《总体离散程度的估计》设计

9.2.4总体离散程度的估计【教学目标】1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．2．理解离散程度参数的统计含义．【教学重点】能用样本估计总体的离散程度参数【教学难点】理解离散程度参数的统计含义【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq\x\to(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差．(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝.3．样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq\x\to(y)，则称s2＝为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差．4．标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为eq\x\to(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．思考1:标准差与数据的离散程度有何关系？提示:标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.思考2：估计总体的离散程度有哪些方法？提示:平均数,极差,平均距离,总体方差,总体标准差,样本方差,样本标准差等等.一般地,我们用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.小试牛刀1．3.甲、乙两名射击运动员,在一次连续10次的射击中,他们所射中环数的平均数一样,但方差不同,正确评价他们的水平是 ()A.因为他们所射中环数的平均数一样,所以他们水平相同B.虽然射中环数的平均数一样,但方差较大的,潜力较大,更有发展前途C.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较稳定,更有发展前途D.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较不稳定,忽高忽低【解析】由平均数、方差的意义可知选C.2.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有()图1图2图3A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1D[所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]3.某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79,84,84,86,84,87,93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为()A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,0.4C解析：由题意eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(84＋84＋86＋84＋87)＝85.s2＝eq\f(1,5)×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝eq\f(1,5)×(1＋1＋1＋1＋4)＝eq\f(8,5)＝1.6.4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为16[已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为eq\r(22×64)＝2×8＝16.]例题讲解方差和标准差的计算[例1]甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．[分析](1)利用极差、平均数和方差的公式计算．(2)先比较平均数的大小，再比较方差的大小．[解析](1)甲的极差为103－98＝5，乙的极差为102－99＝3.eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，比较它们的方差，∵seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，故乙机床加工零件的质量更稳定．方法总结在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)：方差大说明取值离散程度大，方差小说明取值离散程度小或者取值集中、稳定．当堂练习1如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sBB[eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(15－11.672＋10－11.672＋12.5－11.672))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋10－11.672＋12.5－11.672＋10－11.672))≈3.47.故eq\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，sA＞sB.]分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？[解]由题意可知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq\f(1,1＋4)＝eq\f(1,5)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq\f(4,1＋4)＝eq\f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×60＋eq\f(4,5)×70＝68kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝eq\f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq\f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.方法总结计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，(2)确定eq\x\to(x)；(3)应用公式s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]．计算s2.当堂练习2在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20eq\x\to(x)甲2乙30eq\x\to(x)乙3其中eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，则两个班数学成绩的方差为()A．3B．2C．2.6D．2.5C[由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\x\to(x)甲－eq\x\to(x))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\x\to(x)乙－eq\x\to(x))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.]方法总结1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．数据的数字特征的综合应用【例3】在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[思路探究]分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析．[解](1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．方法总结(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至