三角恒等变换导学案

..学案22简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式<1>sin2α＝________________；<2>cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；<3>tan2α＝________________________<α≠eq\f<kπ,2>＋eq\f<π,4>且α≠kπ＋eq\f<π,2>>．2．公式的逆向变换及有关变形<1>sinαcosα＝____________________⇒cosα＝eq\f<sin2α,2sinα>；<2>降幂公式：sin2α＝________________,cos2α＝________________；升幂公式：1＋cosα＝________________,1－cosα＝_____________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我检测1．<2010·XX>函数f<x>＝2sinxcosx是<>A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f<x>＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为<>A．－3,1B．－2,2C．－3,eq\f<3,2>D．－2,eq\f<3,2>3．函数f<x>＝sinxcosx的最小值是<>A．－1B．－eq\f<1,2>C.eq\f<1,2>D．14．<2011·XX月考>已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sinA·sinB<>A．有最大值eq\f<1,2>,最小值0B．有最小值eq\f<1,2>,无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值eq\f<1,2>,无最小值探究点一三角函数式的化简例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1<2011·XX模拟>已知函数f<x>＝eq\f<4cos4x－2cos2x－1,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>－x>>>.<1>求feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,12>>>的值；<2>当x∈eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,4>>>时,求g<x>＝eq\f<1,2>f<x>＋sin2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2已知sin<eq\f<π,4>＋2α>·sin<eq\f<π,4>－2α>＝eq\f<1,4>,α∈<eq\f<π,4>,eq\f<π,2>>,求2sin2α＋tanα－eq\f<1,tanα>－1的值．变式迁移2<1>已知α是第一象限角,且cosα＝eq\f<5,13>,求eq\f<sinα＋\f<π,4>,cos2α＋4π>的值．<2>已知cos<α＋eq\f<π,4>>＝eq\f<3,5>,eq\f<π,2>≤α<eq\f<3π,2>,求cos<2α＋eq\f<π,4>>的值．探究点三三角恒等式的证明例3<2011·苏北四市模拟>已知sin<2α＋β>＝3sinβ,设tanα＝x,tanβ＝y,记y＝f<x>．<1>求证：tan<α＋β>＝2tanα；<2>求f<x>的解析表达式；<3>若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f<x>的值域．变式迁移3求证：eq\f<sin2x,sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1>＝eq\f<1＋cosx,sinx>.转化与化归思想的应用例<12分><2010·XX>已知函数f<x>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1＋\f<1,tanx>>>sin2x＋msineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<π,4>>>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<π,4>>>.<1>当m＝0时,求f<x>在区间eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,8>,\f<3π,4>>>上的取值范围；<2>当tanα＝2时,f<α>＝eq\f<3,5>,求m的值．[答题模板]解<1>当m＝0时,f<x>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1＋\f<cosx,sinx>>>sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝eq\f<1－cos2x＋sin2x,2>＝eq\f<1,2>eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\r<2>sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,4>>>＋1>>,[3分]由已知x∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,8>,\f<3π,4>>>,得2x－eq\f<π,4>∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<5π,4>>>,[4分]所以sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,4>>>∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>,1>>,[5分]从而得f<x>的值域为eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1＋\r<2>,2>>>.[6分]<2>f<x>＝sin2x＋sinxcosx－eq\f<m,2>cos2x＝eq\f<1－cos2x,2>＋eq\f<1,2>sin2x－eq\f<m,2>cos2x＝eq\f<1,2>[sin2x－<1＋m>cos2x]＋eq\f<1,2>,[8分]由tanα＝2,得sin2α＝eq\f<2sinαcosα,sin2α＋cos2α>＝eq\f<2tanα,1＋tan2α>＝eq\f<4,5>,cos2α＝eq\f<cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α>＝eq\f<1－tan2α,1＋tan2α>＝－eq\f<3,5>.[10分]所以eq\f<3,5>＝eq\f<1,2>eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<4,5>＋\f<3,5>1＋m>>＋eq\f<1,2>,[11分]解得m＝－2.[12分][突破思维障碍]三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：<1>能求出数值的要求出数值；<2>使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；<3>分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：<1>"给角求值"：一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．