圆锥曲线知识点例题练习含答案

圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F,F的距离的和等于常数（大于IFFI）TOC\o"1-5"\h\z1 2 12一的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：2Q>|FFI表示椭圆；2aIFFI表示线段FF；2a<IFFI没有轨迹；「2 2T「1^2I 12 12（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在X轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程W+21T1(a>b>0)a2 b222+挡t1(a>b>0)a2 b2JL1Py-k-B_pg图形AB1O^2*£1顶点A(—a,0),A(a,0)B；(0,—b),B；(0,b)A(—b,0),A(b,0)B(0,—a),B2(0,a)对称轴并由，y轴；短轴为2b，长轴为2a焦 点八、、 八、、F1(-G。),WO)F1(0,-c),F2(0,C)焦距IFFIt2c(c>0) c2ta2—b2离心率etc（0<e<1）（离心率越大，椭圆越扁）a通径2b2竺-（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）aTOC\o"1-5"\h\z3.常用结论：（1）椭圆E+211（a>b>0）的两个焦点为F,F，过F的直线交椭圆于A,B两—上la 12 1a2b2 12 1点，则AABF2的周长二（2）设椭圆站+22tKa>b>0）左、右两个焦点为F,F，过F且垂直于对称轴的直线—上la 12 1a2b2 12 1交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是IPQIt二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F,F的距离的差的绝对值等于常数（小于IFFI）1 2 12

的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：IPFI-IPF1=2a与IPFI-IPF1=2a(2a<1FFI)表示双曲线的一支。1 2 2 1 122a=IFFI表示两条射线；2a>IFFI没有轨迹;12 12（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程图形顶点对称轴x2y2一，…… =1(a标准方程图形顶点对称轴x2y2一，…… =1(a>0,b>0)a2b2y2x2y =1(a>0,b>0)a2b2/-a,。),A*,。)B(0,-a),B2(0,a)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),号0,c)焦距IFF2I=2c(c>0)c2=a2+b2离心率e=c（e>1）（离心率越大，开口越大）a渐近线y-土bxay=±axb通径2b2ax轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a（3）双曲线的渐近线:①求双曲线x2旦|的渐近线，可令其右边的1为0，— =1a2b2即得旦栏°，因式分解得到土+土0— =0 H=0a2b2 ab②与双曲线m-b-=1共渐近线的双曲线系方程是E-22=x；（4）等轴双曲线为x2-y2=12，其离心率为（2（4）常用结论：（1）双曲线xi-E=1（a>0b>0）的两个焦点为F,F，过F的直线交双曲线—±（a>u,u>）a2b2 12 1的同一支于A,B两点，则AABF2的周长二（2）设双曲线以_22-1（a〉0b〉0）左、右两个焦点为F,F，过F且垂直于对称轴的,a2b2直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是IPQ1=三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p〉0焦点在x轴上，焦点在x轴上，焦点在y轴上，焦点在x轴上，焦点在x轴上，焦点在y轴上，焦点在y轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下y2=-2px x2=2py x2=-2py标准方程图形顶点对称轴22=2pxO(0,0)x轴 y轴焦点F(p,0)F(-p,0)F(0,p)F(0,-p)离心率准线x=-ppx=e=1py=—y=p通径222p22焦半径 IPFI=Ix0I+^ IPFI=Iy01+p焦点弦TOC\o"1-5"\h\z焦准距 p,—— —<A四、弦长公式:IABI=v1+k2Ix-xI=v1+k2,i：(x+x)2四、弦长公式:IABI=v1+k2Ix-xv1 / 12 IAI其中，A,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,设A（x,y），B（x,y），由韦达定理求出x+x=-—，1 1 2 2 1 2Ax1x2=A；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去X,得关于y的一元二次方程Ay2+By+C=0,则相应的f弦长公式是：IAB1= 1+（I）2 Iy一y 1= ：1+（上）2•、,•'（y +y ）2 -4yy= ；1+（上）2-^―\k1 2k1 2 12kIAI注意（1）上面用到了关系式Ix-x1=、'（x+x）2-4xx=*和1 2 「 1 2 12IAIv'二 vA匕一匕=\：（匕+匕）2-4匕匕=31 2 4 1 2 12IAI注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于xTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,设A（x,y），B（x,y），由韦达定理求出x+x=-—；（3）11 22 1 2A设中点M（x,y），由中点坐标公式得x=气+'2；再把x=x代入直线方程求出y=y。oo o2 o o法（二）：用点差法，设A（x,y），B（x,y），中点M（x,y），由点在曲线上，线段1 1 2 2 OO的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x。,yo。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e（求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0<e<1,而双曲线离心率取值范围是e>1）例1：设点P是圆x2+y2=4上的任一点，定点D的坐标为（8,0），若点M满足PM=2MD.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.解设点M的坐标为（x,y），点P的坐标为（x°,y°），由PM=2MD得(x-x,y一y)=2(8-x,-y)，即x=3x-16,y=3y.oo o o

