2022年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

2.已知函数f(x)的定义域是[一1，1]，则f(x一1)的定义域为()。

A.[一1，1]B.[0，2]C.[0，1]D.[1，2]

3.设y=2-x，则y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

4.

5.设函数在x=0处连续，则a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.26.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

7.设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有

A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量

B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量

D.f(x)与g(x)为等价无穷小量

8.

9.微分方程yy'=1的通解为A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

10.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

11.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

12.

13.

A.单调增加且收敛B.单调减少且收敛C.收敛于零D.发散14.A.A.

B.

C.

D.

15.设函数f(x)=arcsinx，则f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

16.

17.

18.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

19.

20.当x→0时，sinx是sinx的等价无穷小量，则k=()A.0B.1C.2D.3二、填空题(20题)21.

22.曲线y=x/2x-1的水平渐近线方程为__________。

23.

24.

25.

26.设是收敛的，则后的取值范围为______．

27.

28.

29.

30.

31.

32.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．

33.

34.

35.

36.

37.

38.39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

43.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

44.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

45.

46.47.求微分方程的通解．48.

49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．50.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

51.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．52.证明：

53.

54.求曲线在点(1，3)处的切线方程．55.56.57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．59.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.设z=f(xy，x2)，其中f(x，y)有连续偏导数，求

62.

63.设区域D为：

64.

65.求曲线的渐近线．

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.要造一个容积为4dm2的无盖长方体箱子，问长、宽、高各多少dm时用料最省?

六、解答题(0题)72.求∫xcosx2dx。

参考答案

1.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

2.B∵一1≤x一1≤1∴0≤x≤2。

3.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易错误选C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记：若y=f(u)，u=u(x)，则

不要丢项。

4.C

5.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

由函数连续性的定义可知，若f(x)在x=0处连续，则有，由题设f(0)=a，

可知应有a=1，故应选C．

6.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

7.C

8.C

9.D

10.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

11.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为r=2，所以其通解为y=Ce2x，又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

12.A

13.C解析：

14.B

15.C解析：本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

16.C解析：

17.B

18.B由不定积分的性质可知，故选B．

19.B解析：

20.B由等价无穷小量的概念，可知=1，从而k=1，故选B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当x→0时，有sinx～x，由题设知当x→0时，kx～sinx，从而kx～x，可知k=1。

21.1

22.y=1/2

23.

24.

25.26.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

27.1/200

28.

29.1-m

30.1/21/2解析：

31.y=xe+Cy=xe+C解析：32.[-1，1

33.

34.

解析：

35.

36.

解析：

37.6x26x2

解析：38.k=1/2

39.

40.

41.

则

42.由等价无穷小量的定义可知

43.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

44.函数的定义域为

注意

45.

46.

47.48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.

51.

列表：

说明

52.

53.54.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

55.

56.

57.由二重积分物理意义知

58.

59.

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

61.本题考查的知识点为求抽象函数的偏导数．

已知z：f(xy，x2)，其中f(x，y)有连续偏导数，求．通常有两种求解方法．

解法1令f'i表示厂对第i个位置变元的偏导数，则

这里应指出，这是当每个位置变元对x的偏导数易求时，才采用此方法．相仿可解

有必要指出，由于第二个位置变元不依赖y，因此第二个位置变元对y的偏导数为0．

解法2令u=xy，v=x2，则z=f(u，v)．

62.63.利用极坐标，区域D可以表示为0≤θ≤π,0≤r≤2本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意．

64.65.由于

可知y=0为所给曲线的水平渐近线．由于

，可知x=2为所给曲线的铅直渐近线．本题考查的知识点为求曲线的渐近线．

注意渐近线的定义，只需分别研究水平渐近线与铅直渐近线：

若，则直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线；

若，则直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线．

有些特殊情形还需研究单边极限．

本题中考生出现的较多的错误是忘掉了铅直渐近线．

66.

67.

68.

69.

70.

71