高等数学(上)期末复习指导

PAGEword文档可自由复制编辑高等数学（上）期末复习指导本学期我们学习了《高等数学》（上册）的第一至第六章，内容为一元函数微积分学．根据本科生对该课程的教学要求，按章编写了期末复习指导，供同学们复习时参考．关于期末考试的说明：（1）期末总成绩分为两部分，平时成绩（作业、期中考试）占30﹪，期末考试成绩占70﹪（均以100分制，教务系统录入后，自动统计）．两项合计60分为及格，并取得相应学分，60分以下为不及格，可随下一届同学在相应学期补考．（2）考试题型为：一、填空题（共15分，每小题3分）或一、填空题（共15分，每小题3分）二、单项选择题（共15分，每小题3分）二、计算题（共25分，每小题5分）三、计算题（共40分）三、解答题（共30分，每小题6分）四、应用题（共12分）四、证明题（共16分，每小题8分）五、证明题（共12分）五、应用题（共14分，每小题7分）六、综合题（共6分）（3）试卷分A,B卷，A卷作正考时用，B卷作补考时用．（4）考试有违规、作弊行为，按规定处理．下面正式复习．第一章函数与极限（一）函数的概念函数是高等数学（微积分）的研究对象．函数是两个数集之间的一种映射，或者说是一种对应规律,记作.构成函数有三因素：定义域，对应规律和值域；把前两者叫函数的两要素．考点：①会用函数的两要素判别两个函数是否相同；②会求函数的自然定义域（使解析式表示函数的式子有意义的自变量的取值范围）；③根据对应规律求函数；④会判断函数的奇偶性．【例1】（选择题）：设，则（）解则，故选（A）．【例2】（填空题）已知函数，则．令，即，那么，即．【例3】（选择题）下列各对函数中（）中的两个函数相同．；；；．解A中与的定义域都是，且对应规律也相同．【例4】（选择题）设为奇函数，为偶函数，则复合函数（）是奇函数．；；；．解设，则【例4′】若是连续的奇函数，证明是偶函数．【例5】（填空题）函数的定义域是．解．（二）数列的极限1.数列极限的定量定义：对恒成立，则称数列的极限是常数，记作或．2.收敛数列的性质．（见讲义）定理1—4．3.数列收敛的判别定理：准则Ⅰ夹逼准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限（三）函数的极限1.（）定义1；()定义.（见讲义）2.左、右极限：3.极限的局部保号性．变量（数列、函数）的极限是的描述性定义（定性定义）：变量在其变化过程中，总有那么一个时刻，变到这个时刻以后，会无限趋近某个常数，即与之距能任意小，并保持任意小，通俗讲：就是到了“要多小有多小”，就是“小到不能说”，甚至到了“一说就不小了”的程度，但是，这时我们就说，变量以常数为极限．（四）无穷小与无穷大1.无穷小（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小量．（2）无穷小的阶（比较）（3）无穷小的运算性质（见讲义）特别是：有界函数与无穷小之积为无穷小．求极限时时，可用无穷小替换，记住几个等价无穷小：～～～～～～2.无穷大（P.39）：绝对值无限增大的变量叫无穷大.无穷小与无穷大的关系：非零无穷小的倒数为无穷大，反之，无穷大的倒数为无穷小.（五）两个重要极限第一个重要极限：是弦弧之比的极限，是的未定式，它的标准形式是第二个重要极限：是的未定式，它的标准形式是注意：这里，即它们互为倒数．（六）函数的连续性1.三个等价定义：其中，则称函数在点处连续．函数在区间连续的定义．初等函数在其定义域内是连续的．2.闭区间上连续函数的性质①有界性②最值定理③零点定理3.函数的间断点及其分类考点：①讨论分段函数在分段点处的连续性.②求垂直、水平渐近线.③求极限:初等方法和罗比达法则.注意:求函数的极限时一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势.