA)nni00

0，此时易得特征值1,1,3其中1为重根，r(1EA)2，显然不 r(iEA)nni,故不相求可逆矩阵P使得P-1AP（若A3阶）3、求A的特征向量1,24、求矩阵PP(,,P-1AP

0已知A

2和B 相似，求y

1

0

一般用aiibii1x15y4x1y24而B为矩阵，则5,y,4为A的特征值|4EA242429(x4)0,两个方程y注：本题若选|5EA|，无法出现x的方程组，这也提醒诸位同学，当出现可逆A

1 b是A属于特征值的特征向量求a, 1 解：没有给出A*，就要想到用定义 b|AbA*下面就是利用前面的公 b|Ab

(1ab)|A

1 由题干知道A可逆，故0a2此时将a2带入（3）（1）（1）b（2）：(b2b2)0b1或2求出|A|41或11矩阵Ax4y，已知A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P1AP为对角型矩阵解：已知A有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征值，那么2必有两个线性无关的特征向量，否则与题干，根据前面总结的公式：r(iE)nnir(2E)1根据2E

12x2,y

2 y 1

得A 2,下面按照上面总结的求可逆P使P1AP步骤 5 求特征值|EA|3

3

(2)26),则特征值2， 求与其对应的特征向量：2，由(2EA)x0,即 -

- - -

，按照前面所讲得：

同理得：6的特征向量1,-2,3]T，令P,,]

1

123- 00

30P1AP 0 实对称矩阵：A实对称矩1、A~2、特征值不同的特征向量相互正交内积0，常涉及齐次方程求特征3、Q1AQQTAQ，其中Q为A的特征向量，为特征值4、特征值均为A3阶实对称矩阵，rA)2若A2A，求A特征解：没给出A的矩阵，用定义A,0,则A2由题干A2A2)0为0或（注意这里是“或”，仅凭A2A这个条件，不能确定是0还是1还是两者都有）因为A为实对称矩阵，且rA)2,则A~，r()2，那么A的特征值n阶矩

11a 11aA

1,则rA .1

解：首先该矩阵是一个实对称矩阵，因此要想到A~求r()即可a

11 111 111

A a 11 1(a1)E a

11

0（n故A的特征值：na1,a1,a1 a1na

a

n，若a1且a1 A~ a ，则rA)n1，若a1 a实对称矩阵，如何用正交矩阵，相似对角化Q1AQQTAQ同正交矩阵相似对角化步骤2、求A的特征3、求A的特 已经确保特征向量正交，只需单位化 验算特征向量是否垂直，若垂直，只需单位化；不垂直，正交化5、Q(r,r,r)r,r,r为特征向量）， 12 12 sidt正交化3个向量的公式就足够了，1,2,3无 (, iri,ii|iA3阶实对称矩阵，各行 2- 的(3).求A及A32解题干没给A矩阵，用定义法A2002,则0是A的特征值，根据题干1，2为0无关的从各行元和均为3，读出关于特征值，特征向量的信息A

31

1，即3为该矩阵的一个特征值，是对应的特征3 313 A的特征值是0,0,3，0特征向量k11k1k2不全为3特征向量k3按照上面总结的步骤去做，此处从改造特征向量开(,)0,用 idt正交化。故： (,)

1 1 2 0 2 单位化：r ，r 6

2

注意：进行单位化时，可去掉外面的分式，这样更简单，如102 111 去掉2，直接对

单位化即

1313对于因是不同特征值的特征向量，不用正交化，但需要单位化r 3令Q(r,r,r)，则Q1AQQTAQ

1 由(2)知AQQ111

1，下面求A

3E)6由(2)得Q1AQQ1A3E)6Q

1

6 6

(2) 3

3 2

32(A3E)62

(3)62

A3阶实对称矩阵，A的秩2，且AB2B0,其中B

11(3).求rA2：1).还是没给A矩阵，用定义，设B(r1r2题干AB2B0，得A(r1r22(r1,r22是矩阵A的特征值，而r1,r2是A关于2因rA)2,则|A|0,而特征值的乘积|A|第3个特征值0，3xxx)T是其特征向量。下面解出x