《万有引力理论的成就》经典题型

《万有引力理论的成就》经典题型【基本点】点1.用万有引力定律分析天体运动的基本方法把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，即：应用时根据已知条件选用适当公式进行分析。点2.计算天体质量和密度的思路和方法（1）对于行星或卫星的天体，可把行星或卫星绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的线速度为，根据牛顿第二定律有,解得中心天体的质量为。若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的周期，根据牛顿第二定律有,解得中心天体的质量为。（2）对于没有行星或卫星的天体（或虽有行星或卫星，但不知道其运行的有关物理量），可以 忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。若已知天体的半径为和该天体表面的重力加速度，则有，解得天体的质量为。（3）计算天体密度的方法我们近似把中心天体看作球体,,设中心天体的半径为,球体的体积公式,由上面方法求得中心天体的质量为代入密度公式即可。【典型题解】例1.宇航员站在一个星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为，万有引力常数为。求该星球的质量。x2xVx2xV02V0h图6-4-1则有①由平抛运动规律得知，当初速度增大到原来的2倍时，其水平位移增大到，可得②由①②式解得③设该球上的重力加速度为，由平抛运动的规律得④由万有引力定律与牛顿第二定律有（为小球质量）⑤由③④⑤解得答案：评析：本题有些学生会想到在星球表面某高处，星球某高处的重力加速度随高度的变化而变化。这样，小球究竟做什么运动无法得知。其实在本题中不需要考虑重力加速度随高度增大而减小的因素影响，而应抓住主要因素，认为整个过程不变。解题时易出错的另一个地方是“抛出点与落地点之间的距离”误认为水平位移。例2.海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例，但是在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力，才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天文单位（地球和太阳之间的距离为一个天文单位）。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。分析：设太阳的质量为，行星运行的线速度为，行星的质量为根据得答案：评析：直接利用行星做圆周运动靠万有引力提供向心力。例3．已知地球半径约为，又知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算月球到地心的距离约为。（结果保留一位有效数字）分析：建立物理模型，质点绕地球作匀速圆周运动，（忽略月球半径，视其为质点），设地球质量为，半径为，表面的重力加速度为，月球绕地球的转动周期为，轨道半径为，由答案：评析：向心力可以用周期，线速度，角速度来表示。例4．1989年英国著名的物理学家卡文迪许首先估算出地球的平均密度。根据你所学的知识，能否估算出地球密度？分析：设地球的质量为，地球的半径为，地球的表面的重力加速度为，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得：①将地球看作均匀球体有：②由①②得地球的平均密度将常数代入有答案：分析：计算球体体积公式高于教材【创新点】点1、星体表面及某一高度处的重力加速度的求法ORω图6-4-3（1）解释地球上的物体所受地球的万有引力（F）的方向沿半径指向球心，它的一个分力—重力（G）竖直向下，另一个分力—向心力（Fn）垂直指向地轴。设重力与万有引力间的夹角，所在处的纬度为ORω图6-4-3∴或所以在地球上不同纬度的地方，同一物体的重力发生变化。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力就等于万有引力的大小。因此，若地球表面的重力加速为，则根据万有引力定律：（为地球的半径），该式也适用于其它星体的表面。（2）离地面高处的重力加速度，根据万有引力定律：，（为地球的半径）点2、不同星球的表面力学规律相同，只是（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。点3、发现未知天体海王星和冥王星的发现,是万有引力定律在天文学上具体应用的体现,这充分体现了万有引力定律对研究天体运动的重要意义.点4、天体运行中的近似估算法1.利用理想化模型进行估算物理实际问题涉及的因素较多，为了研究解决问题的方便，需要突出主要因素，忽略次要因素，将研究对象进行科学的抽象，使其成为理想化模型而进行近似估算。2.利用物理常数进行估算估算问题往往告诉的已知量很少，甚至有时什么量也不知道，解题时就应该灵活地运用一些物理常数，有时也要根据经验来适当地拟定一些物理常数进行估算。【创新题解】例1.地球绕太阳公转的轨道半径×1011m，公转的周期是×107s，求太阳的质量是多少？分析：根据牛顿第二定律，可知：⑴是由万有引力提供的，所以⑵∴由⑴，⑵联立可解答案：评析：万有引力提供向心力例2．宇宙飞船由地球飞向月球，当飞到某一位置时，飞船中的宇航员感到自己不受重力作用，此时宇航员在空中的位置距地球