二次函数29个难题的解法

二次函数精选1、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4,CD=9,NC=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时APDO的面积达到最大，并求出最大值;（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M,并求出BM的长；不存在，请说明理由.2、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.（1）设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式.（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式.（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润卬元？（利润=销售总额一收购成本一各种费用）3、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中。4是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

4、如图，已知抛物线与x轴交于A(—1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得4PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由；⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。JL(第24JL(第24题)5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2,4),直线％=2与x轴相交于点B，连结0A，抛物线J=x2从点O沿。4方向平移，与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.(1)求线段OA所在直线的函数解析式；(2)设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与^PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由..（2008年大连）如图18,点C、B分别为抛物线C1：y1=X2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点.分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D,且AB=BD.⑴求点A的坐标；⑵如图19，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变，求CD的长和a2的值.附加题：如图19,若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=a1x2+b1x+1"，其他条件不变，求b]+b2的值.图19.如图10,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1,0）,B（3,2）.⑴求m的值和抛物线的解析式；⑵求不等式x2+bx+c>x+m的解集（直接写出答案）..如图（1）,已知在口ABC中，AB=AC=10,AD为底边BC上的高，且AD=6。将口ACD沿箭头所示的方向平移，得到口A/CD/。如图（2）,A/D/交AB于E,A/C分别交AB、AD于G、F。以D/D为直径作口O,设BD/的长为x,口。的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)连结EF,求EF与口O相切时x的值；(3)设四边形ED/DF的面积为S,试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？，，cc、八,一、…「、八「17、 「,,八、.在平面直角坐标系中给定以下五个点4—3，0)，B(―1，4),C(0，3),D-，，E(1，0).124J(1)请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；(3)(15、已知点(3)(15、已知点F-1，-k47在抛物线的对称轴上，直线y=17 _(.17、 .T过点G〔T'WJ且垂直于对称轴.验证：以，一 一，… 17, 」17「一E(L0)为圆心，EF为半径的圆与直线y=丁相切.请你进一步验证，以抛物线上的点D-，为圆心4 k24)17由此你能猜想到怎样的结论.17由此你能猜想到怎样的结论.CC分别在x轴，y轴上，点B坐标.如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点4为(m，2)(其中m>0)，在BC边上选取适当的点E和点F，将4OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且/OGA=90.0(1)求m的值；(2)求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，•••

直接答出所有满足条件的点P的坐标(不要求写出求解过程).••••1 /八、 b (b4ac-b2)【提示：抛物线J=ax2+bx+c(a*0)的对称轴是x=-丁，顶点坐标是一丁，「一】2a I2a 4a)11、一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份.为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净•・收入.(日净收入=每天的销售额一套餐成本一每天固定支出)(1)求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入.按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？12、如图,抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、0,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l，设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6v2<S<6+8；2时,求x的取值范围.(第28题)

13、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润玉与投资量％成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y2与投资量X成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（】）分别求出利润乂与y2关于投资量X的函数关系式;他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，多少？他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是（注意：在试题卷上作答无效）14、（2008山东潍坊）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1WxW12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1WxW12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。15、（2008年福建省福州市）如图，已知“5。是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）,解答下列问题：（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设4BPQ的面积为S（cm2）,求s与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△APR^^PRQ?

（第21（第21题）16、（2008年福建省福州市）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为％轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点H且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛•••物线的解析式；（3）在％轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.17.（2008年广东茂名市）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计J一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，得到如下数据：销售单价X（元件） 30405060 （1）把上每天销售量y（件） 500400300200 表中X、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与X的函数关系，并求出函数关系式；（4分）（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（4分）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销••该工艺品每天获得的利润最大？（2分）解:

解:18、（2008年广东茂名市）如图在平面直角坐标系中，2抛物线y=—3X2+18、（2008年广东茂名市）如图在平面直角坐标系中，2抛物线y=—3X2+bX+C相关链接：经过A（0—4）、B（xJ。）、C(x2，0一点,且x2-x3若Xjx2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两(1)求b、c的值；（4分）(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱aj（3）在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由.（3分）解：19、（2008年广东梅州市）如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF_LDE交BC于点F.（1）求证：AADEsABEF；（2）设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值.

