2020中考数学新定义题型专题练习

中考新定义题型的梳理(一)几何新定义1、已知△ABC中，NC是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ZABC的关于点B的伴侣分割线.例如：如图1,在Rt^ABC中，NC=20°,过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且NDBC=20°,显然直线BD是^ABC的关于点B的伴侣分割线.的伴侣分割线，并标注角度；(2)在4ABC中，设NB的度数为y,最小内角NC的度数为x.试探索y与x之间满足怎样的关系时，4ABC存在关于点B的伴侣分割线.2、我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”(1)已知：四边形ABCD是“等对角四边形”NA=70°,NB=80°.求NC、ND的度数.(2)如图1,在Rt^ACB中，NC=90°,CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE^CD交AC于点E,求证：四边形BCED是“等对角四边形”(3)如图2,在Rt^ACB中，NC=90°,AC=4,BC=3,CD平分NACB,点E在AC上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为.图1图2

图1图23、给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 .（填写序号即可）①矩形； ②有一个角为直角的任意凸四边形； ③有一个角为60°的菱形.（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到ADBE,ZDCB=30°,连接AD,DC,CE.①求证：4BCE是等边三角形；②求证：四边形ABCD是勾股四边形.4、我们规定：三角形任两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在AABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2—BO2的值，可记为ABAAC=ACh—BO2.(1)在图1中，若/BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC边上的中线，则ABAAC二,OCAOA=；(2)如图2,在AABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,求ABAAC、BAABC的值;(3)如图3,在AABC中，AB=AC,AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=|aO,已知ABAAC=14,BNABA=10,求AABC的面积.5、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点.过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.⑴等边三角形“内似线”的条数为；(2)如图，4ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD.求证：BD是4ABC的“内似线”;(3)在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,E,F分别在边AC,BC上，且EF是^ABC的“内似线”，求EF的长.6、如果两个多边形不仅相似(相似比不等于1),而且有一条公共边，那么就称这两个多边形是共边相似多边形.例如，图①中，4ABC与4ACD是共AC边相似三角形，图②中，□ABCD与DCEFD是共CD边相似四边形.(1)判断下列命题的真假(在相应括号内填上“真”或"假”)：①正三角形的共边相似三角形是正三角形.( )②如果两个三角形是位似三角形，那么这两个三角形不可能是共边相似三角形.()(2)如图③，在4ABC中，NC=90°,NA=50°,画2个不全等的三角形，使这2•・・・•个三角形均是与4ABC共BC边的相似三角形.(要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明)(3)图④是相邻两边长分别为a、b(a>b)的矩形，图⑤是边长为c的菱形，图⑥是两底长分别为d、e,腰长为f(0<e—d<2f)的等腰梯形，判断这三个图形是否存在共边相似四边形？如果存在，直接写出它们的共边相似四边形各边的长度.

「「3④ ⑤⑥（4）根据（1）、（2）和（3）中获得的经验回答：如果一个多边形存在它的共边相似多边形，那么它必须满足条件：（二）二次函数新定义1、如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为％轴上两点，C、D为y一上两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C与经过点A、DB的抛物线的一部分C组合成一条2点2点M是抛物线 （封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为0卜C:y=mx2-2mx_3m(m<0)的顶点.2 (1)求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当4BDM为直角三角形时，求m的值.备用图备用图2、函数图象有一个公共点，我们就称两个函数图象“共一点”，有两个公共点，则称它们“共两点”…(1)若函数y=-x+b图象和y=-x2+2x图象“共一点”P,求P点坐标；(2)若函数y=-x+1图象和y=ax2+2x图象“共两点”，则a的取值范围是：；9(3)若函数y*与丫=@乂2+匕乂图象在第一象限“共两点”A、B(A在B左侧)，且A、B两点之间水平距离为2,两点之间垂直距离是A到y轴距离的倒数，设函数y=ax2+bx图象的顶点为C求顶点C的坐标.(三)三角函数新定义1、定义：在4ABC中，NC=30°,我们把NA的对边与NC的对边的比叫做NA的邻弦，请解答下列问题:/人的对边BC请解答下列问题:记作thiAi^thiA-/C的对边—AB。已知：在4ABC中，NC=30°.(1)若NA=45°,求thiA的值；(2)若thiA=\瓦则NA= °；(3)若NA是锐角，探究地1A与sinA的数量关系.

2、我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系.为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形.例如，已知t@9&=1(0°<&<90°),=@983=1(0°<8<90°),求a+B的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt^ABC和乙Rt^AED来解决.一IIIn□一IIIn□二44□« D②（第2题）(