第2节矩阵特征值与特征向量及相似对角化

2.2

矩阵的特征值与特征向量及其

相似对角化

2.2.1矩阵的特征值和特征向量2.2.2矩阵的相似对角化2.2.3应用实例定义2.1

设—阶矩阵，如果存在数和维非零列向量，使得关系成立，则称为的特征值，称为对应

特征值的特征向量。2.2.1

矩阵的特征值和特征向量

d=eig(A)，[vd]=eig(A)>>d=eig(A)>>[vd]=eig(A)poly(A)>>poly(A)2.2.1矩阵的特征值与特征向量2.特征多项式1.特征值和特征向量eig(A)

1.计算矩阵的的特征值和特征向量例2.11求的特征值和特征向量。解：输入：>>A=[122;212;221]>>d=eig(A)d=

-1.0000-1.00005.00002.2.1

矩阵的特征值和特征向量>>[vd]=eig(A)v=0.62060.53060.57740.1492-0.80270.5774-0.76980.27220.5774d=-1.0000000-1.00000005.00002.2.1

矩阵的特征值和特征向量矩阵d对角元存储A的所有特征值，从小到大排列。矩阵V每一列存储相应的特征向量，所以V的最后

一列，就是最大特征值的特征向量。2.2.1

矩阵的特征值和特征向量2.计算矩阵的的特征多项式例2.12

求的特征多项式解：输入：>>A=[-110;-430;102];>>p=poly(A)输出：p=1-45-2即特征多项式：

2.2.1

矩阵的特征值和特征向量例2.13

化方阵为对角阵。解：

先求出矩阵的特征向量并判定其相关性；如果线性无关，则可以相似对角化。输入：>>A=[001;11-1;100]；>>[vd]=eig(A)2.2.2

矩阵的相似对角化v=

00.7071-0.57741.000000.577400.70710.5774d=

1.00000001.0000000-1.00002.2.2

矩阵的相似对角化即1、1、-1为方阵的特征值，v为对应的特征向量组成的相似变换矩阵，d为对应v的方阵A的对角矩阵，且。2.2.2矩阵的相似对角化例2.14

求一个正交变换，将二次型化为标准型解：二次型系数阵：输入：>>A=[3-3-3;-31-1;-3-11]；>>[P1D]=eig(A)

2.2.2矩阵的相似对角化%当特征向量不是正交阵是需要正交化P1=-0.57740.00000.8165-0.5774-0.7071-0.4082-0.57740.7071-0.4082D=-3.00000002.00000006.00002.2.2矩阵的相似对角化2.2.2矩阵的相似对角化利用正交变换得到二次型的标准型例2.15

求一个正交变换，将二次曲面方程化为标准方程解：二次型系数阵：输入：>>A=[32-2;25-5;-2-55]；>>[P1D]=eig(A)

2.2.2矩阵的相似对角化2.2.2矩阵的相似对角化利用正交变换二次曲面化成标准形：例2.16某农场饲养某种动物所能达到最大年龄为15岁将其分为三个年龄组：第一组0-5岁；第二组6-10岁；第三组11-15岁动物从第二个年龄组开始繁殖后代：第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代；第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一年龄组的存活率：0.5和0.252.2.3

应用实例假设农场现有三个年龄段动物各1000头，计算5年后、

10年后、15年、20年后各年龄段动物数量。根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有（—Leslie矩阵的唯一正特征值）。

请检验此结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。

2.2.3

应用实例解：由题设，初始时刻0-5岁、6-10岁、11-15岁的三个年龄段动物数量分别为：以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可用向量表示。2.2.3

应用实例同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式

联立得2.2.3

应用实例即

由此得到向量和的递推关系式（2-8）其中，矩阵—

Leslie矩阵。2.2.3

应用实例由式（2-8）可得输入：>>x0=[1000;1000;1000];

>>A=[043;1/200;01/40];

>>x1=A*x0>>x2=A*x1

>>x3=A*x2>>x4=A*x32.2.3

应用实例输出：x1=7000500250x2=27503500125x3=143751375875x4=1.0e+003*8.12507.18750.3438

>>eig(A)A的特征值：1.5000，-1.3090，-0.19102.2.3

应用实例计算Leslie矩阵的特征值则矩阵A的唯一正特征值为x=[1000;1000;1000];d1=1.5;A=[043;1/200;01/40];y=A*x;y1=d1*x;k=1;whilemax(abs(y-y1))>.1x=y;y=A*x;y1=d1*x;k=k+1;end

可知，当时，有结论成立。2.2.3

应用实例下面验证：2.2.3

应用实例例2.17

假定一农民有一大片作物，它由三种可能基因型AA、Aa、aa的某种分布所组成。农民采用的育种方案：作物总体中每种作物都总是用基因型AA的作物授粉。在亲本基因型生物后代的基因型的概率分布已知的前提下，推导出在任何一个后代总体中三种可能基因型的分布表达式。表2.6亲本基因型生物后代的基因型的概率分布2.2.3

应用实例亲本后代AA-AAAA-AaAA-aaAA11/20Aa01/21aa000解：记—第n代中AA基因型作物所占分数

—第n代中Aa基因型作物所占分数

—第n代中aa基因型作物所占的分数

—基因型的原始分布，且

现用基因型AA作物授粉，分析表2.6可知，从上一代的基因型分布产生的下一代的基因型分布可用下列递推公式求出：

2.2.3

应用实例则递推公式：其中2.2.3

应用实例可得计算上式的两种方法：直接计算、将矩阵对角化对角化方法需要将矩阵M对角化，需要找出一个可逆矩阵P和一个对角阵D，使于是其中2.2.3

应用实例是的特征值。所以，只需求得的特征值和对应的特征向量，就可使对角化。>>M=[11/20;01/21;000];

>>[pd]=eig(M)p=1-985/1393881/21580985/1393-881/107900881/21582.2.3

应用实例D=10001/20000这表明，M特征值：因为特征向量乘一非零数仍是特征向量，所以可取三个特征值对应的特征向量分别为2.2.3

应用实例于是可逆矩阵2.2.3

应用实例>>P=[1-11;