河南省九师联盟2023届高三1月质量检测文科数学试题(精品解析)

河南省九师联盟2023～2023学年高三1月质量检测数学（文科）一、选择题1.已知集合A＝{3，2，1，0，－1}，B＝{x|≤1}，则A∩B＝()A.{2，1}B.{2，1，0}C.{3，2，1}D.{1，0}【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】B＝{x|≤1}，集合A＝{3，2，1，0，－1}，A∩B＝{2，1}.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，题目简单.2.已知i是虚数单位，若复数（a，b∈R），则ab＝()A.－1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数相等的概念得到参数值，进而求解.【详解】已知i是虚数单位，若复数，根据复数相等得到故ab=-1.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数相等的概念，只需要实部和虚部分别相等即可.3.“x＞5”是“＞1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】D【解析】【分析】解出不等式的解集，得到不等式的充要条件，进而判断结果.【详解】,故得到“x＞5”是“＞1”的充要条件.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了充分必要条件的判断，题目基础.判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4.以A（－2，1），B（1，5）为半径两端点的圆的方程是()A.（x＋2）2＋（y－1）2＝25B.（x－1）2＋（y－5）2＝25C.（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25D.（x＋2）2＋（y－1）2＝5或（x－1）2＋（y－5）2＝5【答案】C【解析】【分析】根据题干条件得到圆心，由两点间距离公式得到半径，进而得到结果.【详解】根据条件知，圆心为A（－2，1）或B（1，5），半径为两点AB间的距离，根据两点间距离公式得到.根据圆心和半径依次判断选项得到方程为：（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了圆的标准方程的求法，一般已知圆的半径和圆心，则考虑用圆的标准方程，已知圆上3个点，则考虑用圆的一般方程.5.某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y（单位：千瓦时）与当天平均气温x（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：x171510－2y2434a64由表中数据的线性回归方程为，则a的值为()A.42B.40C.38D.36【答案】C【解析】【分析】由公式计算得到样本中心的坐标，代入方程可得到参数值.【详解】回归直线过样本中心，样本中心坐标为,,代入方程得到+60，解得a=38.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了回归直线方程的应用，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点．6.在△ABC中，，b＝2，其面积为，则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由面积公式得到c=4,再由余弦定理得到a边长度，最终由正弦定理得到结果.【详解】△ABC中，，b＝2，其面积为由余弦定理得到，代入数据得到故答案为：B.【点睛】这个题目考查了正余弦定理解三角形的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数m的值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据题干得到双曲线的一个焦点为，再由双曲线中a,b,c的隐含关系得到参数值.【详解】抛物线的准线为，双曲线的一个焦点为根据双曲线的标准方程得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的应用，以及双曲线标准方程的求法，题目基础.8.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以外接圆的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，由题设最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，应选答案D。9.下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n＞111111的最小正整数n，则空白处应填入的是()A.输出i＋2B.输出iC.输出i－1D.输出i－2【答案】D【解析】【分析】根据框图，写出每一次循环的结果，进而做出判断.【详解】根据程序框图得到循环是：M=……之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i-2.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了循环结构的程序框图，这种题目一般是依次写出每一次循环的结果，直到不满足或者满足判断框的条件为止.10.设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]满足方程axay＝c，则a的取值集合为()A.{4}B.{，2}C.{2}D.{}【答案】C【解析】【分析】首先将函数变形为是减函数，x∈[a，a3]时，问题转化为再由c的唯一性得到c值，进而得到参数a的值.【详解】方程axay＝c,变形为是减函数，当x∈[a，a3]时，因为对于任意的x∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]满足axay＝c，故得到因为c的唯一性故得到进而得到a=2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了指对运算，考查了函数的值域的求法，以及方程的思想，综合性比较强.11.已知正方形ABCD内接于⊙O，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，AC与DE交于点F，若区域M表示⊙O及其内部，区域N表示△AFE及△CDF的内部，如图所示的阴影部分，若向区域M中随机投一点，则所投的点落入区域N中的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设出正方形的边长，表示出圆的面积，进而得到阴影部分的面积，根据几何概型的概率公式求解即可.【详解】设正方形的边长为2，则圆的半径为根据△AFE及△CDF的相似性得到△AFE的高为△CDF高为，面积之和为所投的点落入区域N中的概率是：.故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任意位置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任意位置是等可能的．12.设函数f（x）是定义在区间（1，＋∞）上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且xf'（x）lnx＞f（x）（x＞1），f（e2）＝2，则不等式f（ex）＜x的解集是()A.（－∞，2）B.（2，＋∞）C.（1，2）D.（0，2）【答案】D【解析】【分析】构造函数，对函数求导，得到函数的单调性，进而得到解集.【详解】构造函数，定义在区间（，＋∞）上,对函数求导得到：xf'（x）lnx＞f（x）（），即xf'（x）lnx-f（x）>0,故得到，函数单调递增，不等f（ex）＜x即，，根据函数的定义域以及函数单调性得到.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于解不等式的问题，比较简单的题目，可以直接解不等式；直接解比较困难的问题，可以研究函数的单调性，奇偶性等，直接比较自变量的大小即可.二、填空题13.向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影为________．【答案】【解析】【分析】根据投影的定义得到向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影为计算得到结果即可.【详解】设两个向量的夹角为，向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影为根据向量的点积的坐标公式得到，代入得到结果为.故答案为：.【点睛】这个题目考查了向量的点积公式的应用，以及模长的计算，投影的定义，题目基础.14.为了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本进行分析．若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m＝________．【答案】100【解析】【分析】根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论．