机器人技术-运动分析

第三章机器人运动分析

KinematicsofIndustrialRobot

§3—1概述

运动分析可以确定各关节、部位、机器人末端的位姿具体坐标值、速度、加速度。关节较多，杆件较多，如只在一个固定坐标系中分析困难。多坐标系，坐标转换。

§3—2机器人末端位姿描述位置position姿态pose一、

坐标系末端坐标系Onxnynzn—末端夹持器固联

固定坐标系（基础坐标系）()—底座固联二、

位姿描述1.位置描述矢量—机器人手端位置P=[Px,Py,Pz]T,

2。姿态描述（方位）手端姿态:xnynzn坐标轴在固定坐标系中的投影关系奇异点：敌机在正上方，方位自由度退化，难以瞄准，一旦出现仰俯角（而此时仰俯角位置所在方位是此前位置），而新的方位是敌机任意的，无法瞬时调节方位。

一列：xn对XYZ的方向余弦二列：

yn对XYZ的方向余弦三列：zn对XYZ的方向余弦机器人位姿矩阵：

positionandposematrix

矩阵A

与各关节运动有关，A?

§3—3坐标变换一个杆件--------一个坐标系杆件相对运动（关节运动）坐标系相对运动坐标变换一、

平移变换1、二维坐标平移变换

abyxy1x1P(x1,y1)oo1上式成立条件：当前坐标系O1从参考坐标系O重合位置向右上方移动(a,b)为了便于矩阵运算，改写上式T—平移矩阵,左乘齐次坐标—n坐标增加一维。abyxy1x1P(x1,y1)oo12、三维坐标平移变换O1坐标以O坐标为参考,从O重合位置移开(a,b,c)T—平移矩阵,左乘二、旋转变换1、二维坐标旋转变换

P(x1,y1)y1yx1xααR—旋转变换矩阵，方向余弦矩阵.R－当前坐标O1以参考坐标O为参考旋转，左乘R左式成立条件：O1坐标系按右手定则从O坐标系重合位置旋转α2、三维坐标旋转变换绕三个坐标轴旋转(相当二维旋转)：P(x1,y1)y1x1xθθyR－当前坐标O1以参考坐标O为参考旋转，左乘Rz1x1y1zyxR－当前坐标O1以参考坐标O为参考旋转，左乘Rz1x1y1zyxR－当前坐标O1以参考坐标O为参考旋转，左乘R例题：已知x1=7,y1=3,z1=2,①

求绕Z轴旋转90°后x,y,z坐标值②

绕Z轴旋转90°后，再绕Y轴转90.解

(1)绕Z轴旋转90°.sinθ=1,cosθ=0z1x1y1zyxP(7,3,2)解

(1)绕Z轴旋转90°.sinθ=1,cosθ=0zyxx1y1z1P(-3,7,2)zyxx1y1z1P(-3,7,2)

2)

绕Z轴旋转90°后再绕Y轴转90.yx1y1zP(2,7,3)xz1P1(7,3,2)P(2,7,3)yx1y1P(2,7,3)xz1z注意：①②动作顺序的结果是前(左)乘矩阵三、

平移与旋转组合变换1、当前坐标系O1相对参考坐标系O变换P(x1,y1)y1x1xθθy

平移矩阵：旋转变换矩阵：例；先绕Z轴旋转再平移总变换矩阵：P(x1,y1)y1x1xyab动作顺序的结果是左乘矩阵

平移变换矩阵：P(x1,y1)y1x1xyab例：先以O为参考平移a,b，再绕Z轴旋转，则旋转变换矩阵：总变换矩阵：xyP(x1,y1)y1x1θ两种动作顺序比较：两种动作顺序结果相同比较：先旋转，后平移先平移，后绕Z1旋转结论：绕自身轴线旋转→右乘旋转矩阵例题：已知点P（x1=7,y1=3,z1=2）,①