因为点P（x,y）在圆X2+产=4上，所以x2+y2=4.即（3x—16》+（3»=4,0 0 0 0即fx-16]2+y2=4，这就是动点M的轨迹方程.I3J9例2：已知椭圆的两个焦点为（-2,0），（2,0）且过点（5,-3），求椭圆的标准方程2 2解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为兰+21=10〉b>0），a2b2由椭圆的定义可知：2a=、：（2+2）2+（-2一。）2+《（2-2）2+（-2-。）2=25。「.a=<10又c=2,「.b2=a2-c2=6所以所求的标准方程为—+—=1106解法2 c=2,.・.b2=a2-c2=a2-4,所以可设所求的方程为二+=1，将点（5,-3）a2a2-4 22代人解得：a」.而 所以所求的标准方程为三+22=110 6例3. *・]二「"-二..<解I由摘圆的定义，得IP*ITP&=2口=2叭所以|Pf]|二12又f"打泌京=4成-瘁】' 2x|尸气|刈「气|2^Sxl24二皿5叫=手.贝」呻耳=?她乂 学=12而.例4.二9 4设用如乂）-政知.此LAJi的中点M（x,y）, = >=21芸_,且①寸-与：=郭①』^；+。尸；=脆②,田隼_工渊*.+乌）+—方Hy+凡）=°■'可一也％,十船）U "曲女一1…灯壬—I即所求的敝方程加仃-十行=1高二圆锥曲线练习题11、七，七是定点，且|七七|二6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是（）（A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2、已知AABC的周长是16,A（—3,0），B（3,0）,则动点的轨迹方程是（）(A)E+(A)E+22=1 (B)栏+22=1("0)2516 2516(C)三+二二1 (D)栏+22=1("0)1625 16253、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍则椭圆的离心率等于（）3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍则椭圆的离心率等于（）A.D.翌A.24、设椭圆q的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线£上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（）TOC\o"1-5"\h\zx2 22 x2 22 x2 22 x2 22\o"CurrentDocument"A.——1B. —1 C.——1D. — 142 32 132 52 32 42 132 1225、设双曲线挡-22-1(。>0)的渐近线方程为3x土22-0，则。的值为().a2 9(A)4(B)3(C)2(D)16、双曲线2x2-■22-8的实轴长是（)(A)2(B)242(C)4(D)4巨7、双曲线兰-22=1的焦点到渐近线的距离为（ ）412A.2*B.2C.寸'3D.18、以双曲线挡-二-1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()916A.x2+22-10x+9-0 B.x2+22-10x+16-0C.x2+22+10x+16-0 D.x2+22+10x+9-09、、过椭圆三+21=1(a>b>0)的左焦点F作x轴的垂线交椭圆于点P,F为右焦点，若a2b212Z匕PF-60°,则椭圆的离心率为（)A<2A.B.豆 C.1D.-2323m>n>0”是“方程mx2+ny2-1”表示焦点在y轴上的椭圆的10.()(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件11、 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：长轴与短轴的和为18，焦距为6;.焦点坐标为(-3,0),(t'3,0),并且经过点(2，1);.椭圆的两个顶点坐标分别为(-3,0),(3,0)，且短轴是长轴的3;离心率为买，经过点(2,0);212、 与椭圆义+21=1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是：TOC\o"1-5"\h\z9 413、 在平面直角坐标系皿中，椭圆C的中心为原点，焦点FF2在]轴上，离心率为手・过F的直线l交C于A,B两点，且AABF2的周长为16，那么C的方程为：14、 已知F,F为椭圆三+22=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于A,B两点，若12 25 9 1|FA|+\FB\=12，则|AB=.15、 已知F、F是椭圆C：挡+22=1(a〉b>0)的两个焦点外为椭圆C上一点，且PF1PF,1 2 a2b2 1 2若^PF]F2的面积是9,则b=・16、 求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P(4,-V3),Q(2次,3)两点的椭圆方程。圆锥曲线练习题2TOC\o"1-5"\h\z抛物线22=10、的焦点到准线的距离是( )5 < 15 mA.工 B. 5 C^ — D. 102 2若抛物线22=8、上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为( )。A.(7,■■14) B.(14,14)C.(7,±2寸14)D.(-7,±2*14)…一、222以椭圆显+£=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程( )16 9

