天津第四十五中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

天津第四十五中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则?的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则且=（﹣1，），=（x﹣，y﹣），则?=﹣x+y+，令t=﹣x+y+，结合线性规划知识，则y=2x+2t﹣当直线t=﹣x+y+经过点A（1，0）时，?有最小值，将（1，0）代入得t=﹣，当直线t=﹣x+y+经过点B时，?有最大值，将（0，1）代入得t=，则?的取值范围是[﹣，]，故选：A2.在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B在一次所谓“算怪”中得到六爻，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是，故选B．

3.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：B4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A本题主要考查了分步计数原理和古典概型的基础知识，难度较小.甲、乙各参加一个小组，共有3×3=9种情况，两位同学参加同一个小组有3种情况，所以两位同学参加同一个小组的概率为.故选A.5.在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值等于

参考答案：答案：

6.设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．7.命题“若，则”的逆否命题是A．若，则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：D略8.函数的定义域为参考答案：A9.图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～190(含160，不含190)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：A10.若直线过曲线的对称中心，则的最小值为（ ）A、1 B、3 C、 D、 参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11、的值是____________。参考答案：112.（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围．参考答案：（﹣，﹣2）∪（2，）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：解法一：不等式即ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，∴不等式即ln（x2﹣4）+＜2．令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2﹣4＜1，即x2＜5．由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入，则输出

．参考答案：22

略14.已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_________.参考答案：令，画出可行域得，填15.已知，则_____________参考答案：16.甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．参考答案：乙先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，（1）如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请．（2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．故答案为乙．17.已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且，则S4=．参考答案：15【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{an}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（I）求证：；（II）若是⊙的切线，且，，求的长．参考答案：解：（I）∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.····································································（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12

①∵AD∥EC，∴＝，∴＝

②由①、②解得(∵x>0，y>0)∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.

19.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函数的定义域为.(Ⅱ）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故.

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.20.（本小题满分13分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，.（1）求证：OD//平面VBC；（2）求证：AC⊥平面VOD；（3）求棱锥的体积.参考答案：证明：（1）∵O、D分别是AB和AC的中点，∴OD//BC.

（1分）又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.

（3分）（2）∵VA=VB，O为AB中点，∴.

（4分）连接，在和中，,∴≌DVOC，∴=DVOC=90°，

∴.

（5分）∵,平面ABC,平面ABC,∴VO⊥平面ABC.（6分）∵平面ABC，∴.

（7分）又∵，是的中点，∴.

（8分）∵VOì平面VOD，VDì平面VOD，，∴AC平面DOV.

（9分）（3）由（2）知是棱锥的高，且.（10分）又∵点C是弧的中点，∴，且，∴三角形的面积，

（11分）∴棱锥的体积为，

故棱锥的体积为.

（12分）21.如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；（2）求证：PA?AC=AD?OC．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA?AC=AD?OC．【解答】（1）证明：连结AC，∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=9