2023届数学二轮复习讲练测：专题06 一网打尽外接球与内切球问题（精讲精练）（解析版）

专题06一网打尽外接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是5．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.【方法技巧与总结】1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4【核心考点】核心考点一：正方体、长方体外接球【规律方法】1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（

）A． B．4 C． D．.【答案】B【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积故选：C.例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．【答案】【解析】设正方体的中心为，为棱的中点，连接，则为矩形的对角线的交点，则，同理，到其余各棱的中点的距离也为，故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，故答案为：核心考点二：正四面体外接球【规律方法】如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．【典型例题】例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体外接球表面积为，则该正四面体棱长为______；若为平面内一动点，且，则最小值为______．【答案】

6

【解析】设该正四面体棱长为，过点作面，则点为的重心，则，，又正四面体外接球表面积为，则，则，即，又，则，解得：；又为平面内一动点，且，则，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，又，则由点与圆的位置关系可得最小值为：，故答案为：；．例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.【答案】【解析】设外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，则，所以，两球相交形成形成的图形为圆，如图，在中，，，在中，，所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为.故答案为：例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为的正四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正四面体的棱长为，则根据题意可得：，解得；该正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球的半径相等，又正方体的外接球半径为，故该正四面体外接球的表面积.故选：B.核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．【典型例题】例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为___________.【答案】【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为，，，则解得所以，即，从而其外接球的半径为，其外接球的表面积为.故答案为：．例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为，，，设长方体的长、宽、高分为所以长方体的对角线长为，球的半径为，此球的表面积为．故选：C．例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥中，若，，，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三棱锥中，∵，，，显然这六条棱长恰为长方体的六个面的面对角线的长，设此长方体的长、宽、高依次为、、，其对角线的长恰为外接球的直径，如图所示．则有，则，易知长方体的体对角线长为．则．故选:D核心考点四：直棱柱外接球【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【典型例题】例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正三棱柱外接球的体积为，所以，设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，所以由勾股定理得，设，当直线与曲线相切时，最大，联立方程组得，由，得或（舍去），此时，，所以正三棱柱的体积，故选：B例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为三棱柱为直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，因为，令因为，所以，在中，，所以，，所以，，所以，当，即时，取得最大值，所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，所以，直三棱柱外接球的半径，即，所以，直三棱柱外接球的体积为.故选：C例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正六边形的边长为，则底面面积为，设，则正六棱柱的体积为，解得，即，又由该六棱柱的外接球的直径为，所以该六棱柱的外接球的表面积为：，令，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值为.故选：C.核心考点五：直棱锥外接球【规律方法】如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【典型例题】例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于三棱锥中，平面ABC，，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线即为外接球的直径，所以，故三棱锥的外接球表面积为．故选：D例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，为的中点，为底面外接圆的半径，由余弦定理得由正弦定理得，由，得，所以球的表面积为．故选：C例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为平面ABC，平面ABC，故，而，，，则，所以,又，平面PAB,故平面PAB,平面PAB,所以,所以都是以PC为斜边的直角三角形，故取PC中点O，连接OA,OB,则,即O为三棱锥外接球的球心，,故三棱锥外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为，故选：A核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型【规律方法】1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．【典型例题】例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】，正三棱锥中，所以，侧面是正三角形，则正三棱锥为正四面体．将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为，则其外接球的半径，所以该正三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥，其外接球球的半径为，则该正三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】如图，设正三棱锥的高，则由射影定理可得，，，，当，即时，.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的棱长为，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】【解析】如图，∵正三棱锥中，顶点在底面的射影为，该正三棱锥外接球的球心设为，因为底面边长为6，所以，∴高．由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形中，，，由，得，，∴外接球的表面积为：．