如各项的极限都存在（定式）时用四则运算法则即可求出它们的极限；如果遇到有理分式出现未定式时，可先消去不定因子后化为定式，然后求出极限，这叫求极限的初等方法（还可利用连续性和无穷小替换法）；对型的未定式则使用罗必达法则．【例6】填空题：函数的垂直渐近线是复习：，则直线是函数的水平渐近线；，则直线是函数的垂直渐近线.解，故为垂直渐近线.【例7】填空题：设在处连续，则＝4.解由于在处连续，即，即【例7′】设是在时取非负的连续函数，试求常数，在上连续．解：显然是分段点，。要使在上连续，需有因此使得。【例8】单项选择题：当时，下列变量中（）是无穷小量．；；．解为无穷小，，即为有界变量，因而它们之积为无穷小），故选.【例9】单项选择题：设在处连续，则）解原式＝，故选.【10】填空题：要使函数在处连续，则需定义的值为.解＝．计算题【例11】求极限解原式（由于为无穷大，为无穷小，，即为有界变量，故为无穷小）【例12】求极限解原式（第一个重要极限）【例13】求极限解原式或（＝【例14】求极限解原式＝【例14′】解原式【例15】求极限解原式【例16】证明：函数在（-1，2）之间至少有两个零点.证明在闭区间上连续，因此，由闭区间上连续函数的零点定理知，使得即在（-2，2）之间有两个零点.第二章导数与微分下面复习一元函数微分学．微分学：（意为差的计算）（一）导数的概念1.函数在一点的导数与导函数的定义（导数是函数的差，自变量的差之比的极限，即差商的极限，平均变化率的极限）由于函数在一点的导数是由极限定义的，函数在一点的极限有左右极限之分，同样函数在一点的导数也有左、右导数之分．左导数：右导数：它们之间的关系是：函数在区间内的导数是点点可导，是一个函数，称导函数：一个点的导数是导函数在处的函数值，即．2.导数的几何意义与物理意义表示曲线在点处的切线的斜率．表示路线函数在时刻的瞬时速度．3.函数连续与可导的关系：函数在点可导，必连续，反之则不然．举反例：在处连续，但不可导．因为曲线尖点处无切线．4.导数的四则运算法则(P.86)5.导数的基本公式：16个，背会，熟记．(二)求导方法1.复合函数的求导法—锁链法则：在搞清复合关系下，由外向内逐次由对中间变量导，直至对自变量的求导为止，要分步写，别漏层；2.反函数的导数＝原函数导数的倒数；3.参数方程的一、二阶导数公式（见讲义）4.隐函数求导法由方程确定隐函数，求有二种方法：（1）求导法：方程两边对求导，解出；（2）利用一阶微分形式不变性：方程两边取微分，从中解出；5.取对数求导法适于：（ⅰ）幂指函数，（ⅱ）若干个幂的连乘、除.（三）高阶导数，即一阶一阶导数求下去，并总结出一般规律.公式：.（四）微分1.定义：函数的微分是函数改变量的线性主要部分，用微分的第一个字母表示：2.可导与可微是等价关系：，故导数也叫微商．3.微分法则（参见讲义）4.一阶微分形式的不变性：不管是自变量还是中间变量，函数的微分总可以表为的形式.考点：①利用导数定义讨论分段函数在分段点处的可导与连续性；②求导数或微分.【例17】单项选择题：函数在点（1，2）处的切线方程是（），；；.【例18】单项选择题：若在处可导，则有（）；；；【例19】填空题：曲线在处的切线方程为【例19′】过原点的切线方程为：。【例20】综合题：已知，讨论在点处的连续性可导性.解右极限左极限，又故在处连续.右导数左导数，又故在处可导.【例21】单项选择题：设函数，且，则（）解，已知，那么，故选【例22】单项选择题：下列凑微分等式中（）是正确的．；；；.【例23】计算的微分解【例23′】1．，则。【例24】由所确定，求解根据隐函数求导法则，先求导函数方程两边对求导，得（乘法法则）解出，时，故【例25】求解．【例26】填空题：设函数在处可导，则2，.解由在处可导，即，又可导必连续，所以则又所以，又由，得【例27】设，求解（利用一阶微分形式不变性）＝＝.