山东省淄博市光被中学2022-2023学年高一数学文下学期期末试卷含解析

山东省淄博市光被中学2022-2023学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则=（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D2.在边长为的正三角形ABC中，设=,=,=,则等于（

）

A．0 B．1

C．3

D．－3参考答案：D3.设，，且，则锐角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：4.已知函数，则的值为（

）A．－1 B． C． D．1参考答案：A由题得，，故选A．5.已知偶函数f（x）在（0，+∞）上递减，已知a=0.2，b=log0.2，c=0.2，则f（a），f（b），f（c）

大小为（）A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b） C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（c）＞f（a）＞f（b）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数和对数的运算性质得：f（log0.2）=f（﹣log0.2）=f（2log25），由指数、对数函数的性质判断自变量的大小，再根据函数的单调性判断大小．【解答】解：∵函数f（x）为偶函数，∴f（log0.2）=f（﹣log0.2）=f（2log25），∵∈（0，1），log25＞2，∈（1，），且函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（0.2）＞f（）＞f（log0.2），∴f（a）＞f（c）＞f（b）．故选：B．6.已知无穷等差数列的前n项和为，且,则(

)A．在中，最大

B．C．在中，最大

D．当时，参考答案：D7.在等差数列中,，则

参考答案：B8.函数与的图象（

）A．关于轴对称

B．关于轴对称

C．关于原点对称

D．关于直线轴对称

参考答案：D9.下列说法正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若>，则a<bC．若b>c，则|a|b≥|a|cD．若a>b，c>d，则a－c>b－d参考答案：C解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．10.设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（

）①存在一个实数λ，使=λ或=λ；

②|·|=||||；③；

④(+)//(－)A、1个

B、2个

C、3个

D、4个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量满足,则目标函数的最小值为______.参考答案：3略12.某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座号应该是__________参考答案：18略13.已{x1，x2，x3，x4}?{x＞0|（x﹣3）?sinπx=1}，则x1+x2+x3+x4的最小值为

．参考答案：12【考点】函数的零点；集合的包含关系判断及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用数形结合求出方程（x﹣3）?sinπx=1根的分布情况，利用f（x）=sinπx，g（x）=同时关于（3，0）对称，得到x1+x2+x3+x4的最小值．【解答】解：由（x﹣3）?sinπx=1，得sinπx=，设y=f（x）=sinπx，g（x）=，则g（x）关于（3，0）成中心对称．当x=3时，f（0）=sinx3π=0，即f（x）关于（3，0）成中心对称．作出函数f（x）和g（x）的图象如图：当x＞0时，要使x1+x2+x3+x4的值最小，则两个函数前四个交点的横坐标之后最小，此时四个交点关于（3，0）成中心对称．∴此时最小值为x1+x2+x3+x4=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题主要考查函数方程的应用，利用条件通过数形结合确定函数图象的交点是解决本题的关键，利用两个函数的对称性是解决本题的突破点，综合性性较强．14.函数的最小正周期为

参考答案：15.集合A=｛(x，y)|y=|x|且x，y∈R｝，B=｛(x，y)|y=kx+1，且x，y∈R｝，C=A∩B，且集合C是单元素集，则实数k的取值范围是____________________．参考答案：16.设x∈R，则函数f(x)=的最小值为

．参考答案：1317.若为方程的两个实数根，则ks5u参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，且f（1）=3．（1）试求a的值，并用定义证明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，问：是否存在实数m，使得不等式m2+m+1≥|x1﹣x2|对任意的恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出a的值，根据单调性的定义证明函数的单调性即可；（2）由韦达定理求出x1+x2=bx1x2=1，问题转化为只需m2+m+1≥（|x1﹣x2|）max=3，根据二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴，设x1，x2是[，+∞）上任意两个实数且x1＜x2，则，∵，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）∵f（x）=x+b∴x2﹣bx+1=0由韦达定理：x1+x2=bx1x2=1，∴，又，假设存在实数m，使得不等式m2+m+1≥|x1﹣x2|对任意的恒成立，则只需m2+m+1≥（|x1﹣x2|）max=3，∴m2+m+1≥3，m2+m﹣2≥0，而m2+m﹣2=0的两根为m=﹣2或m=1，结合二次函数的性质有：m≤﹣2或m≥1，故存在满足题意的实数m，且m的取值范围为：m≤﹣2或m≥1．19.已知函数f（x）=﹣ax2，其中a∈R．（1）若a=1时，求函数f（x）的零点；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）当a=1时，函数f（x）=﹣x2，令﹣x2=0，可得函数f（x）的零点．（2）当a＞0时，若x＞0，由函数f（x）=0得：ax2+2ax﹣1=0，进而可证得f（x）在（0，+∞）上有唯一零点．【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=﹣x2，令﹣x2=0，可得可得x=0，或x2+2x﹣1=0，解得x=0，或x=﹣1﹣，或x=﹣1+．综上可得，当a=1时，函数f（x）的零点为x=0，或x=﹣1﹣，或x=﹣1+（2）证明：∵当a＞0时，x＞0，由函数f（x）=0得：ax2+2ax﹣1=0，记g（x）=ax2+2ax﹣1，则g（x）的图象是开口朝上的抛物线，由g（0）=﹣1＜0得：函数g（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．∴函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点20.（14分）函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．（Ⅰ）求f（x）解析式；（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；（Ⅲ）若f（x）＞f（2﹣x），求x的取值范围．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】（I）当﹣1≤x≤0时图形为直线，根据两点坐标可求出解析式；当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），带入坐标点可求出抛物线方程；（II）函数f（x）图形与直线y=1的交点横坐标即为所求x的值；（III）结合函数图形，利用函数的单调性来求解x的取值范围；【解答】解：（I）当﹣1≤x≤0时，函数图象为直线且过点（﹣1，0）（0，3），直线斜率为k=3，所以y=3x+3；当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），当x=0时，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，所以．（II）当x∈[﹣1，0]，令3x+3=1，解得；当x∈（0，3]，令x2﹣4x+3=1，解得，因为0＜x≤3，所以，所以或；（III）当x=﹣1或x=3时，f（x）=f（2﹣x）=0，当﹣1＜x＜0时，2＜2﹣x＜3，由图象可知f（x）＞0，f（2﹣x）＜0，所以f（x）＞f（2﹣x）恒成立；当0≤x≤2时，0≤2﹣x≤2，f（x）在[0，2]上单调递减，所以当x＜2﹣x，即x＜1时f（x）＞f（2﹣x），所以0≤x＜1；当2＜x＜3时，﹣1＜2﹣x＜0，此时f（x）＜0，f（2﹣x）＞0不合题意；所以x的取值范围为﹣1＜x＜1【点评】本题主要考查了函数图形，分段函数解析式求法以及函数图形的基本性质，属基础题．21.已知圆，直线.(1)求直线所过定点的坐标；(2)求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.(3)已知点，在直线上(为圆心)，存在定点(异于点)，满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.参考答案：(1)依题意得，，令，且，得，，∴直线过定点.(2)当时，所截得弦长最短，由题知，.∴，得，∴由得.∴圆心到直线的距离为.∴最短弦长为.(3)法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，则设，，得，且，∴，∴，整理得：，∵上式对任意恒成立，∴且，解得，或，(舍去，与重合)，综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.法二：设直线上的点.取直线与圆的交点，则，取直线与圆的交点，则，令，解得或(舍去，与重合)，此时，若存在这样的定点满足题意，则必为.下证：点满足题意，设圆上任意一点