《平面向量的坐标及其运算》同步作业

6.2.3平面向量的坐标及其运算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则点P的坐标为()A．(－8，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))) D．(8，－1)解析：因为eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(3，－2)＋eq\f(1,2)(－5，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，即点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).答案：C2．已知a－eq\f(1,2)b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于()A．(－2，－2) B．(2，2)C．(－2，2) D．(2，－2)解析：选D.由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．答案：D3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，故选A.答案：A4．已知点A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋meq\o(BC,\s\up6(→))，且点P在y轴上，则m＝()A．－2 B.eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．2解析：设P(x，y)，由题意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－5m，,y－2＝m，))所以P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，所以－5m＋1＝0，m＝eq\f(1,5).答案：B5．已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)解析：设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(AC,\s\up12(→)).因为eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－eq\f(7,2)(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.答案：C二、填空题6.平面上三点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC的中点,则向量的坐标为________.

解析依题意知=(+)=(2,1)=,则=-=(2,-5)-=.答案:7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________．解析：由c＝λ1a＋λ2b，得(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))解得λ1＝－1，λ2＝2，所以λ1＋λ2＝1.答案：18.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为________.

解析因为所求向量与向量a=(1,2)平行,所以可设所求向量为x(1,2),又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,解得x=±1.因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).答案:(1,2)或(-1,-2)三、解答题9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c.(1)求3a+b-3c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.解析由已知,得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以解得10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq\o(AB,\s\up12(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BC,\s\up12(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).[等级过关练]1.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为()A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4解析因为=(1,2),=(3-x,4-y),又∥,所以4-y-2×(3-x)=0,即2x-y-2=0,代入检验知B合适.答案B2．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ的值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析：如图所示，因为∠AOC＝45°，设C(x，－x)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3λ，2－2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ))⇒λ＝eq\f(2,5).答案C3．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________．解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(λ,μ)＝4.答案：44．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2－m，1－m)，所以3(1－m)≠2－m，即m≠eq\f(1,2).答案：m≠eq\f(1,2)5．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．解如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6，6)，D(0,6)．由E为AB的中点，则E(3,0)，由BF∶FC＝2∶1，∴F(6,4)．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AF,\s\up6(→))共线，∴4x＝6y即y＝eq\f(2,3)x.①∵eq\o(EP,\s\up6(→))＝(x－3，y)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(3,6)，eq\o(EP,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线，∴3y＝6(x－3