2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数（含解析）

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数一、单选题1．如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点；同理作直线交于点，若，则的长为（）A．1 B． C．3 D．2．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（）A． B．1 C． D．3．如图，在中，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题4．=.5．两块等腰直角三角形纸片和按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，，.保持纸片不动，将纸片绕点O逆时针旋转.当与在同一直线上（如图2）时，的正切值等于.6．在中，，点是斜边上一点，过点作，垂足为，交边（或边）于点，设，当的面积为时，的值为.三、综合题7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ＝2PC，连接PQ交线段AE于点M．（1）AQ＝，△APQ为等边三角形；（2）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由；（3）AQ＝，B、P、Q三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+cos45°+（2）先化简，再求代数式的值，其中x=4cos30°-tan45°9．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．（1）求证：MC是⊙O的切线；（2）若，，连接PC，求PC的长．10．如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6，求AP的长.12．（1）（2）先化简，再求值：，其中.13．如图，以为直径作，过点A作的切线，连接，交于点D，点E是边的中点，连结．（1）求证：；（2）若，，求的长．14．（1）计算：.（2）求二次函数图象的顶点坐标.15．如图，直线y=-x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的，求点P的坐标．16．如图，、为的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连交于E点.（1）求证：；（2）若，求的值.17．（1）计算：÷sin45°．（2）先化简，再求值：，代入你喜欢的，值求结果．18．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数（k＞0）的图象与边AC交于点E.（1）当点F为边BC的中点时，求点E的坐标；（2）连接EF，求∠EFC的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是对角线AC的中点，点E从A点沿AB向点B运动，运动过程中连接OE，过O作OF⊥OE交BC于F，连接EF，（1）当点E与点A重合时，如图2，求的值；（2）运动过程中，的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；（3）当EF平分∠OEB时，求AE的长.20．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值.21．如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G.（1）若，请用含的代数式表列.（2）如图2，连结.求证；.（3）如图3，在（2）的条件下，连结，.①若，求的周长.②求的最小值.22．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接.（1）证明：；（用图1）（2）当为直角三角形时，求的长度；（用图2）（3）点A关于射线的对称点为F，求的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.连接AC，BD.（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；（2）若，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图象上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.24．如图，已知是的直径，点是上异于，的点，点是的中点，连接，，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交于点．（1）求证：是的切线；（2）求的值；（3）若，，求的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与轴交于点.点为轴负半轴上一点，且，点，分别在线段和上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段被垂直平分，求的长.（3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点，使得，再在这个二次函数的图象上取一点（不与点，，重合），使得，求点的坐标.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接、，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB=，∴AM=，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。2．【答案】C【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OB＝OC，∠MON＝90°，又∵点M、N分别为OB、OC的中点，∴ON＝OM，∴∠OMN＝45°，∴sin∠OMN＝sin45°＝．故答案为：C．

【分析】根据正方形的性质可知OB＝OC，∠MON＝90°，又知点M、N分别为OB、OC的中点，得出ON＝OM，从而得出∠OMN＝45°，据此得出答案。3．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC==4，∴sinB=，故答案为：A．

【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义求解即可。4．【答案】【解析】【解答】由特殊角的三角函数值，能够确定=.故答案是.【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.5．【答案】【解析】【解答】解：当BD与CD在同一直线上（如图2）时，∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，由旋转可知：∠AOC＝∠DOB=α，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°∴∠ACB=90°在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，∴BC＝CD＋BD＝4＋x，∵AB=2，∴根据勾股定理，得x2＋（4＋x）2＝（2）2，解得x＝2或x＝−6（舍去），∴AC＝2，BC＝6，∴tan∠ABC＝＝，∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，∴∠CDO＝∠ABO＝45°，∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，∴∠ABC＝∠DOB，由旋转可知：∠AOC＝∠DOB＝α，∴∠ABC＝α，∴tanα＝，故答案为：.【分析】当BD与CD在同一直线上时，根据三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋转可得∠AOC＝∠DOB，证明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝，再根据∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC证明∠ABC＝α，进而求出α的正切值.6．【答案】或14【解析】【解答】解：当点Q在AC上时，如图所示：，，，解得：或（舍去）；当点Q在BC上时，如图所示：，，，，解得：（舍去）或；综上所述：的值为或.故答案为：或.【分析】当点Q在AC上时，根据三角函数的概念可得PQ=x，由三角形的面积公式可得x的值；当点Q在BC上时，易得BP=16-x，PQ=(16-x)，同理根据三角形的面积公式可得x.7．【答案】（1）（2）解：假设存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．①如图1中，当△AQM与△APQ相似时，∵∠AQM＝∠PQA，∠QAM≠∠QAP，∴∠QAM＝∠QPA＝30°，∴∠PQA＝90°，∴sin∠QPA＝＝＝，∴x＝；②当△APQ与△APM相似时，∵∠APQ＝∠APM，∠QAM≠∠QAP，∴∠PAM＝∠PQA＝30°，∴∠QPA＝90°，∴sin∠PQA＝＝＝，∴x＝4；③如图2中，当△AQM与△APM相似时，∵∠QAM＝∠PAM＝30°，∠AQM≠∠AMP，∴∠AQM＝∠APM，∴AQ＝AP，∴x＝4﹣x，∴x＝．∴当AQ为或4或时，△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．（3）【解析】【解答】解：（1）∵∠DAC＝60°，∴当AQ＝AP时，△QAP是等边三角形，设PC＝x，则AQ＝AP＝2x，∴3x＝4，∴x＝，∴AQ＝时，△APQ是等边三角形．故答案为（3）当B、P、Q三点共线时，作QH⊥AC于H．设PC＝x，则AQ＝2x，AH＝AQ＝x，PH＝4﹣2x，QH＝x，在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠CAB＝30°，∴BC＝AC•tan30°＝，∵BC∥QH，∴＝，∴＝，整理得：3x2+8x﹣16＝0，解得x＝或﹣4（舍弃），∴AQ＝2x＝，故答案为．【分析】（1）利用旋转角为60°，可知∠QAP=60°，因此可知当AQ＝AP时，△QAP是等边三角形，设PC＝x，则AQ＝AP＝2x，则AC=3x=4，可求出x的值，然后求出AQ的长即可求解。

