河北省邯郸市曲周一中2023-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

2023-2023学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3 B．＜ C．a2＞b2 D．0＜b﹣a＜12．在△ABC中，a=2，b=，A=，则B=（）A． B． C． D．3．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，则lgxlgy最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．165．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．26．在△ABC中，，三边长a，b，c成等差数列，且ac=6，则b的值是（）A． B． C． D．7．数列{an}的通项式an=，则数列{an}中的最大项是（）A．第9项 B．第10项和第9项C．第10项 D．第9项和第8项8．已知等差数列{an}中，有+1＜0，且该数列的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．219．设x，y都是正数，且2x+y=1，则的最小值是（）A．4 B．3 C．2+3 D．3+210．数列{an}的首项为1，{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，且bn=an+1﹣an（n∈N*）则an=（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1﹣1 D．2n﹣211．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项的和为An，Bn．且，则=（）A． B． C． D．12．已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．设a=﹣，b=﹣，c=﹣，则a、b、c的大小顺序是．14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第100个括号内的数为．16．在三角形ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，则下列结论中正确的是（填上所有正确结论的序号）（1）b2≥ac（2）（3）b2≤（4）tan2．三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2023秋•邯郸校级月考）设2x2﹣3x+1≤0的解集为A，x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为B，若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）（2023•黑龙江）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2023秋•商丘期中）（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤．20．（12分）（2023•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．21．（12分）（2023•长沙校级一模）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．22．（12分）（2023秋•金水区校级期中）已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+2+Sn=2Sn+1+1（n∈N*）；数列{bn}中，b1=a1，{bn+2}是以4为公比的等比数列．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=bn+2+（﹣1）n﹣1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．2023-2023学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3 B．＜ C．a2＞b2 D．0＜b﹣a＜1考点： 不等关系与不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由0＜a＜b＜1，可得0＜b﹣a＜1．即可得出．解答： 解：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b﹣a＜1．故选：D．点评： 本题考查了不等式的性质，属于基础题．2．在△ABC中，a=2，b=，A=，则B=（）A． B． C． D．考点： 正弦定理．专题： 解三角形．分析： 根据正弦定理求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，从而求得B的值．解答： 解：在△ABC中，由于a=2，b=，A=，则根据正弦定理可得，即=，求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，∴B=，故选B．点评： 本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．考点： 余弦定理；正弦定理．专题： 解三角形．分析： 已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，进而设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．解答： 解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，利用正弦定理化简得：a：b：c=4：3：2，设a=4k，b=3k，c=2k，∴cosA===﹣．故选：A．点评： 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．4．x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，则lgxlgy最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 利用基本不等式和对数的意义即可得出．解答： 解：∵x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0．∴4=lgx+lgy，化为lgx•lgy≤4，当且仅当lgx=lgy=2即x=y=100时取等号．故lgxlgy最大值为4．故选：B．点评： 本题考查了基本不等式和对数的运算，属于基础题．5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2考点： 简单线性规划．专题： 不等式的解法及应用．分析： 1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值解答： 解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．点评： 本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义6．在△ABC中，，三边长a，b，c成等差数列，且ac=6，则b的值是（）A． B． C． D．考点： 数列与三角函数的综合．专题： 综合题．分析： 根据三边长a，b，c成等差数列，可得a+c=2b，再利用余弦定理及ac=6，可求b的值．解答： 解：由题意，∵三边长a，b，c成等差数列∴a+c=2b∵∴由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac∵ac=6∴b2=6∴故选D．点评： 本题以三角形载体，考查余弦定理的运用，考查数列与三角函数的综合，属于中档题．7．数列{an}的通项式an=，则数列{an}中的最大项是（）A．第9项 B．第10项和第9项C．第10项 D．第9项和第8项考点： 数列的函数特性．专题： 导数的综合应用．分析： 利用导数考察函数f（x）=（x＞0）的单调性即可得出．解答： 解：由数列{an}的通项式an=，考察函数f（x）=（x＞0）的单调性．∵f′（x）=，令f′（x）≥0，解得0＜，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得，此时函数f（x）单调递减．而，f（9）=f（10）．∴数列{an}中的最大项是第10项和第9项．故选：B．点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了计算能力，属于基础题．8．已知等差数列{an}中，有+1＜0，且该数列的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由题意可得＜0，公差d＜0，进而可得S19＞0，S20＜0，可得答案．解答： 解：由+1＜0可得＜0又∵数列的前n项和Sn有最大值，∴可得数列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得Sn＞0的n的最大值n=19，故选B点评： 本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用，属基础题．9．设x，y都是正数，且2x+y=1，则的最小值是（）A．4 B．3 C．2+3 D．3+2考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答： 解：∵x，y都是正数，且2x+y=1，∴==3+=3+2，当且仅当y=x=﹣1时取等号．因此的最小值是．故选：D．点评： 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．10．数列{an}的首项为1，{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，且bn=an+1﹣an（n∈N*）则an=（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1﹣1 D．