<2>"给值求值"：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于"变角",使其角相同或具有某种关系．<3>"给值求角"：实质是转化为"给值求值",关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：<1>在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,"1”的代换法等．<2>常用的拆角、拼角技巧如：2α＝<α＋β>＋<α－β>,α＝<α＋β>－β,α＝<α－β>＋β,eq\f<α＋β,2>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<β,2>>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<α,2>>>,eq\f<α,2>是eq\f<α,4>的二倍角等．<3>化繁为简：变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．<满分：75分>一、选择题<每小题5分,共25分>1．<2011·XX月考>已知0<α<π,3sin2α＝sinα,则cos<α－π>等于<>A.eq\f<1,3>B．－eq\f<1,3>C.eq\f<1,6>D．－eq\f<1,6>2．已知tan<α＋β>＝eq\f<2,5>,taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>＝eq\f<1,4>,那么taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,4>>>等于<>A.eq\f<13,18>B.eq\f<13,22>C.eq\f<3,22>D.eq\f<1,6>3．<2011·XX模拟>已知cos2α＝eq\f<1,2><其中α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>,0>>>,则sinα的值为<>A.eq\f<1,2>B．－eq\f<1,2>C.eq\f<\r<3>,2>D．－eq\f<\r<3>,2>4．若f<x>＝2tanx－eq\f<2sin2\f<x,2>－1,sin\f<x,2>cos\f<x,2>>,则feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,12>>>的值为<>A．－eq\f<4\r<3>,3>B．8C．4eq\r<3>D．－4eq\r<3>5．<2010·XXXX外国语学校高三第二次月考>在△ABC中,若cos2B＋3cos<A＋C>＋2＝0,则sinB的值是<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<\r<2>,2>C.eq\f<\r<3>,2>D．1题号12345答案二、填空题<每小题4分,共12分>6．<2010·全国Ⅰ>已知α为第二象限的角,且sinα＝eq\f<3,5>,则tan2α＝________.7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若eq\f<cos2α,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,4>>>>＝－eq\f<\r<2>,2>,则cosα＋sinα的值为________．三、解答题<共38分>9．<12分>化简：<1>cos20°cos40°cos60°cos80°；<2>eq\f<3－4cos2α＋cos4α,3＋4cos2α＋cos4α>.10．<12分><2011·XX模拟>设函数f<x>＝eq\r<3>sinxcosx－cosxsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋x>>－eq\f<1,2>.<1>求f<x>的最小正周期；<2>当∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>时,求函数f<x>的最大值和最小值．11．<14分><2010·北京>已知函数f<x>＝2cos2x＋sin2x－4cosx.<1>求f<eq\f<π,3>>的值；<2>求f<x>的最大值和最小值．答案自主梳理1．<1>2sinαcosα<2>cos2α－sin2α2cos2α2sin2α<3>eq\f<2tanα,1－tan2α>2.<1>eq\f<1,2>sin2α<2>eq\f<1－cos2α,2>eq\f<1＋cos2α,2>2cos2eq\f<α,2>2sin2eq\f<α,2><sinα±cosα>2自我检测1．C2.C3.B4.D课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x<1－cos2x>＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝<1－sin2x>2＋6,由于函数z＝<u－1>2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝<－1－1>2＋6＝10,最小值为zmin＝<1－1>2＋6＝6,故当sin2x＝－1时,y取得最大值10,当sin2x＝1时,y取得最小值6.变式迁移1解<1>f<x>＝eq\f<1＋cos2x2－2cos2x－1,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>－x>>>＝eq\f<cos22x,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>cos\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>>＝eq\f<2cos22x,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋2x>>>＝eq\f<2cos22x,cos2x>＝2cos2x,∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,12>>>＝2coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,6>>>＝2coseq\f<π,6>＝eq\r<3>.<2>g<x>＝cos2x＋sin2x＝eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x＋\f<π,4>>>.∵x∈eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,4>>>,∴2x＋eq\f<π,4>∈eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>,\f<3π,4>>>,∴当x＝eq\f<π,8>时,g<x>max＝eq\r<2>,当x＝0时,g<x>min＝1.例2解题导引<1>这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；<2>如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数．