20、(2008年广东梅州市)如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB//CD,AD1DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.(1)求/DAB的度数及A、D、C三点的坐标；(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.(3)若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使APDB为等腰三角形的点P有几个？(不必求点P的坐标，只需说明理由)图11图1121、(2008年广东湛江市)如图11所示，已知抛物线J=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP/CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG1x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.(08东营)在^ABC中，/A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合)，过M点作MN/BC交AC于点N.以MN为直径作。□，并在。0内作内接矩形AMPN.令AM=x.(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S；(2)当x为何值时，。0与直线BC相切？图1图2图3(3)在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图1图2图3(08中山)将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD.(1)填空：如图9,AC=,BD=;四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).(3)如图10,若以AB所在直线为X轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向X轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P,设AF=t,△FBP面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.图9图9(08海南)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,机)，且与y轴、直线X=2分别交于点D、E.(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；(2)求证：①CB=CE:②D是BE的中点；(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由图13(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由.

（08兰州）如图19-1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4.（1）在OC边上取一点。，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D,E两点的坐标；（2）如图19-2,若AE上有一动点P（不与A,E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0<t<5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A,M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标.xxxx图19-2图图19-2（2008徐州）已知二次函数的图象以A（—1,4）为顶点，且过点B（2,-5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A'、B',求AOA'B'的面积.28、（2008扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：时间（天）1361036…日销售量（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格x（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：y『1/4t+25（1WtW20且t为整数）；后20天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：y广—1/2t+40（21WtW40且t为整数）。下面我们来研究这种商品的有关问题。（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（aV4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围。29.（2008义乌）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线/与x轴交于点D,与y轴交于点E.（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t>0）,直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s,s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4.

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2<t<4时，求S关于t的函数解析式；(2)在第(1)题的条件下，当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合)，在直线AB上是否

••••存在点H使A题为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.答案1、(1)解法一：如图25-1过A答案1、(1)解法一：如图25-1过A作AELCD,垂足为E.9—45依题意，DE=--二万.DE5-厂在RtAADE中，AD=———-=大义2=5.cos60°2解法二：如图25-2过点A作AE〃BC交CD于点E,则CE=AB=4.ZAED=ZC=60°.又•「ND=NC=60°,.•・△AED是等边三角形./.AD=DE=9—4=5.(2)解：如图25-1图25-1•••CP=x,h为PD边上的高，依题意，APDO的面积S可表示为：图25-21S=—PD•h21二(9—x)•x•sin60°2v3=——(9x—X2)4*(9=*(9=—丁(x—2)2+81-,1316TOC\o"1-5"\h\z由题意，知0WxW5. _, 9t 81<3当x=-时(满足0WxW5),S .2 最大值16(3)证法一：如图25-3