故答案为：．例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．【答案】【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，又，则，解得，设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，则球O的表面积为，所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】在中，，，所以，所以，在中，，，所以，所以.又，，平面，所以平面，在中，，所以的外接圆半径为，不妨设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为连接，由于，故在线段的垂直平分线上，即故三棱锥的外接球半径，外接球的表面积为.故答案为：核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．【典型例题】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥的体积为_____.【答案】【解析】如图，设球的半径为，由已知得，解得，则，又由，所以，取中点，为所在外接圆的圆心，故平面，又因为，所以，平面，得到，在中，由，，得到，所以，，所以，故答案为：例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥的外接球的表面积为，AD是该球的直径，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为______．【答案】【解析】设三棱锥的外接球的球心为O,半径为R，则，解得，设的外接圆圆心为，半径为，则，连接，∵，即，则点D到平面ABC的距离为2，∴三棱锥的体积.故答案为：.例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P﹣ABC中，，AC=2，PA为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为___________．【答案】【解析】由题意可得为等腰直角三角形，，同时为其外接球的一条直径，则都是直角，设球心为，取的中点为，则平面，因为，则平面，则，故，由勾股定理得，则外接球的半径为2，表面积为故答案为：核心考点八：共斜边拼接模型【规律方法】如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．【典型例题】例24．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．∴外接球的半径．故．选C．例25．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为【答案】1【解析】是公共的斜边，的中点是球心，球半径为．例26．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】C【解析】平行四边形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱锥的外接球的直径为，外接球的半径为1，故表面积是．故选：．核心考点九：垂面模型【规律方法】如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2【典型例题】例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为______【答案】1【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心，球半径为．故答案为：1例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【解析】等边三角形、等边三角形的高为，等边三角形、等边三角形的外接圆半径为，设分别是等边三角形、等边三角形的中心，设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，则，所以外接球的表面积为.故答案为：例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______【答案】【解析】等边三角形的高为，等边三角形的外接圆半径为三角形的外接圆半径为，设分别是等边三角形、等边三角形的中心，设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，则，所以外接球的体积为.故答案为：例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】如图分别为的外心.由，即为中点，取的中点则，又面面，面面，面，即面设球心为，则平面∴，又，面，面面，面面，∴平面，又平面.∴，即四边形为矩形.由正弦定理知：，即，∴若外接球半径为R，则，∴.故答案为：.核心考点十：二面角模型【规律方法】如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．【典型例题】例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______.【答案】【解析】如图1，取AC中点E，连接BE，DE，与为等边三角形，则,平面,故平面,故二面角的平面角为，又平面,所以平面平面，平面平面，过作于，平面,所以平面，由题意得，，∴，则，设外接圆圆心为，则在上，半径为，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在直线上.∵，∴，过D作的平行线交于点F，则，∵D，B在球面上，外接球球心可能在三棱锥内也可能在三棱锥外，取截面如图，设外接球球心O，半径R，令，则，，∴,当时，化简得，舍去，当时，化简得，得，∴,故答案为：.例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】取的中点，连接，，因为为菱形，所以，，故为二面角的平面角，则，由题意可知，为正三角形，则外接球球心位于过，的中心且和它们所在面垂直的直线上，故分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心，由题意可知，球心到面和面的距离相等，即，连接，，则，菱形的边长为，∴，，∴，即三棱锥的外接球的半径，所以其外接球的表面积为.故答案为：例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．【答案】【解析】根据题意，，所以，取中点为E，中点，则，，，是正三角形，，是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，，是的外心，设是的外心，设过与平面垂直的直线与过垂直于平面的直线交于点，则是三棱锥外接球球心，，，又，由于平面MNO与MEO同时垂直于BD，所以共面，在四边形中，由，，，，可得：，外接球半径为，体积为．故答案为：例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】依题意在边长为的菱形中，，所以，如下图所示，易知和都是等边三角形，取的中点，则，．，平面，所以平面，所以是二面角的平面角，过点作交于点，由平面，平面，所以，，平面，所以平面．因为在中，，所以，则．故三棱锥为正四面体，由平面，所以为底面的重心，所以，，则，设外接球的半径为，则，解得．因此，三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．核心考点十一：坐标法【规律方法】对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．【典型例题】例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，所以，过点作交延长线于，过点作交于，再作，使得与交于点，所以，由二面角为直二面角可得，设，即，则，因为，所以，所以，在中，，在中，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，，，，在图1中，由于，即为角的角平分线，所以，即，所以，所以，，由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，则，所以，设四面体的外接球的球心为，则，即，即，解得，，即，所以四面体的外接球的半径为