X2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 X2 ,A.—一—=1B.—一=1C.—一—=1或—一—=1 D.以上都不对16 48 9 27 16 48 9 274.5.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆X2+广—2X+6y+9=4.5.A.y=3x2^或y——3x2 b.y=3x2C.y2=一9x或y=3x2 D.y=—3x2或y2=9x若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）1 <2 1 <2 1<2 1<2A 土亍 &(§'土亍C D(§¥X2y2 - „ -一一.椭圆京+白=1上一点P与椭圆的两个焦点F、F的连线互相垂直，则^PFF的面积为（ ）49 24 1 2 12A.20B.22C.28D.24.若点A的坐标为（3'2）,F是抛物线y2—2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+MA取得最小值的M的坐标为（ ）A.（0,0）B.fL] C.（,提）D.（2,2）12）8.与椭圆彳+y2T共焦点且过点02'1）的双曲线方程是（）X2 X2 <X2 y2 y2A.-—一y2=1B.-—一y2=1C. -—^―=1D.X2———=12 4 3 3 2.若椭圆X2+my2—1的离心率为？-，则它的长半轴长为..双曲线的渐近线方程为X土2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为。.抛物线y2—6x的准线方程为..椭圆5x2+ky2—5的一个焦点是（0,2），那么k=。TOC\o"1-5"\h\zX2 y2一 1.椭圆—-+~r-=1的离心率为■，则k的值为 。k+8 9 2.双曲线8kx2—ky2—8的一个焦点为（0,3），则k的值为。.若直线x-y=2与抛物线y2—4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是

16.k为何值时，直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点?没有公共点？17.在抛物线y=4x 已知AABC的周长是16，A(-3,0)，B(3,0),则动点的轨迹方程是(B 已知AABC的周长是16，A(-3,0)，B(3,0),则动点的轨迹方程是(B)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍双曲线与椭圆二+兰=1有相同焦点，且经过点G15,4)，求其方程。2736x2y219.设F,F是双曲线-—-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且/FPF=60o，12 9 16 1 2求^F]PF2的面积。高二圆锥曲线练习题1、 F，F是定点，且|FF|=6，动点M满足|MF|+|MF|=6，则M点的轨迹方程是(D)1 2 12 1 2(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段3、3、(A)E+站=1(B)w+21=1("0)2516 2516(C)栏+22=1 (D)W+22=1("0)1625 1625则椭圆的离心率等于(D)A.4、A.4、B.翌3设椭圆甲勺离心率为1|，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线％上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线£的标准方程为（A）A 工2 A 工2 y2A.—————=142 32B.兰—22=1132 52X2_y2 — 132 42TOC\o"1-5"\h\z5、设双曲线三—22=1（。>0）的渐近线方程为3x土2y=0，则a的值为（C）.a2 9(D)1(D)4技(A)4 (B)(D)1(D)4技6、双曲线2x2—y2=8的实轴长是(C)(A)2 (B)2.巨 (C)47、双曲线三—22=1的焦点到渐近线的距离为（A）4 12A.2如3 B.2 C.f'3 D.18、以双曲线挡—2=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（A）916A.x2+y2—10x+9=0 B.X2+y2—10x+16=0C.x2+y2+10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=09、 、过椭圆三+苔=1(a>b>0)的左焦点匕作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若z飞PF=60°,则椭圆的离心率为(B)TOC\o"1-5"\h\zA巨 B君 C1 D1A. B. C. D.2 3 2 3“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1”表示焦点在y轴上的椭圆的 (C)（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件解析:将方程mx2+ny2=1转化为+羊=1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足mn1八1 11—>0,—>0,所以一>一，mn nm11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