（2）假设存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．①如图1中，当△AQM与△APQ相似时根据∠AQM＝∠PQA，∠QAM≠∠QAP，可证得∠QAM＝∠QPA＝30°，再利用锐角三角函数的定义可证sin∠QPA＝＝，建立关于x的方程，解方程求出x的值；②当△APQ与△APM相似时，易证∠PAM＝∠PQA＝30°，利用锐角三角函数的定义，可知sin∠PQA＝＝，建立关于x的方程，解方程即可求出x的值；③如图2中，当△AQM与△APM相似时，由∠QAM＝∠PAM＝30°，∠AQM≠∠AMP，可证得∠AQM＝∠APM，利用等角对等边可证得AQ＝AP，据此建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解。

（3）当B、P、Q三点共线时，作QH⊥AC于H．设PC＝x，则AQ＝2x，AH＝AQ＝x，PH＝4﹣2x，QH＝x，利用解直角三角形求出BC的长，再利用平行线分线段成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AQ的长即可。8．【答案】（1）解：原式

．（2）解：原式，

，

原式．【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值，化简式子求出答案即可；

（2）根据分式的基本性质，化简代数式，继而由特殊角的锐角三角函数求出x的值，求出代数式的值即可。9．【答案】（1）证明：如图所示：连接OC，∵，∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠BOM＝∠COM，∵在△OCM与△OBM中，∴△OCM≌△OBM（SAS），又∵MB是⊙O的切线，∴∠OCM＝∠OBM＝90°，∴MC是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠APB＝90°，∵OB＝，∴AB＝15，∴PA＝PB＝，∵BC=12，∴，过点A作AH⊥PC于点H，∴，∵，∴AH＝CH，，∴PC＝PH+CH＝．【解析】【分析】（1）连接OC，由平行线的性质可得∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠ACO，则∠BOM＝∠COM，利用SAS证明△OCM≌△OBM，得到∠OCM＝∠OBM＝90°，据此证明；

（2）由圆周角定理可得∠ACB＝∠APB＝90°，根据OB的值可得AB，然后求出PA、PB，利用勾股定理可得AC，过点A作AH⊥PC于点H，根据三角函数的概念可得AH，利用勾股定理可得PH，然后根据PC=PH+CH进行计算.10．【答案】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD//AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，∠AFE∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD//AB，即AF//CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD//AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝6，解得：AM＝3﹣3，∴AC＝2AM＝6﹣6.【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得AE＝CE，根据平行线的性质可得∠AFE＝∠CDE，然后证明△AEF≌△CED，得到AF＝CD，接下来根据平行四边形的判定定理进行证明；

（2）过C作CM⊥AB于M，则∠CMB＝∠CMA＝90°，根据平行线的性质可得∠B＝45°，推出△BCM是等腰直角三角形，得到BM＝CM，易得∠ACM＝30°，根据三角函数的概念可得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，然后根据AM+BM＝AB可得AM，进而求出AC.11．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠B＝∠CAP，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CAP，∵∠P＝∠BCO，∴∠P＝∠CAP，∴AC＝PC（2）解：解：∠AOC＝2∠BCO，∠ACO＝2∠P，∴∠AOC＝∠ACO，∴AC＝AO，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴AP＝OAtan∠AOC＝9.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠B＝∠CAP，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）证明△AOC为等边三角形，根据正切的定义计算，得到答案.12．【答案】（1）解：原式；（2）原式，当时，原式.【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，进而根据绝对值的性质以及二次根式的乘除法法则分别化简，进而再合并同类二次根式即可；

