山东省淄博市临淄区实验中学高三数学理期末试卷含解析

山东省淄博市临淄区实验中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为S1，S2，则（

）A.4 B.8 C. D.参考答案：A【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c的关系，可知，根据题意表示出点p和m的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则．故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.2.已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B．

C．

D．参考答案：B略3.已知集合，，那么（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D4.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数A．135 B．172 C．189 D．162参考答案：C由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性，判断出正确选项.【详解】依题意为上的增函数，且，所以的零点在区间.故选：C【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题.6.已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（?UB）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先化简集合A、B，求出?UB，然后借助数轴即可求得答案．【解答】解：A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则CUB={x|x≤1}，∴A∩（?UB）={x|x＜0}，故选D．【点评】本题考查指数、对数不等式的解法和集合的运算，属基础题，指数、对数不等式常化同底后利用函数单调性求解．7.设全集，,,则集合B=Ａ．

B．

Ｃ．

D．参考答案：C8.在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】方法一：利用向量的射影即可求出，方法二：根据向量数量积的公式，余弦定理，两角差的余弦公式即可求出．【解答】解：方法一：如图所示，过点C作CD⊥BA，交于点D，∴=﹣?=﹣||?||cosB=﹣=﹣（1+）=﹣1﹣方法二，等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，∴B=15°，∴cos15°=cos（45°﹣30°）=×+×=由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+1﹣2×（﹣）=2+，∴BC=∴=||||cos（180°﹣15°）=1××（﹣）=﹣1﹣故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量的射影和向量数量积，以及余弦定理解决本题的关键．9.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A由函数，可得，有唯一极值点有唯一根，无根，即与无交点，可得，由得，在上递增，由得，在上递减，，即实数的取值范围是，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.10.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

)A．y=x+sinx B．y=xsinx C．y=x+cosx D．y=xcosx参考答案：C【考点】余弦函数的奇偶性．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项得答案．【解答】解：函数y=f（x）=x+sinx的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴y=x+sinx为奇函数；y=f（x）=xsinx的定义域为R，且f（﹣x）=f（x），∴y=xsinx为偶函数；y=x+cosx的定义域为R，由f（﹣x）﹣f（x）=0，得﹣x+cosx﹣x﹣cosx=0，得x=0，不满足对任意x都成立，由f（﹣x）+f（x）=0，得﹣x+cosx+x+cosx=0，得cosx=0，不满足对任意x都成立，∴y=x+cosx为非奇非偶函数；y=f（x）=xcosx的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴y=xcosx为奇函数．故选：C．【点评】本题考查函数就偶性的性质，训练了函数奇偶性的判定方法，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则{an}的通项公式an=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由等比数列的通项公式可得Sn=3n，再由a1=s1=3，n≥2时，an=Sn﹣sn﹣1，求出{an}的通项公式．【解答】解：∵数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，∴Sn=3n．故a1=s1=3，n≥2时，an=Sn﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，故an=．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题．12.若将圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M,则在圆内随机放一粒豆子，落入M的概率_______参考答案：13.若曲线的某一切线与直线垂直，则切点坐标为_____________.参考答案：（1，2）略14.点A、B、C、D在同一球面上，，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为

．参考答案：【详解】试题分析：依题意所以，设的中点为，球心为O,球的半径为R，过三点的截面圆半径为由球的表面积为知，，解得.因的面积为,所以要四面体体积最大，则为射线与球面交点，所以球心到过三点的截面的距离为，所以，所以四面体体积最大为考点：1.球的几何性质；2.几何体的表面积、体积.15.如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为

.

参考答案：考点：双曲线的综合应用．【名师点睛】在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解．16.若x，y满足约束条件，则的最大值为_____________．参考答案：6【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.17.函数f(x)=的最大值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先求出真数的最大值为，进而可得函数的最大值为．【解答】解：==sinx+cosx=sin（x+），故真数的最大值为，故函数的最大值为=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求四棱锥B－AA1C1D的体积．参考答案：(1)证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1，∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.在Rt△ABC中，AC＝，BE＝＝，∴四棱锥B－AA1C1D的体积V＝×(A1C1＋AD)·AA1·BE＝××2×＝3.19.

己知函数,

(1)当时，求函数的最小值和最大值；

(2)设ABC的内角A，B，C的对应边分别为、、，且，f(C)=2，若向量与向量共线，求，的值．参考答案：略20.（14分）如图，已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点．A（﹣a，0），|AF|=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E．求证：∠ODF=∠OEF．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知：a=2c，a+c=3，求得a与c的值，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）解法一：设AP的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得M坐标，求得直线OM的方程，分别取得D和E点坐标，则EF⊥OM，DF⊥OE，在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF；方法二：分别表示出M，D和E点坐标，求得EF和OM的斜率，由kOM?kEF=﹣1，则EF⊥OM，讨论证明DF⊥OE在，则Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．椭圆的离心率e=，丨AF丨=a+c=3，解得a=2，c=1．所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程是．[（4分）]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得A（﹣2，0）．设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1）．设直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），将其代入椭圆方程，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，[（6分）]所以．[（7分）]所以，，即．[（8分）]所以直线OM的斜率是，[（9分）]所以直线OM的方程是．令x=4，得．[（10分）]直线OE的方程是y=kx．令x=4，得E（4，4k）．[（11分）]由F（1，0），得直线EF的斜率是，所以EF⊥OM，记垂足为H；因为直线DF的斜率是，所以DF⊥OE，记垂足为G．[（13分）]在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]解法二：由（Ⅰ）得A（﹣2，0）．设P（x1，y1）（x1≠±2），其中．因为AP的中点为M，所以．[（6分）]所以直线OM的斜率是，[（7分）]所以直线OM的方程是．令x=4，得．[（8分）]直线OE的方程是．令x=4，得．[（9分）]由F（1，0），得直线EF的斜率是，[（10分）]因为，所以EF⊥OM，记垂足为H；[（12分）]同理可得，所以DF⊥OE，记垂足为G．[（13分）]在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]

【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21.如图（1）所示，长方形ABCD中，AB=2AD，M是DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