绕z1轴旋转90°②

沿x1,y1,z1

轴移动[4,-3,7]单位③绕y1轴旋转90°解

(1)变换矩阵A2、当前坐标系O1相对当前坐标系O1变换x1y1Z1x1y1Z1x1y1Z1x1y1Z1动作顺序的结果是右乘矩阵

P（x1=7,y1=3,z1=2）,x1y1Z1平移变换矩阵：P(x1,y1)y1x1xyab例：先以O为参考平移a,b，再以当前坐标系O1为参考系绕Z1轴旋转，则旋转变换矩阵：3、当前坐标系O1相对当前参考坐标系O及当前坐标系O1混合变换总变换矩阵：P(x1,y1)y1x1xyab动作顺序的结果是右乘矩阵

总结：（1）O1坐标系以O坐标系为参考变换，左乘矩阵（2）O1坐标系以O1坐标系为参考变换，右乘矩阵P(x1,y1)y1x1xyab例题：已知n1=1,o1=5,a1=4,①

绕x轴旋转90°②

沿z1

轴移动3单位③绕z轴旋转90°④沿y1

轴移动5单位解变换矩阵Ax1y1Z1§3—4机器人正向运动学forwardsolution正向-已知各关节角度，求末端执行器位姿。

----很少反向-已知末端执行器位姿，求各关节角度。

-----常见

一、

机器人关节与连杆二、

机器人坐标系的建立方法坐标系数=关节数＋10坐标系(前），n手部（后）坐标系编号方法：左边、基础－前右边、手部－后1、后置法—连杆i的坐标系xiyizi

建立在后一个关节（右边）i+1处－常用Z轴：关节轴线2、前置法—连杆i的坐标系xiyizi

建立在前边（左边）关节i处。

三、广义连杆广义连杆—相邻两个关节轴线处于空间任意位置。杆件长度ai—相邻两关节最短距离，X轴方向杆件扭角（关节轴线夹角）αi—相邻两关节轴线平移相交后的夹角。正负绕Xi轴旋转右手定则。ai偏置量di—相邻杆件长度线ai-1与ai在关节轴线上的距离，相邻x轴间距。关节变量角θi—相邻杆件长度ai-1与ai平移相交后的夹角，正负绕Zi轴右手定则三、

相邻杆件运动学关系—坐标变换目的：将杆件i的位姿坐标xiyizI表现在xi-1yi-1zi-1坐标中。原理：将位姿坐标xiyizI进行坐标转换到xi-1yi-1zi-1坐标中。方法：两次平移，两次旋转。注意：旋转角度θiαi正负符合右手定则。变换依据：设定Oi,Oi-1、最初重合－按当前坐标矩阵变换－右乘矩阵1、后置法（常用此法）变换矩阵Ai=R(zi,θi)T(0,0,di)T(αi,0,0)R(xi,α

i)设定Oi-1,Oi、最初重合－按当前坐标矩阵变换－右乘矩阵

变换矩阵Ai=R(xi,α

i-1)T(ai-1,0,0)T(0,0,di)R(zi,θi)2、前置法（略）四、

机器人运动学方程建立设用关节后置法

n个关节，n+1个坐标系。n+1个杆件（含机架）A—总变换矩阵－n向n-1转换－1向0转换运动学方程如下五、

运动学方程正向求解已知机器人结构参数：杆件长度ai，杆件扭角αi，偏置量di关节变量角θi求：机器人末端执行器位姿具体数值求解：【1】建立各坐标系【2】相邻杆件坐标转换→确定总变换矩阵A确定建立运动学方程【3】求解A,确定x0y0z0坐标下的机器人末端执行器位姿具体数值例题：PUMA560机器人运动分析—美国Unimation公司产品求解：末端执行器位姿