2n﹣2考点： 数列递推式．专题： 等差数列与等比数列．分析： 根据等比数列的通项公式求出bn，然后利用累加法即可求出数列的通项公式．解答： 解：∵{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴bn=2•2n﹣1=2n，即bn=an+1﹣an=2n，则a2﹣a1=21，a3﹣a2=22，a4﹣a3=23，…an﹣an﹣1=2n﹣1，等式两边同时相加得，an﹣a1==2n﹣2，即an=2n﹣2+1=2n﹣1，故选：A点评： 本题主要考查数列通项公式的求解，根据等比数列的通项公式以及累加法是解决本题的关键．11．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项的和为An，Bn．且，则=（）A． B． C． D．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析：==，代入可得结论．解答： 解：====，故选：D．点评： 本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4考点： 简单线性规划的应用．专题： 计算题；压轴题．分析： 将目标函数z=x+my化成斜截式方程后得：y=﹣x+z，若m＞0时，目标函数值Z与直线族：y=﹣x+z截距同号，当直线族y=﹣x+z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个；若m＜0时，目标函数值Z与直线族：y=﹣x+z截距异号，当直线族y=﹣x+z的斜率与直线BC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件．解答： 解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令z=0，可得直线x+my=0的斜率为﹣，结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为=﹣1，所以﹣=﹣1，解得m=1，故选C．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，所以m=1，选C．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！点评： 目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．设a=﹣，b=﹣，c=﹣，则a、b、c的大小顺序是a＞b＞c．考点： 不等式比较大小．专题： 函数的性质及应用．分析： 不妨设a＞b，由此得出a＞b，同理得出b＞c，即可得出a、b、c的大小顺序．解答： 解：∵a=﹣＞0，b=﹣＞0，c=﹣＞0，不妨设a＞b，即﹣＞﹣，∴+＞+，∴8+2＞8+2，即＞，∴15＞12，∴a＞b，同理b＞c；∴a、b、c的大小顺序是a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c．点评： 本题考查了表达式的比较大小的问题，解题时应先比较两个数的大小，从而得出正确的结果，是基础题．14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）．考点： 一元二次不等式的应用．专题： 计算题．分析： 根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．解答： 解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）故答案为：（﹣，﹣）点评： 本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点，属于基础题．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第100个括号内的数为397．考点： 归纳推理．专题： 计算题；推理和证明．分析： 括号里的数有规律：即每三个一组，里面的数都是1+2+3=6，所以到第100个括号内的数为第34组的第一个数，即可得出结论．解答： 解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，所以到第100个括号内的数为第34组的第一个数，第100个括号内的数为是2×（33×6+1）﹣1=397．故答案为：397点评： 本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式，属于基本知识的运用，试题较易．16．在三角形ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，则下列结论中正确的是（1）（3）（4）（填上所有正确结论的序号）（1）b2≥ac（2）（3）b2≤（4）tan2．考点： 解三角形．专题： 解三角形．分析： 由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用基本不等式得到a+c≥2，把2b=a+c代入得到结果，即可对于选项（1）做出判断；选项（2）中不等式左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，把选项（1）的结论代入即可做出判断；利用作差法判断选项（3）即可；利用余弦定理表示出cosB，把2b=a+c代入并利用基本不等式化简求出cosB的范围，确定出B的范围，即可求出tan2的范围，做出判断．解答： 解：由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，∵a+c≥2，∴2b≥2，即b2≥ac，选项（1）正确；+==≥=，选项（2）错误；∵b2﹣=﹣=﹣≤0，选项（3）正确；由余弦定理得：cosB===≥=，∴0＜B≤，则tan2≤，选项（4）正确，故答案为：（1）（3）（4）点评： 此题属于解三角形题型，涉及的知识有：等差数列的性质，基本不等式的运用，余弦定理，以及正切函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2023秋•邯郸校级月考）设2x2﹣3x+1≤0的解集为A，x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为B，若A⊆B，求实数a的取值范围．考点： 集合的包含关系判断及应用．专题： 计算题；集合．分析： 由题意可解得A=[，1]，B={x|a≤x≤a+1}，从而解得．解答： 解：由题意得，A=[，1]，B={x|a≤x≤a+1}，∵A⊆B，∴，解得，0≤a≤，故实数a的取值范围为[0，]．点评： 本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．18．（12分）（2023•黑龙江）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．考点： 余弦定理；正弦定理．专题： 解三角形．分析： （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．解答： 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B为三角形的内角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××=××（2+）=+1．点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）（2023秋•商丘期中）（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤．考点： 不等式的证明．专题： 证明题；不等式的解法及应用．分析： （1）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得结论，（2）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即可证明．解答： 证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（6分）（2）因为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以（12分）点评： 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2023•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点： 等差数列的通项公式；数列的求和．专题： 综合题．分析： （I）根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用an的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．解答： 解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列{an}的通项公式为an=2﹣n；（II）设数列{}的前n项和为Sn，即Sn=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，当n＞1时，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以Sn=，综上，数列{}的前n项和Sn=．点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．21．（12分）（2023•长沙校级一模）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．考点： 解三角形的实际应用．专题： 应用题；综合题．分析： （1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答： 解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）．（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号∴S四边