解由sin<eq\f<π,4>＋2α>·sin<eq\f<π,4>－2α>＝sin<eq\f<π,4>＋2α>·cos<eq\f<π,4>＋2α>＝eq\f<1,2>sin<eq\f<π,2>＋4α>＝eq\f<1,2>cos4α＝eq\f<1,4>,∴cos4α＝eq\f<1,2>,又α∈<eq\f<π,4>,eq\f<π,2>>,故α＝eq\f<5π,12>,∴2sin2α＋tanα－eq\f<1,tanα>－1＝－cos2α＋eq\f<sin2α－cos2α,sinαcosα>＝－cos2α＋eq\f<－2cos2α,sin2α>＝－coseq\f<5π,6>－eq\f<2cos\f<5π,6>,sin\f<5π,6>>＝eq\f<5\r<3>,2>.变式迁移2解<1>∵α是第一象限角,cosα＝eq\f<5,13>,∴sinα＝eq\f<12,13>.∴eq\f<sinα＋\f<π,4>,cos2α＋4π>＝eq\f<\f<\r<2>,2>sinα＋cosα,cos2α>＝eq\f<\f<\r<2>,2>sinα＋cosα,cos2α－sin2α>＝eq\f<\f<\r<2>,2>,cosα－sinα>＝eq\f<\f<\r<2>,2>,\f<5,13>－\f<12,13>>＝－eq\f<13\r<2>,14>.<2>cos<2α＋eq\f<π,4>>＝cos2αcoseq\f<π,4>－sin2αsineq\f<π,4>＝eq\f<\r<2>,2><cos2α－sin2α>,∵eq\f<π,2>≤α<eq\f<3,2>π,∴eq\f<3π,4>≤α＋eq\f<π,4><eq\f<7,4>π.又cos<α＋eq\f<π,4>>＝eq\f<3,5>>0,故可知eq\f<3,2>π<α＋eq\f<π,4><eq\f<7,4>π,∴sin<α＋eq\f<π,4>>＝－eq\f<4,5>,从而cos2α＝sin<2α＋eq\f<π,2>>＝2sin<α＋eq\f<π,4>>cos<α＋eq\f<π,4>>＝2×<－eq\f<4,5>>×eq\f<3,5>＝－eq\f<24,25>.sin2α＝－cos<2α＋eq\f<π,2>>＝1－2cos2<α＋eq\f<π,4>>＝1－2×<eq\f<3,5>>2＝eq\f<7,25>.∴cos<2α＋eq\f<π,4>>＝eq\f<\r<2>,2><cos2α－sin2α>＝eq\f<\r<2>,2>×<－eq\f<24,25>－eq\f<7,25>>＝－eq\f<31\r<2>,50>.例3解题导引本题的关键是第<1>小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证．对于第<2>小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系．第<3>小题则利用基本不等式求解即可．<1>证明由sin<2α＋β>＝3sinβ,得sin[<α＋β>＋α]＝3sin[<α＋β>－α],即sin<α＋β>cosα＋cos<α＋β>sinα＝3sin<α＋β>cosα－3cos<α＋β>sinα,∴sin<α＋β>cosα＝2cos<α＋β>sinα,∴tan<α＋β>＝2tanα.<2>解由<1>得eq\f<tanα＋tanβ,1－tanαtanβ>＝2tanα,即eq\f<x＋y,1－xy>＝2x,∴y＝eq\f<x,1＋2x2>,即f<x>＝eq\f<x,1＋2x2>.<3>解∵角α是一个三角形的最小内角,∴0<α≤eq\f<π,3>,0<x≤eq\r<3>,设g<x>＝2x＋eq\f<1,x>,则g<x>＝2x＋eq\f<1,x>≥2eq\r<2><当且仅当x＝eq\f<\r<2>,2>时取"＝">．故函数f<x>的值域为<0,eq\f<\r<2>,4>]．变式迁移3证明因为左边＝eq\f<2sinxcosx,[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]>＝eq\f<2sinxcosx,sin2x－cosx－12>＝eq\f<2sinxcosx,sin2x－cos2x＋2cosx－1>＝eq\f<2sinxcosx,－2cos2x＋2cosx>＝eq\f<sinx,1－cosx>＝eq\f<sinx1＋cosx,1－cosx1＋cosx>＝eq\f<sinx1＋cosx,sin2x>＝eq\f<1＋cosx,sinx>＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．D[∵0<α<π,3sin2α＝sinα,∴6sinαcosα＝sinα,又∵sinα≠0,∴cosα＝eq\f<1,6>,cos<α－π>＝cos<π－α>＝－cosα＝－eq\f<1,6>.]2．C[因为α＋eq\f<π,4>＋β－eq\f<π,4>＝α＋β,所以α＋eq\f<π,4>＝<α＋β>－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>.所以taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,4>>>＝taneq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<α＋β－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>>>＝eq\f<tanα＋β－tan\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>,1＋tanα＋βtan\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>>＝eq\f<3,22>.]3．B[∵eq\f<1,2>＝cos2α＝1－2sin2α,∴sin2α＝eq\f<1,4>.又∵α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>,0>>,∴sinα＝－eq\f<1,2>.]4．B[f<x>＝2tanx＋eq\f<1－2sin2\f<x,2>,\f<1,2>sinx>＝2tanx＋eq\f<2cosx,sinx>＝eq\f<2,sinxcosx>＝eq\f<4,sin2x>∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,12>>>＝eq\f<4,sin\f<π,6>>＝8.]5．C[由cos2B＋3cos<A＋C>＋2＝0化简变形,得2cos2B－3cosB＋1＝0,∴cosB＝eq\f<1,2>或cosB＝1<舍>．∴sinB＝eq\f<\r<3>,2>.]6．－eq\f<24,7>解析因为α为第二象限的角,又sinα＝eq\f<3,5>,所以cosα＝－eq\f<4,5>,tanα＝eq\f<sinα,cosα>＝－eq\f<3,4>,所以tan2α＝eq\f<2tanα,1－tan2α>＝－eq\f<24,7>.7．1－eq\r<2>解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x＋\f<π,4>>>＋1,∴当sin<2x＋eq\f<π,4>>＝－1时,函数取得最小值1－eq\r<2>.8.eq\f<1,2>解析∵eq\f<cos2α,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,4>>>>＝eq\f<cos2α－sin2α,\f<\r<2>,2>sinα－cosα>＝－eq\r<2><sinα＋cosα>＝－eq\f<\r<2>,2>,∴cosα＋sinα＝eq\f<1,2>.9．解<1>∵sin2α＝2sinαcosα,∴cosα＝eq\f<sin2α,2sinα>,…………<2分>∴原式＝eq\f<sin40°,2sin20°>·eq\f<sin80°,2sin40°>·eq\f<1,2>·eq\f<sin160°,2sin80°>＝eq\f<sin18