假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.图25-3于是9—x=x,x=—.图25-3此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP.△PDQ恰为等边三角形.过点Q作QM〃DC,交BC于M,点M即为所求.连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形.易证4MCP2△QDP,.・.ND=N3.MP=PD.•・MP〃QD, ・•・四边形PDQM是平行四边形.又MP=PD, ・♦・四边形PDQM是菱形.91所以存在满足条件的点M,且BM=BC—MC=5—=证法二：如图25-4假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.9于是9—x=x,x=—.此时，点P、Q的位置如图25-4所示，APDQ恰为等边三角形.过点D作DOXPQ于点O,延长DO交BC于点M,连结PM、QM,则ijDM垂直平分PQ,.\MP=MQ.TOC\o"1-5"\h\z易知N1=NC. 网 月...pq〃bc. 残又•••DO^PQ, AMCXMD :' \.2CD=PD J'J/：c图25-4 1口即MP=PD=DQ=QM・•・四边形PDQM是菱形91所以存在满足条件的点M,且BM=BC—MC=5—-=-2、解：①由题意得y与x之间的函数关系式y=x+30（1WxW160,且x为整数）②由题意得P与X之间的函数关系式P=(x+30)(1000—3x)=-3x2+910x+30000③由题意.二(-3x2+910x+300000)-30*1000-310x得=-3(x-100)2+30000.•.当x=100时，攻最大=300007100天V160天・•・存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元3、解：(1)设y=kx,把(2,4)代入，得k=2.•y=2x.自变量x的取值范围是：0WxW30.(2)当0wxW5时，设y=a(x—5)2+25,把(0,0)代入，得25a+25=0,a=—1.二.y——(x—5)2+25——x2+10x.当5wxw15时，y—25—x2+10x(0WxW5)25(5wxw15)(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0wxw15)分钟，学习效益总量为Z,则他用于解题的时间为(30—x)分钟.当0wxw5时，Z——x2+10x+2(30—x)——x2+8x+60——(x—4)2+76.当x―4时，Z最大—76.当5wxw15时，Z―25+2(30—x)——2x+85.Z随x的增大而减小，工当x―5时，Z最大—75.综合所述，当x―4时，Z最大—76，此时30—x—26.即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大.4、解：⑴•・•抛物线与y轴交于点C(0,3),，设抛物线解析式为y―ax2+bx+3(a丰0)Ia—b+3—0, Ia——1,根据题意，得ba+3b+3-0「解得jb-2.根据题意，，抛物线的解析式为y——x2+2x+3⑵存在。由y——x2+2x+3得，D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。①若以CD为底边，则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理，得x2+(3—y)2—(x—1)2+(4—y)2，即y=4—x。又P点(x,y)在抛物线上，4—x——x2+2x+3，即x2—3x+1—03±访 3--<5। 3+<5解得％=---,---<1，应舍去。，x=一-一。“ 5-55 一(3+君5-后)y=4-x=--一，即点P坐标为一--,---。2 I2 2J②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)。(3+岳5-55)・•・符合条件的点P坐标为—2—,-2-或(2,3)。I2 2)⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理，得CB=3<2,CD=.、於,BD=2<5,CB2+CD2=BD2=20,AZBCD=90°,设对称轴交x轴于点E,过C作CM,DE,交抛物线于点M,垂足为F,在RtADCF中，•.•CF=DF=1,.•・ZCDF=45°,由抛物线对称性可知，ZCDM=2X45°=90°,点坐标M为(2,3),.•・DM〃BC,A四边形BCDM为直角梯形，由ZBCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为(2,3)。……5、解：(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx,•「A(2,4),a2k=4,:.k=2,AOA所在直线的函数解析式为y=2x.(2)①「•顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动,Ay=2m(0<mW2).A顶点M的坐标为(m,2m).A抛物线函数解析式为y=(xm)2+2m..,.当x=2时，y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(OWmW2).，点尸的坐标是(2,m2-2m+4).)②,/PB=m2-2m+4=(m-1)2+3,又.•.