山东省淄博市齐鲁武校2021年高三数学理月考试题含解析

山东省淄博市齐鲁武校2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则方程的不相等的实根个数为（）A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：C略2.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足则△ABM与△ABC的面积比为参考答案：C3.直线分别与函数的图象及的图象相交于点和点，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：因,故,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取最小值,应选D.考点：函数的图象和性质与导数在求最值中的运用.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，则使Sn取得最大值时，n的值是（

）A.1009 B.1010 C.1009或1010 D.1011参考答案：C【分析】由题意已知条件可得，可得及取得最大值，可得答案.【详解】解：由等差数列的性质，及，，可得，可得，可得，由，可得及取得最大值时，故选C.【点睛】本题主要考察等差数列前n项的和及等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质进行求解是解题的关键.5.右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.参考答案：D略6.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A．

B．

C．

D．参考答案：C【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C

7.某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）A．800 B．900 C．1000 D．1100参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则抽取初三年级的人数应为81000×=900人，故选：B．8.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.下列命题中，正确的命题是A、若，则

B、若，则

C、若，则

D、若，则参考答案：C略10.的三个内角所对的边分别为，（

）A.

B．

C．

D．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.假设一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为

．参考答案：12.已知，数列的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn的最小值为．参考答案：﹣4考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案解答：解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{}的前n项和为Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又bn=n﹣8，n∈N*，则bnSn=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故bnSn的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．13.以点为圆心，以为半径的圆的方程为

，若直线与圆有公共点，那么的取值范围是

.参考答案：14.若幂函数f（x）=xa的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．参考答案：x﹣4y+4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=015.在中，，点在边上，且满足，则的最小值为

▲

．参考答案：16.已知。则＝＿＿＿＿＿；参考答案：17.设实数x、y满足x+2xy﹣1=0，则x+y取值范围是

．参考答案：∪

【考点】基本不等式．【分析】由x+2xy﹣1=0，可得y=，（x≠0）．则x+y=x+=x+﹣，对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x+2xy﹣1=0，∴y=，（x≠0）．则x+y=x+=x+﹣，x＞0时，x+y≥﹣=﹣，当且仅当x=时取等号．x＜0时，x+y=﹣≤﹣2﹣=﹣﹣，当且仅当x=﹣时取等号．综上可得：x+y取值范围是∪．故答案为：∪．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+lnx+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意a∈（﹣2，﹣1）及x∈[1，2]，恒有ma﹣f（x）＞a2成立，求实数m的取值集合．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出=（x＞0），根据a≥0，a＜0两种情况，利用导数性质分类讨论函数f（x）的单调性．（2）原题等价于ma﹣a2＞f（x）max，当a∈（﹣2，﹣1）时，f（x）在（1，2）上是减函数，由此利用导数性质能求出实数m的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+lnx+1，∴=（x＞0），①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上是增函数；当x＞时，f′（x）＜0，则f（x）在（，+∞）上是减函数．综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+∞）上是减函数．（2）由题意知对任意a∈（﹣2，﹣1）及x∈[1，2]时，恒有ma﹣f（x）＞a2成立，等价于ma﹣a2＞f（x）max，∵a∈（﹣2，﹣1），∴，由（1）知当a∈（﹣2，﹣1）时，f（x）在（1，2）上是减函数，∴f（x）max=f（1）=a+1，∴ma﹣a2＞a+1，即m＜a++1，∵y=a++1在a∈（﹣2，﹣1）上为增函数，∴﹣，∴实数m的取值集合为{m|m}．19.已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=﹣1的距离．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；轨迹方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，由此能求出点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积．【解答】解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，，化简得y2=4x，所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0．因为直线l1与曲线C于A，B两点，所以x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率kPQ=．所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（Ⅲ）可求得|EF|=2，所以△FPQ面积．当且仅当k=±1时，“=”成立，所以△FPQ面积的最小值为4．【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．20.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。参考答案：解析：（1）工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.（2）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，,同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为21.已知,,分别为△三个内角,,的对边，且.（1）求角的大小；（2）若,且△的面积为,求的值.参考答案：（Ⅰ）由正弦定理得：

…………2分由于，∴，∴即

…………4分∵，∴∴∴

…………6分（Ⅱ）由：可得

∴

…………8分由余弦定理得：

…………10分∴

…………12分22.（本小题满分12分）在中，分别是内角的对边，AB=5,.（1）若BC=4,求的面积；（2）若D是边AC的中点，且，求边BC的长.参考