解：1、自由度、关节分析F=6六个关节

2、坐标数=6+1=7O1→O6放大杆件长度ai—相邻两Z轴距离，i杆件代号偏置量di—相邻x轴间距已知：a2、a3、d2、d3、d6a1=0、a4=0、a5=0、a6=0、d1=0、d4=0、d5=0放大解：【1】建立各坐标系

x0y0z0x1y1z1…xnynzn—后置法【2】相邻杆件坐标转换

将已知数据带入得：总变换矩阵

px,py,pz

－θ1,θ2,θ3,影响位置（末端夹持器坐标原点O6）n,o,a,－θ1,θ2,θ3

θ4,θ5,θ6,影响姿态确定建立运动学方程【3】求解A,得x0y0z0例如：图示位置θ1=0°，θ2=0°,θ3=0°θ4=θ5=θ6=0°可见与图完全一致。逆向运动学命题：已知xnynzn,x0y0z0已知A方阵数据未知A方阵中关节变量θ求解方阵A得各θ§3—5机器人逆向运动学inverse（converse)solution机器人运动学问题是逆向运动学问题,轨迹控制一、逆向运动学可解性

F≤6，转动及移动关节开式链机器人，有数值通解。A中包含各关节变量θ关系。1、数值通解—方阵A左右对应元素相等，得多变量三角函数方程组－非线性超越方程组－无显式解迭代计算量相当大，无法满足机器人实时控制要求。2、解析法（代数法）—特殊情况，有解析解。利用矩阵对应元素存在零或常数项。3、作图法。二、逆向运动学解析法（代数法）

已知数据待求的各变量θ例题：PUMA560机器人运动分析—美国Unimation公司产品（1）解θ1，θ3方程左乘：找常数项，对应项两边相等，解出θ1，θ3方程右边方程左边展开矩阵最后一列左右两侧分别：解θ1[＊]第三行式子:令:θ1具有两个解解θ3[*][*]化简θ3具有两个解[＊][＊]（2）解θ2,θ4找常数项，两边相等，解出θ2.θ4方程右边：方程左边：方程左乘：四列前三行：θ2一个解可行，另一个伪根[*][*]解θ2解θ4解θ2式的三列前三行：[*][*]θ2一个解可行，另一个伪根（3）解θ5找常数项，两边相等，解出θ5.

方程右边：方程左边：方程左乘：三列前三行：θ5具有两个解（4）解θ6找常数项，两边相等，解出θ6.

右边：左边：方程左乘：其中某行某列：θ2一个解可行，另一个伪根（5）讨论θ1,θ2,θ3,－由px,py,pz,构成θ4,θ5,θ6,－由n,o,a,θ1,θ2,θ3等构成。代数法总结：（1）左乘逆阵，列方程，左右对应元素相等，可解方程，依次递推。（2）递推一次，可解一个或多个变量。不需全推，方程可能已经全部解出。（3）由实际判断伪根三、逆向运动学多解问题同一位置：两个解。原因：机构几何关系多解。解反三角函数方程同样证明多解性PUMA560机器人运动多解RRPR机器人去除多解方法：A)关节运动空间限制：如解θ=40°（或40+180=220°）而关节角度范围：±100°。应选40.B)连续性：最接近上一时刻的解C)逐级剔除多余解。避免出现树状解结构。多解用途：实现避障要求§3—6机器人的速度分析及速度控制前面－位移问题现在－速度问题末端夹持器速度：位置速度—线速度Vx,Vy,Vz（相对固定坐标系度量）.

姿态速度—夹持器绕三个固定坐标系轴角速度ωx,ωy,ωz.一、速度分析（正向运动学）广义坐标：移动或转动位置：Px,Py,Pz.姿态：可用方向余弦。或用绕三个固定坐标轴角度度量表示通过运算可以求出与方向余弦之间的关系。用广义坐标表示机器人末端夹持器运动方程:广义坐标矩阵通式：

P-操作空间。q-关节空间。正向运动学逆向运动学

P(P1,P2,P3,P4,P5,P6)

P(P1,P2,P3,P4,P5,P6)

答案唯一多解性求导:平移速度求导:旋转速度广义坐标导数矩阵:雅可比矩阵广义坐标速度矩阵通式：例题