当加=1时，PB最短.(3)当线段尸B最短时，此时抛物线的解析式为>=1—1)+2.假设在抛物线上存在点。，使S =S.设点Q的坐标为(％,x2-2x+3).・.・此时抛物线上不存在点。，使△QMA与△A尸/的面积相等.②当点Q落在直线OA的上方时,作点尸关于点A的对称称点。，过。作直线。£〃AO,交)轴于点£,-：AP=1, EO=DA=1, E,。的坐标分别是(0,1),(2,5),直线DE函数解析式为y=2x+1.•/S=S ，，点。落在直线y=2x+l上./.x2-2x+3=2x+1.解得：％=2+e，x=2-五.1 2代入y=2x+l,得y=5+2<12,y=5-2^2.1 2此时抛物线上存在点Q]Q+斥+2声)，e21-^,5-2旌)使^QMA与^PMA的面积相等.综上所述，抛物线上存在点Q1b+、田51+2厂)使^QMA与^PMA的面积相等.6答案>•>=Xs+1,；・点C的坐标为34>•>=Xs+1,；・点C的坐标为34》.・•・点A的坐标为（一叫1+偌扭）.点a在抛物线a上.A1+J3m=/+1,mi»=0(*^).mi=-/3.•・・AB〃工轴,CD 轴,C、B为抛物线CiC的顶点,BD.VAB点A的坐梆为［一点,4）仁）如图1。,过点C■作CE 于E.设施物缀yt=2F4-*ij+q=2G-舟>4■舟,；•照£的坐标为《也韭J，设.：任=用血TOC\o"1-5"\h\z:■•点.A的坐标令（即一阳 4分丫点4在轴物线刈=人工一瓦»4■岛上，■'♦蓟5mM以4—m—无产4■耳.解得m：=0《舍）*理？二虚, $分由门）同理可得,6=如=比=AB一 - 6分*：AB=2AT=宿.*'■CDN-/3!!RpCD的长为yy, ▼・・・■■•・・・・*・・・■……・-・r++n・F-» i y・4・~通 m+*?分由题意得，点丑的坐标为g+冬运+"又丁点B是鼬物发孰的顶点，植物线a植物线a经过点或m,缸》,就加藤筋：如图设融=虫/一比M一口=常匕-吊尸十*卜， 1t卜:.点C的坐相力（加，跄）. \rrTOC\o"1-5"\h\z试点C作CEL北于£，设北二用测CE=后!， \ -二点B随坐标为3+同国+存m久 "化 1丁点E在论物JtGJt*二比十盾E二由6：+精一瓦炉二丸. （*1m£4,Am™—.小，点B的坐标为（凡■!■先\屈十~…工.…—……丁点B为抛霭栽Q的琬心，*=5Gf—今严小近一名艳物箕。爱过点a片总），：*上\—z出一用一1^尸+鬲T~.«十口才=一叮1> +"・・・卓，+，・・・・r”r・・・rI.・・・・・・L...・,・1・. 卜卜.・一一中1一1—21hi+—〉*tCA］4--）3j-?-i|—. ….…1公的任■"■A*~?色（瓦X：F"* 2rss."-ThTp「.”・・・・・・・i・rWt；M—2&iC—热J 上二％=■现+2y3.TOC\o"1-5"\h\z+由=5/T即&i+叫的伍为弟、 “…■■7答案解小口丫直演丫一工一rt翼：y点月m〉T l分*・0・It1阻 2分Am=—1,即m的值比—L .分"■"毡物线;y=d-卜At-广签过意且（［iQ3B：3・£3 …与分：0工1H-fr-j-ft沌=3+器r '分解图］二2 『分二二次函数的解析式为于三三一江十工」 3分或工ML ■ 1。分8、答案:AB10,AD=6,ZADB=9Oo/.BD=CD=8.e.DD/—BD—BDi—8—xy=—（8-x）2（0x8）.4 YY..dBD/E-dCDF/.ED/=DFED「DF/FDD/=90。*/ 0四边形ED/DF是矩形EFDDD/若DF与0相切，则ED/=1D/D2ZED/B=ZAOB=9Oo,Z5=Z5y^BEDiqqBADED/BD/p1rlED/xTOC\o"1-5"\h\zADBD6 8F3/.ED/--X48-x■•—X- 2解得月竺因此，当工=竺时，EF与口0相切。（3）S=ED/J/D=;x（8—x）3 ,二一—+6x4r\二—4（x—4»+124.•.x=4时，满足0x8,S的值最大，最大值是12。YY9、解：（1）设抛物线的解析式为y=〃X2+Zzx+c,旦过点4—3,0），C（0,3）,E（l,0）,由（0,3）在y=qx2+/u:+ch.（2分）19a-3b+3-0得方程组I+b+c-0，解得a--1,b--2..•・抛物线的解析式为J=T2—2x+3(2)由J=—x2—2x+3=—(x+1)2+4得顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1.17⑶①连结EF，过点E作直线厂了的垂线，垂足为N，（4分）（6分）（8分）15在Rt△FHE中，HE-2，HF——，■ 17EF-hHE2+HF2——，4二.EF-EN，17・・・以E点为圆心，EF为半径的口E与直线尸了相切.（10分）17②连结DF过点D作直线厂了的垂线，垂足为M.过点D作DQ1GH垂足为Q，177则DM-QG———-441013 3 _ 3在Rt△FQD中，QD--，FD-QFF2+QD2-5.- 17・・・以D点为圆心DF为半径的口0与直线尸了相切.（12分）17③以抛物线上任意一点“圆心，以PF为半径的圆与直线J--相切.（14分）说明：解答题只提供了一种答案，如有其他解法只要正确，可参照本评分标准按步骤赋分10、（1）解法一：B（m，2），由题意可知AG-AB-<2，OG-OC-、；2，OA-m2分/OGA=90，/.OG2+AG2-OA20/.2+2=m2.又m>0，/.m-24分解法二：B（m，2），由题意可知AG-AB-、/2，OG=OC—・威，OA-m2分/OGA=90，/./GOA-ZGAO-45o 03分，m=OA=匕+=———=2 4 分cos/GOAcos45

