《金新学案》高三数学一轮复习 33 等比数列 （文） 全国.重庆专

第三节等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从

起，每一项与它的

的比等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．第2项前一项同一个公比q 等比数列与等差数列的定义从字面上看差不多，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不能为零，项与公比的正负号有着密切关系等等．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝

.3．等比中项如果三个数a、G、b组成

，则G叫做a和b的等比中项，那么 ，即G2＝

.b2＝ac是a，b，c成等比的什么条件？a1qn－1等比数列ab

b2＝ac是a，b，c成等比的什么条件？【提示】b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件，∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.4．等比数列的前n项和公式 (1)公式的推导分q＝1和q≠1两种情况分别求解．当q＝1时，数列为常数列，易有Sn＝na1；当q≠1时，采用“错位相减法”进行推导，这种方法具有一定的通性，要注意理解和掌握．(2)在利用等比数列前n项和公式时，如果等比数列的公比q不确定，需分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 等比数列有关性质(1)在等比数列中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.(2)间隔相同的项，如a1，a3，a5，…仍为等比数列，且公比为q2.(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.【解析】

设公比为q.由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.因为等比数列{an}的公比为正数，【答案】

C2．(2008年全国卷Ⅰ)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64 B．81C．128 D．243【答案】

A3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6＝()A．64 B．160C．79.5 D．31.5【解析】1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴a6＝79.5.故选C.【答案】C【答案】

155．若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为________．【解析】

由题意可知，S8－S4＝a8＋a7＋a6＋a5＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24，所以前8项和等于17.【答案】

17 在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)令cn＝ban，求数列{cn}的前n项和Tn.【思路点拨】由等差、比数列通项公式解得d和q，再利用求和公式． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列． (1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.【解析】

(1)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)解法1：a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8②解法2：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，则T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024. 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1，q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知，注意“隐含”条件． 2．(1)在等比数列{an}中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，求a5＋a6的值；(2)在等比数列{an}中，已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．本节内容一是等比数列的定义及中项，考查等比数列的判定，二是通项公式及求