（2）首先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法约分化简，然后将x的值代入进行计算.13．【答案】（1）证明：∵是的切线，∴．∴．∵点E是边的中点，∴．∴，∵，∴；（2）解：连接．∵为直径，∴∵，，∴．在中，，，∴，∵点E是边的中点，∴．∴．【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出，由直角三角形的性质得出结论即可；

（2）连接AD，根据圆周角定理得出，根据三角函数的定义得出，，即可得到结论。14．【答案】（1）解：原式＝=1（2）解：当x=2时，y=1∴顶点坐标为（－2，－1）【解析】【分析】(1)先代入特殊角的三角函数值，然后进行实数的混合运算，即可解答；

(2)先根据抛物线对称轴公式求出对称轴，再将对称轴方程代入函数式计算，即可得出结果.15．【答案】解：原式=2×-3=-2．（1）解：∵直线y=-x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），∴3=-，∴a=-1．∴A（-1，3）．把A的坐标代入y=-x+b得，3=1+b，∴b=2；（2）解：直线y=-x+2与x轴相交于点B．∴B（2，0），∵点P在x轴上，△AOP的面积是△AOB的面积的，∴OB=2PO，∴P的坐标为（1，0）或（-1，0）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法把A（a，3）代入反比例函数中即可求出a的值，然后把A的坐标代入y=-x+b即可求得b的值；（2）根据直线解析式求得B的坐标，然后根据题意即可求得P的坐标．此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，关键是求出A、B点坐标，利用待定系数法和数形结合的思想解决问题．16．【答案】（1）证明：连OA，OC∵OA=OC，则，∵点C为半圆弧的中点，∴∠COE=90°，∴∠OCA+∠OEC=90°，∵PA为圆O的切线，∴∠POA=90°，∴∠OAC+∠PAE=90°，∴∠PAE=∠OEC，，；（2）解：，设k，k，则k，过点A作AH⊥PO于H，∴∴∴OH＝∵∠AHE=∠COE=90°，∠AEH=∠CEO，∴△AHE∽△COE∴∴OE=k∴.【解析】【分析】（1）连接OA，OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，得到∠COE＝90°，根据切线的性质即可得到结论；（2）设OC＝3k，OP＝5k，得到OA＝OC＝3k，由勾股定理得到PA＝PE＝4k，过A作AH⊥PO于H，根据勾股定理得到OH＝，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论.17．【答案】（1）解：原式====（2）解：原式====当时，原式=1【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质、开立方、绝对值、特殊角三角形函数值、负整数指数及零指数幂的性质进行计算即可；

（2）根据分式的混合运算先进行化简，再选取使分式有意义的a、b值代入计算即可.18．【答案】（1）解：∵OA=3，OB=4，∴B（4，0），C（4，3），∵F是BC的中点，∴F（4，），∵F在反比例y=函数图象上，∴k=4×=6，∴反比例函数的解析式为y=∵E点的纵坐标为3，∴E（2，3）；（2）解：∵F点的横坐标为4，且在y=上，∴F（4，），∴CF=BC﹣BF=3﹣=∵E的纵坐标为3，且在y=上，∴E（，3），∴CE=AC﹣AE=4﹣=，在Rt△CEF中，tan∠EFC=.【解析】【分析】（1）求出B（4，0），C（4，3），F（4，），用待定系数法求函数解析式，再求E坐标；（2）根据函数解析式，求出E,F坐标，得到CF=BC﹣BF=3﹣=，CE=AC﹣AE=4﹣=可进一步求出∠EFC的正切值=.19．【答案】（1）解：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=，，当点E与A重合时，∵O是对角线AC的中点，OF⊥OE，∴AF=FC，∴∠OEF=∠FCA，∴；（2）解：运动过程中，的值是否与(1)中所求的值保持不变.理由：∵平移后点E和点F与其对应点和的连接经过同一点B，∴△EOF与平移后的图形是位似图形，∴∠OEF的大小不变，∴运动过程中，的值也不变；（3）解：当EF平分∠OEB时，，，，设，，∵BF+FC=BC，∴，解得，，，在Rt△BFC中，，，.【解析】【分析】（1）当点E和点A重合时，可求出∠OEF=∠FCA，求出tan∠FCA的值即可；