0(2)解法一：过G作直线GH1%轴于H,则OH=1,HG=1,故G(11). 5分又由(1)知A(2,0),设过O,G,A三点的抛物线解析式为J=ax2+bx+c'•,抛物线过原点，，c=0 6分又•「抛物线过G,A两点，解得•二所求抛物线为J=—x2+2x 8分它的对称轴为x=1. 9分解法二：过G作直线GH±x轴于H,则OH=1,HG=1,故G(1,1). 5分又由(1)知A(2,0)，.二点A,O关于直线l对称，，点G为抛物线的顶点 6分于是可设过O,G,A三点的抛物线解析式为J=a(x—1)2+1「抛物线过点O(0,0),，0=a(0—1)2+1,解得a=—1・二所求抛物线为J=(—1)(x—1)2+1=—x2+2x 8分它的对称轴为x=1 9分(3)答：存在 10分满足条件的点P有(匕。),(1—D,(11—",'2),(11+\：'2).(每空1分)••••14分1400(x—5)—60011、解：(1)J=4一 一1(x—5)[400—40(x—10)]—6005<x<10x>101400x—2600即：J=〈 ，I—40x2+1000x—46005<x<10x>10⑵由题意得：400x-2600N800解得：x》8.5・.・每份售价最少不低于9元。(3)由题意得：j=—40x2+1000x—460025一=—40(x—y)2+1650.♦.当x=12或x=13(不合题意，舍去)时y=-40(12-25)2+16502=1640・••每份套餐的售价应定为12元时,日净收入为1640元。12、解：(1)Vy=x2+4x=(x+2)2—4TOC\o"1-5"\h\z.,.A(-2,-4) 2分(2)四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)1 2 4四边形ABOP为等腰梯形时，P(-，--)15 548四边形ABPO为直角梯形时，P(—三，二)3 1 556 12四边形ABOP为直角梯形时，P(<，—「) 6分4 15 5注：正确写出一个点的坐标，得1注：正确写出一个点的坐标，得1分。⑶|由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x „7分①当点P在第二象限时，x<0,1△POB的面积S =一义4义(—2x)=-4xNPOB21.△AOB的面积S =-x4义4=8,AAOB2'S=SAOB+SPOB=—4x+8(x<0) 8分V4+6-,2<S<6+822,S>4+6X2S<6+8<2—4x+824+6J2—4x+8V6+8yi2、2-3企x> 2s工匕姮21-4V12 2-3V2.-.x的取值范围是一L<X<一广-

