《金新学案》高三数学一轮复习 2.1 函数及其表示 （理）福建

1．函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(5)会用函数图象理解和研究函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．(4)知道指数函数是一类重要的函数模型3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1)．4．幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．第一节函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值(2)函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等(3)函数的表示法有解析法、图象法、列表法．．．．表示法优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较小的有限值的对应关系函数的三种表示法的优、缺点对照表：2．映射设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

理解映射的概念要注意以下几点：(1)映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应关系f，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合．(2)A中每一个元素都可以在B中找到一个且只有一个元素和它对应．(3)A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”．(4)B中的元素可以在A中没有元素和它对应．总之，函数是特殊的映射，当A、B是非空数集时，f：A→B的映射即为A到B的函数．映射与函数的对比A、B可为数集、点集及其他集合作为A到B的映射，A为原象集合，C为象集合(C⊆B)三要素：对应关系、原象集合、象集合(C⊆B)映射映射函数相同点对于f：A→B，都是A中每一元素都能在B中找到唯一元素与之对应不同点

A、B可为数集、点集及其他集合A、B必须为非空数集作为A到B的映射，A为原象集合，C为象集合(C⊆B)作为A到B的函数，A为定义域，B不一定为函数的值域三要素：对应关系、原象集合、象集合(C⊆B)三要素：对应关系、定义域与值域1．(2009年福建卷)下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是(

)A．f(x)＝lnx

B．f(x)＝C．f(x)＝|x|D．f(x)＝ex

【答案】

A【解析】∵y＝定义域为(0，＋∞)，f(x)＝lnx定义域为(0，＋∞)．f(x)＝定义域为{x|x≠0}．f(x)＝|x|定义域为R.f(x)＝ex定义域为R，故选A.2．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】根据函数定义：对于M中的任意一个x在N中都有唯一确定的y与之对应．因此，②③都表示从M到N的函数关系．【答案】

C3．若对应关系f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是(

)A．A中的每一个元素在集合B中都有对应元素B．A中两个元素在B中的对应元素必定不同C．B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同D．B中的元素在A中可能没有对应元素【解析】由映射概念可知，A中元素在B中必有惟一元素与它对应，B中元素在A中可以没有对应关系，即从A到B的对应关系可以是一对一，多对一，但不可以是一对多．【答案】

B4．(2009年北京卷)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.【解析】当x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；当x＞1时，－x＝2，∴x＝－2(舍去)．【答案】

log32

x123f(x)131x123g(x)3215．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是________．x123f[g(x)]131g[f(x)]313【解析】

f[g(1)]＝f(3)＝1.故f[g(x)]＞g[f(x)]的解为x＝2，故填2.【答案】

1

2

下列从M到N的各对应法则fi(i＝1,2,3)中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？(1)M＝{直线Ax＋By＋C＝0}，N＝R，f1：求直线Ax＋By＋C＝0的斜率；(2)M＝{直线Ax＋By＋C＝0}，N＝{α|0≤α＜π}，f2：求直线Ax＋By＋C＝0的倾斜角；(3)M＝N＝{x|x≥0}，f3：求M中每个元素的算术平方根．【思路点拨】

函数是一种特殊的映射，特殊之处在于两个集合M、N都是非空数集．但它们都有共同特点M中元素在N中存在唯一元素与之对应．【解析】

(1)当B＝0时，直线Ax＋C＝0的斜率不存在．此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了．(2)对于M中任一元素Ax＋By＋C＝0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈[0，π)，故f2是从M到N的映射．但由于M不是数集，从而f2不是从M到N的函数．(3)对于M中任一非负数，其算术平方根唯一确定，故f3是从M到N的映射．又M、N均为非空数集，所以f3是从M到N上的函数．

已知某人在2005年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．x123456y10002000400080001600032000【解析】列表：图象：解析式：y=1000·2x-1(x∈{1,2,3,4,5,6})．其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1000,2000，4000，8000，16000,32000}．对应法则f：x→y=1000·2x-1.

列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式．1．如下图①所示是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)图①、②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？【解析】

(1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．(4)斜率表示票价．给出下列两个条件：(1)f(＋1)＝x＋2；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．【解析】

(1)令t＝＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴又f(0)＝3⇒c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.

求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式；(2)拼凑法，对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t＝g(x)，解出x，代入f[g(x)]，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式．2．(1)已知f＝x2－2，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；【解析】(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1