（2）先判断△EOF与平移后的图形是位似图形，利用位似图形的性质即可求解；

（3）先证明△EBF≌△EOF，可得BF=OF，设BF+FC=BC，列出方程，求出x的值，即得BF=FO=3，在Rt△BFC中，利用解直角三角形求出BE的长，由AE=AB-BE即可求出结论.20．【答案】（1）解：∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），将C点坐标代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；（2）解：设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当时，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；当x=1-时，y==a-1=-，∴P（1-，-），如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；当a=1+时，y==，∴P（1+，），综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；（3）解：如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴当t=1时，()最大=.【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=1，根据三角函数的概念可得OC=2OA=2，则C（0，-2），设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2)，将点C的坐标代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式；

（2）设P（a，a2-a-2），当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，求出直线BC的解析式，令y=a2-a-2，得x=a2-a，则PE=a2-2a，S△PBC=PE·OC，易得S△BCD=CD·OC，结合S△PBC=S△BCD可求出a的值，据此可得点P的坐标；当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，则F（a，a-2），PF=a2-2a，S△PBC=PF·OB=CD·OC，求解可得a的值，进而可得点P的坐标；

（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知：P（t，t2-t-2），M（t，t-2），PM=-t2+2t，证明△PQM∽△OQC，然后根据相似三角形的性质以及二次函数的性质进行解答.21．【答案】（1）解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴（2）解：∵为的直径，∴，∴，∴，∵，∴.又∵，∴，∴（3）解：①如图，连结.∵为的直径，∴.在中，，，∴.∵，∴，即，∴.∵，∴.∵在中，，∴，∴.∵在中，，∴.在中，，∴，∴的周长为.②如图，过点C作于H.∵，∴.∵，∴.∴，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∵，∴，∴.设，∴，∴.在中，，∴，当时，的最小值为3，∴的最小值为【解析】【分析】(1)根据在同一圆中，等弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90°和即可得结果；

(2)根据圆周角定理，结合等腰三角形的性质求出∠BEC=∠AGB，则可得出∠CEF=∠BGD，然后利用角边角定理证明△CFE≌△BDG，则可得出EF=DG；

(3)①连接DE，解Rt△ABD中，求出AD和AB，根据弧相等得出弧所对的弦相等，得出AD=CE，解Rt△ABG，求出AG，从而求出EF，在Rt△FED中，由勾股定理求出DF，即可求得△FGD周长；②过点C作CH⊥BF于H，利用角角边定理证明△BAD≌△CHF，得出FH=AD，推出FH=BG，再证明△BHC∽△CHF，设GH=x，由相似的性质列出比例式把CH2表示出来，最后在Rt△GHC中，根据勾股定理构建方程求解，即可得最小值.22．【答案】（1）证明：已知射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，，，，，，又，，；（2）解：直线，当时，，，，当时，，，，，如图2，，，，，，设，，，，，，即，，，，，，由（1）知：，，（3）解：如图3，由对称得：，则动点F在以O为圆心，以为半径的半圆上运动，当F在y轴上，此时在B的正上方，的值最小，如图4，此时，即的最小值是2.【解析】【分析】（1）由旋转性质得∠COE=90°，由等角的余角相等得∠ABO=∠CEO，结合∠ABO=∠EDO，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDC∽△EDO，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；

（2）令直线解析式中的x=0算出对应的函数y的值，可得点B的坐标，令直线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，根据等角的同名三角函数值相等得，设OD=3m，CD=4m，然后判断出△CDB∽△AOB，根据相似三角形对应边成比例得，据此可用含m的式子表示出BD，再根据OB=BD+OD=6建立方程，求解可得m的值，从而再根据（1）的结论，可求出DE的长；

（3）根据对称的性质得OA=OF，则动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆上运动，当F在y轴上，此时在B的正上方，BF的值最小，进而根据BF=OF-OB算出答案.23．【答案】（1）解：当时，.解方程，得，.∵点A在点B的左侧，且，∴，.当时，.∴.∴.∵，∴.（2）解：方法一：如图1，连接AE.∵，∴，.∴，，.∵点A，点B关于对称轴对称，∴.∴.∴.∵，，∴，即.∵，∴.∴.∵，∴解方程，得.方法二：如图2，过点D作交BC于点H.由方法一，得，.∴.∵，∴，.∴.∵，，∴.∴.∴，即.∵，∴解方程，得.（3）解：.【解析】【解答】解：（3）.设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即.∵，∴.，，∴.解得，又，∴.【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标，进而得到OB=OC=2m+1，推出△BOC为等腰直角三角形，据此解答；（2）方法一：连接AE，易得D（m，(m+1)2），F（m，0），则DF=(m+1)2，OF=m，BF=m+1，根据轴对称的性质可得AE=BE，则∠CEA=90°，推出∠ACE=∠DBF，然后根据三角函数的概念可得m的值；

方法二：过