【例28】求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边对求导，得解出.【例28′】设由方程确定，求.设由方程确定，求。解：方程两边同时对x求导将代入上式【例29】求由参数方程所确定的函数的导数.解【例29′】设，求解【例30】，求解法一法二取对数，化为隐函数两边对求导，得.【例30′】求的导数解：【例31】，求解方程两边对求导，得解出【例32】用微分代替增量，求的近似值.解由近似公式：设或用近似公式：第三章中值定理与导数的应用（一）中值定理架起了函数与导数之间的桥梁，因与区间的中间点有关，故叫中值定理，它由以下几个定理构成：（记住定理的条件和结论）.1.定理2.中值定理3.定理（二）法则：未定式的定值法，求型未定式的极限.使用罗必达法则时注意：（ⅰ）罗法则是说，如果导数比的极限存在，则函数比的极限存在，反之，不一定成立．即，不是所有的未定式的极限都可用罗必达法则，法则不是万能的．（ⅱ）对未定式可以连续使用罗必达法则，但每步必须检验条件，不是未定式时，则该用其他方法求出极限.（ⅲ）使用罗必达法则求未定式极限的过程中还要注意结合使用求极限的初等方法，以简化计算过程.（三）函数的图形1.用导数判断函数的单调性（定理1）2.函数的极值与最值（1）极值（局部概念）定义（2）极值的必要条件：函数的极值点发生在驻点（一阶导函数为零的点）和导数不存在的点，合称可疑点上.（3）极值的充分条件一：一阶导数经过“可疑点”是否变号；极值的充分条件二：将驻点带入二阶导数，大于零为极小点，小于零为极大点.（4）求函数最值（整体概念）的应用题的步骤：先设变量，将问题化为一元函数的极值问题，令一阶导数为零，求出唯一驻点，根据实际问题的意义，为问题的极值点也是最值点，最后写出答.3.曲线的凹凸性与拐点（1）曲线的凹凸是用曲线在切线上下方，即曲线的纵坐标与切线纵坐标比较大小来定意的判别：用二阶导数的符号，大于零为凹，小于零为凸.（2）拐点：凹凸的分界点.4.渐近线考点：①利用微分中值定理或函数单调性证明某些不等式；②求函数的单调区间和凹凸区间及拐点；③判别函数极值的条件，可导与连续的关系；④利用微分中值定理证明方程有实根的问题；⑤一元函数最值的应用问题.【例33】证明不等式：证明取在上对应用中值定理，，使得由于，故【例34】证明：当时，有证明设，则当时，显然有，从而有因此，于是在上单调上升，这样便有，即有不等式.【例35】填空题：曲线的拐点为解令，解得判别当时，当时，，则点是曲线的拐点．【例35′】．，时，点是曲线的拐点.，时，点是曲线的拐点.解【例36】单项选择题：函数在区间（1，2）上是（）单调增加的；单调减少的；先单调增，后单调减；先单调减，后单调增.解令，解得驻点，在（1，2）外，例如可见，函数在（1，2）上是单调减少的，故选.【例37】填空题：曲线在区间内是凹的曲线在区间内是凹的【例38】单项选择题：下列命题中不正确的是（）函数的极值点一定是驻点；若，则存在；函数在处可导，则一定在处连续；若在上恒有，则在右端点处达到最大值.【例39】证明题：设，证明有且仅有三个实根.证明是初等函数，在上连续，可导，从而在上连续，可导，则分别在上对应用罗尔中值定理，得至少，使得，又是三次方程，故它至多有三个实根由上述有且仅有三个实根.【例40】应用题：求半径为得球内接圆柱体的最大体积.解设圆柱体底半径为，高为，则体积令，解得唯一驻点由实际问题意义，它为最大值点，答：当圆柱体底半径时，有.【例41】应用题：已知某建筑机械厂生产件产品的成本（单位：元），试问：要使平均成本最小，应生产多少件产品？解设平均成本为，则，于是问题化为求一元函数的最小值令，解得唯一驻点舍去）由实际问题意义，此点即为极小值点，也是最小值点＇答：当生产1000件产品时，平均成本最小.