抛物线的几何性质 课件

抛物线的几何性质

我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)

来研究它的一些几何性质.1．范围：

因为p>0，由方程可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它的开口向右。2．对称性：

以－y代替y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。3．顶点：

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当x=0时，y=0，因此这条抛物线的顶点坐标就是坐标原点(0，0).

4．离心率：

抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e=1.例1．已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点，且开口向右，又抛物线经过点M(4，2)，求它的标准方程。解：根据已知条件，设抛物线的方程为y2=2px(p>0).

因此所求的抛物线的方程是y2=3x.

因为点M(4，2)在抛物线上，所以(2)2=2p·4，即2p=3，例2．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，

因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12)，设抛物线的方程是y2=2px(p>0).

因为点A(10，12)在抛物线上，得122=2p×10，所以p=7.2，

抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)，因此灯泡与反射镜的顶点的距离是3.6cm.

在平面直角坐标系上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应的有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程，它们的推导过程类同。

设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，上述抛物线的方程的四种形式列表如下：

例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长。

解：设正三角形OAB的顶点在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

则y12=2px1，y22=2px2，

又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22，即(x1+x2)(x1－x2)=y22－y12=2p(x2－x1)，所以(x1－x2)(x1+x2+2p)=0，由于x1+x2+2p>0，所以x1=x2，由此可知，|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称所以x轴垂直于AB，∠AOx=30°，所以因为x1=所以y1=2p，|AB|=2y1=4p，所以这个正三角形的边长为课堂练习1．抛物线y=－x2的焦点坐标是（

）

（A）(0，)（B）(0，－)

（C）(，0)（D）(－

，0)B2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程为（

）

（A）x2=－12y

（B）x2=12y

（C）y2=－12x

（D）y2=12xA3．已知抛物线的准线方程为x=－7，则抛物线的标准方程为（

）

（A）x2=－28y

（B）y2=28x

（C）y2=－28x

（D）x2=28yB4．焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的标准方程为（

）

（A）x2=16y或y2=12x

（B）y2=16x或x2=12y

（C）y2=16x或x2=－12y

（D）x2=16y或y2=－12xC5．抛物线y=ax2（a<0）的焦点坐标是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）B6．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m=

.±47．已知x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=

.2例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．

所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设