TOC\o"1-5"\h\z(2)焦点坐标为(—3,0),(目0)，并且经过点(2,1); 与+22=1 .6 3椭圆的两个顶点坐标分别为(—3,0),(3,0)，且短轴是长轴的1;三+22=1或抒+22=1;3-9 9 81⑷离心率为买，经过点(2,0); 打+y2=1或兰+22=1.2 4 4 1612、 与椭圆丑+22=1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是：打+22=19 4 6 13、 在平面直角坐标系皿中，椭圆C的中心为原点，焦点FF2在X轴上，离心率为手・过X2 22F的直线l交C于A,B两点，且AABF2的周长为16，那么C的方程为：(16+ =1)14、已知F,F为椭圆丑+22=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于A,B两点，若12 25 9 1|FA|+\FB\=12，则|AB15、已知F、F是椭圆仁兰+22=1(a>b>0)的两个焦点外为椭圆C上一点，且PF1PF,12 a2b2 1 2若^PF]F的面积是9,则b=3.16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P(4,--*),Q(2或2,3)两点的椭圆方程。解：设椭圆方程为02+2-=1,将P,Q两点坐标代入，解得a2=20,b2=15解：x2x222故一+—20151为所求。圆锥曲线练习题21.抛物线广=10x的焦点到准线的距离是(B)5 < 入15mA.工 B.5 C・=D.102 22.若抛物线22=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为(C)。A.(7,±。14) B.(14,±v0C.(7,±^'14)D.(—7,±2<H)X2V23•以椭圆25+16二1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程（C）A.X2V2——一二=1A.X2V2——一二=11648B.X2V2——一=19 27C.X2V2

一 16481或X2- =19 27D.以上都不对X2V2F,F是椭圆奇+—=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且NAFF=45o，则△AFF的面积为1 2 9 7 12 12(C)A.7 B.7C.7D.^54 2 2以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆X2+V2—2X+6V+9=0的圆心的抛物线的方程是(D)A.V=3X2或v=—3X2 B.V=3X2C.V2=—9X或V=3X2 D.V=—3x2或v2=9X若抛物线V2=X上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（B）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1v'2 1 <2 1<2 1侦2A.(4,±T)B.§±TC(LDLX2V2椭圆京+白=1上一点P与椭圆的两个焦点F、F的连线互相垂直，则△PFF的面积为（D）49 24 1 2 12A.20B.22C.28 D.248.若点A的坐标为（3,2），F是抛物线V2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+MA取得最小值的M的坐标为（D）A.（0,0） B.；,1C.（，槌）D.（2,2）12）9.与椭圆彳+V2=1共焦点且过点2（2,1）的双曲线方程是（A）X2 X2A^X2 X2A^一V2=1B. 一V2=124C.X2 V2 —

3 3=1V2D.X2一二=110.若椭圆X2+my2=1的离心率为亍，则它的长半轴长为1,或2.双曲线的渐近线方程为X土2y=0,焦距为10，这双曲线的方程为 —-亍=±1抛物线y2=6x的准线方程为—x=-3.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=_L。x2 y2 …一一一1 514.椭圆有8+V=1的离心率为2,则*的值为一4,或-4 双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3)，