导数在研究函数中应用第二课时课件苏教版选修

3．3导数在研究函数中的应用第二课时极大值与极小值学习目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

课堂互动讲练知能优化训练3．3.2课前自主学案课前自主学案[1，＋∞)(－∞，2)，(3，＋∞)(2,3)1．极值点与极值知新益能(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：①f(a)__f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值)；②f′(a)＝__；③在x＝a附近的左侧f′(x)__0，函数单调____；在x＝a附近的右侧f′(x)__0，函数单调____．<0递减<>递增(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：①f(b)__f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值)；②f′(b)＝__；③在x＝b附近的左侧，f′(x)__0，函数单调____；在x＝b附近的右侧，f′(x)__0，函数单调____．>0>递增<递减2．求函数f(x)极值的方法与步骤(1)解方程f′(x)＝0；(2)验证判断：若求得某点处的导数值为零，此点一定是极值点吗？提示：不一定．一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反，才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．问题探究课堂互动讲练求函数的极值与函数的单调性有直接的关系，是在求单调区间的基础上进一步完成的．考点一求函数的极值考点突破例1【思路点拨】可先求f′(x)和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这个点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：(1)当a－1>2，即a>3时，f(x)在(a－1，a＋1)内为增函数，无极值；(2)当0<a－1<2，即1<a<3时，2<a＋1<4，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6；(3)当a－1<0，即0<a<1时，1<a＋1<2，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2.【名师点评】

(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f′(x)＝0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然．(2)极值情况较复杂时，注意分类讨论．自我挑战设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)在单调区间与极值点．确定函数极值存在的条件，可以去寻求需要的条件．研究的函数多为三次函数，三次函数求导后，变为二次函数，因而转化为研究二次函数的有关知识．考点二函数极值存在的问题设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．【思路点拨】利用极值点与导数的关系，建立由极值点x＝1与x＝2所确定的相关等式，运用待定系数法确定a，b的值，再利用极值的定义进行判断．例2【名师点评】本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向，在求导之后，不会应用在极值点处的导数为0这一隐含条件，是解决问题的最大障碍．与函数的单调性、图象等相结合，解决有关方程的根或图象交点等问题．(本题满分14分)设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点三函数极值的综合应用例3【思路点拨】

(1)依据求函数极值的方法求解．(2)根据极值大小分析函数图象情况，据此可求出实数a的值．【规范解答】

(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1. 又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.4分所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.6分(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，10分所以a＋2＝0，a＝－2，如图(1)．当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.如图(2)．综上，当a＝2或a＝－2时方程恰好有两个实数根.14分【名师点评】

(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数不仅能判断函数的单调性，研究函数的极值和最值情况，还能在此基础上画出函数的大致图象，得到函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的条件，从而为研究方程的根提供方便．所以在解决方程的根的问题时，要善于运用导数的方法进行求解．1．函数的极值与其导数的关系(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的定义域内可能有多个极大值和极小值，且极大值不一定比极小值大．(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号；可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0.方法感悟(3)函数的不可导点也可能是极值点．由以上可知判定函数f(x)的极值点，应对f(x)的定义域内的两类“可疑点”都作出判定：①判定定义域内所有的导数为零的点；②判定定义域内所有的不可导的点．2．求解函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′