乙 乙②当点P在第四象限是，x>0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A，、P，则四边形POA，A的面积S=S5-5 =勺主（％+2）-L（2x）.x=4x+4poa'a 梯形Paa app'o2 2VAAAZB的面积S=1x4x2=4AAA'B2：.S=S+S=4x+8(x>0) 10 分POA'AAAA'BV4+6V2<S<6+8j2,5>4+6^2SV6+80x>S<3vI-2~~24x/2-l-23V2-2 4J2・•.x的取值范围是 <x<13、解：（1）设y=&，由图12-①所示，函数y=&的图像过（1,2）,所以2二左」，k=211故利润y关于投资量%的函数关系式是y=2x；因为该抛物线的顶点是原点，所以设y=。x2,由图12-②所示，函数y=QX2的图像过（2,2 2c o 12),所以2=。,22,(2=—1故利润y关于投资量入的函数关系式是y二手工2；2 2（2）设这位专业户投入种植花卉％万元（。《入48）,则投入种植树木（8-九）万元，他获得的利润是Z万元，根据题意，得1 1 1Z=2（8—X）+—X2=—X2—2x+16=—（x—2）2+142 2 2当％=2时，Z的最小值是14；因为所以—2«x—2«6所以(x—2)2V361所以万(1—2)2V181，所以一(x—2)2+14<18+14=32，即Z<32，此时％=82当x=8时，z的最大值是32；14、解：(1)y=xw=x(10x+90)=10x2+90x,10x2+90x=700,解得x=5答：前5个月的利润和等于700万元10x2+90x=120x,解得，x=3答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等12(10X12+90)+12(10X12+90)=5040(万元)15、解：(1)4BPQ是等边三角形，当t=2时,AP=2X1=2,BQ=2X2=4，所以BP二AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP.又因为NB=60。,所以ABPO是等边三角形.⑵过Q作QEXAB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t•sin600=,；3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=1XBPXQE=—(6-t)X/；3t=———12+3v3t；⑶因为QR〃BA,所以/QRC=ZA=60。，/RQC=ZB=60。，又因为/C=60。,所以△QRC是等边三角形，所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ•cos600=1X2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP〃QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=13t,又因为NPEQ=900,所以NAPR=NPRQ=900.因为4APR〜△PRQ,所QR 6—21 6 6以NQPR=NA=60。,所以tan600= ,即 =-t：3,所以t二二，所以当t=-时，4APR〜^PROPR 3t 5 516、解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RSEBF中，NB=900,所以EF=<EB2+BF2=v12+22=<5.设点P的坐标为(0,n),其中n>0,因为顶点F(1,2)，所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(aW0).①如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5，解得\=0(舍去),n2=4，所以P(0,4)，所以4=a(0-1)2+2，解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2.5②如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=--(舍去).③当EF=EP时,EP=丫5<3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2.⑶存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小.如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/R,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/=•v'32+42=5.又因为EF=*丐，所以FN+MN+ME+EF=5+v；5，此时四边形MNFE的周长最小值为5+-<5长最小值为5+-<5.17、解：(1)画图如右图;由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y17、解：(1)画图如右图;由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b(厚0)•・•这个一次函数的图象经过(30,500)(40,400)这两点，600500400300200100y500:30k+bk=—10解得＜400=40k+b Ib=80010203040506070§0分.•函数关系式是：y=—10X+800(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是w元，依题意得W=(X—20)(—10X+800) 6分=—10X2+1000X-16000=—10(X—50)2+9000 7分.•.当X=50时，W有最大值9000.所以，当销售单价定为50元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元. 8分(3)对于函数W=—10(X—50)2+9000,当X<45时，W的值随着X值的增大而增大， 9分，销售单价定为45元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大. 10分2 ,一一，18、解：(1)解法一：.・抛物线y=—3X2+bX+c经过点A(0,—4),1分