【详解】根据分层抽样的概念得到三国的人抽得的比例为4：3：3，设中国人抽取x人，则美国人抽取x-10,英国人抽取x-10人，根据比例得到.美国人：30人，英国人30人，共100人.故答案为：100.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础．15.当时，函数y＝x2（2－3x2）的最大值为________．【答案】【解析】【分析】通过换元得到，结合二次函数的性质得到结果.【详解】当,,结合二次函数的性质得到函数的最值在轴处取得，代入得到故答案为：.【点睛】这个题目考查了二次函数的性质的应用，考查了二次函数在给定区间上的最值的求法.一般要考虑二次函数的对称轴是否在区间内.16.已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，AD＝2，DC＝4，则此球的表面积为________．【答案】24π【解析】【分析】通过分析题干得到四棱柱是长方体，外接球的球心是体对角线的中点，体对角线长为：，进而得到球的面积.【详解】已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形,因为四棱柱的底面会位于一个圆面上，故四边形应该满足四点共圆，对角互补，结合这些性质得到上下底面是长方形，故该四棱柱是长方体，体积为：外接球的球心是体对角线的中点，体对角线长为：故球的表面积为：故答案为：24π【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17.已知在等比数列{an}中，＝2，，＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{}为等差数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得到＝64，＝2，进而求出公比，得到数列{an}的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q．由等比数列的性质得a4a5＝＝128，又＝2，所以＝64．所以公比．所以数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1．设等差数列{}的公差为d．由题意得，公差，所以等差数列{}的通项公式为．所以数列{bn}的通项公式为（n＝1，2，…）．（2）设数列{bn}的前n项和为Tn．由（1）知，（n＝1，2，…）．记数列{}的前n项和为A，数列{2n－2}的前n项和为B，则，．所以数列{bn}的前n项和为．【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.18.2023年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若针对服务的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）0.5【解析】【分析】(1)根据题干条件得到列联表，由公式得到的观测值k，进行判断即可；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为1次，从4次交易中，取出2次的所有取法为6种，其中只有一次好评的情况是3种，由古典概率的公式得到结果.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评14040180对商品不满意101020合计15050200则．由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为1次．记好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，从4次交易中，取出2次的所有取法为（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（C，a），共6种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（B，a）、（C，a），共3种，因此只有一次好评的概率为．【点睛】这个题目考查了分层抽样的概念，古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求证：AM⊥平面ABB1A1．【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】(1)根据体积公式底面积乘以高，代入数据即可；（2）根据余弦定理得到AM=CM,结合等腰三角形底角相等得到AM⊥AB，再由侧楞垂直于底面得到AA1⊥AM，进而得证.【详解】（1）因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，所以．所以．（2）证明：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos∠BAC，所以．因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，所以．因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，所以∠ACB＝∠ABC＝30°．由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB，所以．所以CM＝AM．所以∠ACM＝∠CAM＝30°．所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°．即AM⊥AB．易知AA1⊥平面ABC，AM平面ABC，所以AA1⊥AM．又因为AB∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．【点睛】这个题目考查了棱柱体积的求法，以及线面垂直的证明，证明线面垂直一般先证线线垂直；或者可以由面面垂直的性质得到线面垂直.20.已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0【解析】【分析】(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韦达定理即可.【详解】（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．设椭圆C的半焦距为c，则解得所以椭圆C的标准方程为．（2）由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）且，．因为AF1⊥BF1，所以，则（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．即．化简得4k2－1＝0，解得．因为都满足（*）式，所以直线AB的方程为或．即直线AB的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数（a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）构造函数，对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值，证明函数的最大值小于0即可.【详解】（1）解：．①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，解得；由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）．②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或；由f'（x）＞0，得．故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为．（2）证明：构造函数，则．因为Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．故g（x）在区间[1，＋∞）上是减函数．又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．故对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，且直线l经过曲线C的左焦点F．（1）求直线l的普通方程；（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）【解析】【分析】(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线C的普通方程，消去参数t可得到直线普通方程，再代入F点坐标可得到直线方程；（2）椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（，sinθ）内接矩形的周长为，化一求最值即可.【详解】（1）因为曲线C的极坐标方程为，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2．将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，代入上式，得x2＋2y2＝2，即．所以曲线C的直角坐标方程为．于是c2＝a2－b2＝1，所以F（－1，0）．由消去参数t，得直线l的普通方程为．将F（－1，0）代入直线方程得．所以直线l的普通方程为x＋2