，所以四面体的外接球的表面积为．故选：D例36．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，，，，平面，，解得：，与重合，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球，外接球表面积.故选：B.例37．（2022·山西·一模（理））如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；故选：B核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型【规律方法】1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．例38．球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．【典型例题】例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图为圆台及其外接球的轴截面，为外接球球心，，为等腰梯形的下底和上底的中点，所以，，因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，圆台下底面半径为4，所以，，则，，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为.故选：C.例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为______．【答案】【解析】设圆锥的母线长为，则侧面积为，解得，故圆锥的高为，设该圆锥的外接球的半径为，由球的性质知，，解得，故外接球的表面积为．故答案为：.例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【解析】由于AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，，易得在线段上，又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，，则，解得，外接球表面积为．故答案为：例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.【答案】【解析】有题意可知，，所以所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以，所以该圆锥的内切球的表面积为.故答案为：核心考点十三：锥体内切球【规律方法】等体积法，即【典型例题】例43．（2022·全国·高三专题练习）球O是棱长为1的正方体的内切球，球与面、面、面、球O都相切，则球的表面积是_______________．【答案】【解析】设球的半径为，依题可知，，即，解得，所以球的表面积是．故答案为：．例44．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.【答案】【解析】设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形的边长为，因为底面过球心，所以有，该正四棱锥的各侧面的高为，设该正四棱锥的表面积为，由等体积法可知：，故答案为：例45．（2022·山东济南·二模）在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.【答案】【解析】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，又因为AB⊥AC，所以设，所以.，因为，所以△ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当“”时取等.当时，底面△ABC周长最小，所以，所以，所以此时△ABC周长的最小值：.故答案为：.核心考点十四：棱切球【规律方法】找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】例46．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为A． B． C． D．【答案】C【解析】解：设正方体的棱长为1，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即：1，外接球的直径为正方体的对角线长为：；正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：，所以，正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为：．故选：．例47．（2022•江苏模拟）正四面体的棱长为4，若球与正四面体的每一条棱都相切，则球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【解析】解：将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，正四面体的棱长为4，正方体的棱长为，球与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，球是正方体的内切球，其直径为，球的表面积为，故选：．例48．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图，正三棱柱的高等于1，设上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，则、分别为所在棱的中点，设底面边长为，则，，又，，，解得．则球的半径为，球的体积．故选：．【新题速递】一、单选题1．（2022·湖北·高三阶段练习）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该圆台的高为h，则，解得．由题意得：上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，设球心O到下底面的距离为t，即，则，由勾股定理得：，即，解得，则球O的半径，故球O的表面积为.故选：D2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于平面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时，故，则球O的体积为.故选：C．3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，，，为球的球面上的四点，记的中点为，且，四棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，则平面过球O的球心O，又的中点为，则点E是以AB为直径的球的截面小圆圆心，连接，如图，则，四边形为梯形，令球O的半径为，设，则，四棱锥体积最大，当且仅当梯形面积最大，并且点D到平面的距离最大，显然球面上的点D到平面的最大距离为R，梯形面积，令，，求导得：，当时，，当时，，即函数在上递增，在是递减，因此当时，，，于是得四棱锥体积的最大值为，解得，所以球的表面积为.故选：C4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设底面的外接圆的圆心为，外接圆的半径为r，由正弦定理得，过作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，并且，外接球的半径，球O的体积为；故选：D.5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知正四棱锥的所有顶点都在体积为的球的球面上，若该正四棱锥的高为，且，则该正四棱锥的体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设球的半径为，因为球的体积为，所以，解得.当时，如图，设正四棱锥的底面边长为，则有，整理得.同理，当时，有，整理得.所以正四棱锥的体积.由，得或.因为，当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减.所以当时，正四棱锥的体积取得最大值，最大值为.又，，所以，该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.6．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设三棱锥的高为，所以有，在直角三角形中，，，当共线时，三棱锥体积的最大，显然，如图所示：最大值为：，故选：D7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知体积为的正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正三棱柱的底面边长与高的比值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设正三棱柱的上、下底面的中心分别为和，则的中点为O．设球O的半径为R，则．设，，则，，．所以正三棱柱的体积，所以．在中，，球O的表面积．方法一，当且仅当，即时，S取得最小值．方法二：由，得，所以．令，则．令，得，当时，时，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，S取得最小值，此时，所以．故选:D．8．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，堑堵的内切球（与各面均相切）半径为，所以直角三角形的内切圆半径为，，设，则，所以，，当且仅当时等号成立，则，所以鳖臑体积.故选：C二、多选题9．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（