【例42】应用题：设矩形内接于椭圆内，求使其面积为最大的矩形的边长.解设矩形边长为，宽为则面积，于是问题化为求一元函数的最大值令解得唯一驻点舍去），由实际问题意义，它为极大值点，也是最大值点.答：内接于椭圆的矩形边长为，宽为时，其【例42′】求在上的最大值和最小值。解：最大值为，最小值为.第四章不定积分在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算，导数的运算也有逆运算，这就是不定积分（一）原函数与不定积分1.原函数：或，则称是的一个原函数.（1）若在某区间上连续，则在上的原函数必存在..（2）若存在原函数，则它的原函数有无穷多个，且其不同的两个原函数之间仅差一个常数.2.不定积分：的全体原函数称为它的不定积分，记作（二）不定积分的性质1.为非零常数）2..3.，或（对先积后微，作用互相抵消）4.，或（对先微后积，结果只差任一常数）可见，不定积分与微分互为逆运算．（三）基本积分公式公式（1）－（15），补充公式（16）－（24）要求：背会，熟记.特别是幂函数的积分公式：时，指数函数的积分公式：不定积分的两大积分法：求不定积分是求导运算的逆运算，较困难．这是因为，若函数存在导数，则根据导数的构造性定义（差商的极限）或应用求导公式，特别是对复合函数的链式法则，由表及里总能算出它的导数.但计算函数的不定积分则不然，由于不定积分的定义是非构造性的，应用不定积分法则和公式只能计算出很少的、简单的函数的不定积分，对计算较多的复合函数和乘积函数的不定积分，要因函数的不同形式或不同类型而选用不同的方法.因此计算不定积分有较大的灵活性和技巧，没有一定的规律可循．计算不定积分最基本、最常用的有两种积分法，这就是换元法和分部积分法，它们能将被积函数的表达式化繁为简，最后简化到能用不定积分表中公式进行计算.（四）换元积分法1.第一换元积分法（凑微分法）形式写法如下：难积（积分表中无）将被积函数分为两因子乘积将与dx凑成微分简单、易积凑微分是相当灵活的方法，变化万千，要记住一些常用的凑微分式.2.第二换元积分法－主要用于求解含有一、二次根式的积分.（不作考试要求）形式写法如下：难积（积分表中无）易积对含有一次根式（简单无理式）的积分，令对含有二次根式的积分，用弦换、用切换、用割换，去掉根式，易于积分，最后用小三角形法还原．（五）分部积分法－适于求解含有中任意两个相乘的积分．（其中L－对数函数，I－反三角函数，A－代数函数，T－三角函数，E－指数函数）公式的意义是：难积将被积函数化为两因子乘积将与dx部分后者易于积分凑成微分dv（前者）分部积分法中，要使后者vdu的积分比前者udv的积分容易，才能达到化难为易，化繁为简的目的，为此u、v的恰当选择是关键，口诀是：三指进微多不变，对反不动多项变．（即三角函数、指数函数进微分为v,多项式不变为u；（对数函数、反三角函数不动为u，多项式进微分为v）在三角函数与指数函数乘积求积时，u、v可任意选，但第二次积分时，u、v应选同类函数，这时积分会出现循环，通过移项，除以系数得原式的积分.考点：①理解不定积分与微分运算互逆.②会用凑微分法和分部法求不定积分.【例43】单项选择题：下列等式中正确的是（）；；；.【例44】填空题：设，则解.【例45】求不定积分解原式＝这时出现循环，移项除2，得原式＝【例45′】解：【例46】求不定积分解原式【例47】求不定积分解原式＝＝＝【例48】F(x)是cosx的一个原函数，F(0)=0,求。解由是的一个原函数得，又，所以。.【例48′】已知，则=.解已知，则=.第五章定积分（一）定积分的概念在有限区间上有界函数的定积分（又称．黎曼积分）是特定构造（经四步即分割（化整为零）－近似代替（局部＂以直代曲＂，＂以不变代变＂）－求和（积零为整）－取极限（由近似到精确）的和式的极限，又称＂高级和＂记作，，积分号＂是“和”的第一个字母拉