）A．球在正方体外部分的体积为B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为D．若点､､在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为【答案】BD【解析】对于A，正方体的棱切球的半径，如下图所示，球在正方体外部的体积，或者可根据球在平面上方球缺部分的体积，为球缺的高，所以球在正方体外部的体积为，A选项错误；对于B，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以，B选项正确；对于C，

若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，若正方体下底面字母为，设平面的中心为,直线与平面所成角即为直线与平面所成角，则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得，，，，，所以，，，所以直线与平面所成角最大时为，，C选项错误；对于D，，记向量与向量的夹角为，，因为，且，所以，令，所以上式可化为，当且仅当时等号成立，此时，即时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.故选：BD.10．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（

）A．平面 B．球的表面积为C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为60°【答案】ACD【解析】对于A，如图1，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由平面几何易得，即；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，故平面，故A正确；.对于B，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则，在等腰梯形中，易得，即，为方便计算，不妨设，则由，即，即，又，解得，即与重合，故，故球的表面积为，故B错误；.对于C，由图2易得，，，面，故面，不妨设落在图3处，过作，则面，故，故在中，（勾股边小于斜边）；同理，，所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；再看图4，由可知，故，故C正确，.对于D，由选项C可知，面，面，故面面，在面内过作交于，如图5，则面，面面，故面，故为与平面所成角，在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最大值，显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且，在中，，，，故为正三角形，即，即与平面所成角的最大值为，故D正确.故选：ACD.11．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为6的为正三角形，为底面的圆心，为圆的一条直径，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点是球与圆锥侧面的交线上一动点，则（

）A．圆锥的表面积是 B．球的体积是C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为【答案】BCD【解析】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，，则球O的半径，显然，，，，对于A，圆锥的表面积是，A错误；对于B，球O的体积是，B正确；对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，，当且仅当，即时取“=”，则四棱锥体积的最大值为，C正确；对于D，因，则有，即，因此，由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D正确.故选：BCD12．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（

）A．球与圆柱的表面积之比为B．平面DEF截得球的截面面积最小值为C．四面体CDEF的体积的取值范围为D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为【答案】BCD【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积为，圆柱的表面积，所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；过作于，则由题可得，设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，则，，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，又，所以，故C正确；由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，则，设，则，，所以，所以，故D正确.故选：BCD.13．（2022·全国·模拟预测）如图，在五面体中，底面为矩形，和均为等边三角形，平面，，，且二面角和的大小均为．设五面体的各个顶点均位于球的表面上，则（

）A．有且仅有一个，使得五面体为三棱柱B．有且仅有两个，使得平面平面C．当时，五面体的体积取得最大值D．当时，球的半径取得最小值【答案】ABC【解析】对于选项A:∵平面,经过的平面与平面交于直线,∴,取的中点分别为,连接,则连接,∵和均为等边三角形，∴,又∵底面为矩形，∴垂直,故得二面角的平面角为,二面角的平面角为,因为，分别在平面和平面中，平面与平面和分别交于直线，所以当且仅当时，平面平面,故当且仅当，即时，平面平面,即五面体为三棱柱，故A正确；对于选项B:当平面和平面不平行时，它们的交线为,由于,平面，平面，∴平面,又∵平面,平面平面=直线，∴，∴同理，∴当且仅当时，平面平面，由于四边形为等腰梯形，∴当且仅当或时，,∴当且仅当或时，平面平面，故B正确；对于选项C:设的补角为，过A作直线AR与直线PQ垂直相交，垂足为R，连接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,又∵AD∩AR=A,AD,AR⊂平面ADF,∴平面ADR⊥