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 ,又由题意可知，X、X是方程一彳X2+bx+。=0的两个根，1 2 33, 3/.x+x=—b, xx= c=6 2分1 22 1 2 2由已知得（X-x）2=252 12-4xx12又（x-x）2=（x2-4xx122 1 2 19八=-b2-2449人■-b2-24=254,14解得b=±3 14当b=—时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去.:.b=——. 4分32解法一二：.x、x是方程一7x2+bx+c=0的两个根，12 3即方程2x2—3bx+12=0的两个根..•・x=.•・x=3b土J9b2—96

4 2分；9b2—96,x—x= =5,2 1 23分14解得b3分(以下与解法一相同.)(2)，・•四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分TOC\o"1-5"\h\z2 14 2 7 25又,:y=——x2——x—4=——（x+—）2+-- 6分3 3 3 2 67 25,抛物线的顶点（一大，.）即为所求的点D. 7分26(3)..•四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为(一6,0),根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与2 14抛物线y=—3x2—-x-4的交点， 8分2 14.,当x=—3时，y=—3x（—3）2—3x（—3）—4=4,..在抛物线上存在一点P(—3,4),使得四边形BPOH为菱形. 9分四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是(一3,3),但这一点不在抛物线上.19、证明：(1)因为ABCD是正方形，所以ZDAE=ZFBE=90,所以/ADE+ZDEA=90,又EFIDE，所以/4ED+ZFEB=90,所以Z4D£=ZFEB, 所以AADEsABEF. (2)解：由(1)AADEsABEF,AD=4,BE=4-X，得3分4分，得1，一1「，八1， Ty=(-X2+4x)=[-(x-2)2+4]=一(x-2)2+1, 44 4所以当X=2时，y有最大值， y的最大值为1.20、解：(1);DC//AB,AD=DC=CB,，ZCDB=ZCBD=ZDBA,ZDAB=ZCBA,，ZDAB=2ZDBA, 1分0.5分ZDAB+ZDBA=90。， •=ZDAB=60。，1.5分ZDBA=30。，;AB=4, 「.DC=AD=2,2分RtAAOD,OA=1,OD=v'3,2.5分・•・A(-1,0),D(0, <3),C(2,(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A(-1,0),B(3,0),故可设所求为 y=a(X+1)(X-3)6分将点D(0,-；3)的坐标代入上式得，所求抛物线的解析式为 y=-看(X+1)(X-3).7分其对称轴L为直线X=1. (3)APDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点PjP1D=P1B,AP1DB为等腰三角形； ②因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2,DB=DP3,为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5,使得BD=BP4,BD=BP5. 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使APDB为等腰三角形的点P有5个.9分AP2DB，AP3DB10分21.解：(1)令y=0,得x2-1=0解得x=±1令x=0,得y=-1..・A(-1,0) B(1,0) C(0,-1) .•••(2分)(2)VOA=OB=OC=1 ：./BAC=/ACO=/BCO=450•・•AP〃CB, .•・/PAB=450过点P作PE1x轴于E，则AAPE为等腰直角三角形令OE=〃，则UPE=a+1,\P(a,a+1)•・•点P在抛物线)=x2-1上a+1=a2-1解得V2,a2=-1（不合题意,舍去）4分）；・PE=3 4分）1，四边形ACBP的面积S=-AB・OC+-AB・PE-1cc,6分）=-义2x1+—x2义3=6分）2(3).假设存在•・•/PAB=/BAC=45 PA1AC•「MG1x轴于点G,.•・/MGA=/PAC=90第28第28题图2在RtAAOC中，OA=OC=1 ，AC=v'2TOC\o"1-5"\h\z在RtAPAE中，AE=PE=3 ，AP=342 7 分)设M点的横坐标为m，则M（m,m2-1）①点M在y轴左侧时，则m<-1A A AGMG(i)当AAMGsAPCA时，有 =--PACA「AG=-m-1,MG=m2-1一m-1m2-1即 =—3<2 V22，人，、解得m=-1(舍去)m2=£(舍去)

1 23AGMG(ii)当AMAGsAPCA时有R=-CAPA-m-1m2-1即==ITT解得：m=-1(舍去)m=-22（10分）②点M在y轴右侧时，则m>1(i)当AAMGsApCA时有AGMGPACAAG=m+1,MG=m2—1解得周二一1（舍去）・•・M（4,7）(ii)当AMAGsApCA时有AGMGCAPAm+1m2—1即—— 。2 312解得：飞一1（舍去）.•.M(4,15)，存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与APCA相似M点的坐标为（—2,3）,（3,9），说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分(4,15)（13分）22、解：(1)VMN〃BC,：./AMN=ZB,.•・△AMNsAMAN— ,ACAB△ABC.xAN即一二一4 3AAMN 24（2）如图2,设直线BC与。O相切于点D,在母△ABC中，BC=ABB2+AC2=5.由(1)知△AMNsAMMN — ,ABBC54x，x即厂△ABC.

MN连结AO,OD，则AO=OD=-MN.过M点作MQ±BC于。，则MQ=OD=5x.8在RtABMQ与RtABCA中，/B是公共角，，△BMQs\BCA..BMQM•• = .BCAC555，x25 25,BM=-8—=25x,AB=BM+MA=--x+x=4.3 24 24._96■•x———.4996,当x——96时，。O与直线BC相切.49(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AH则O点为AP的中点.•・•MN〃BC,•ZAMN=ZB，/AOM——NAPC.,△AMOs△ABP.AMAO1AM——MB——2.ABAP2P图3故以下分两种情况讨论:3①当。<x<2时，y=Sk3x2.,当x——2时，3c3y——x22——最大8 2②当2Vx<4时，设PM,PN分别交BC于E,F.•・•四边形AMPN是矩形，,PN〃AM,PN——AM——x.又：MN〃BC,,四边形MBFN是平行四边形.,FN——BM——4—x.,PF=x一(4一x)=2x一4.又^PEFs△ACB.图4(PF¥S, ―aPEF.IAB)Saabc,S =3(x-2).aPEF2y=Samnp-S———x2__(x-2)2apef 8 29一一x28当2Vx<4时，满足2<x<4,y最大=2.8综上所述，当x=3时，y值最大，最大值是2.23、解：(1)4V3,4；3,等腰； 2分(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分，写对6-8对得2分，写对9对得3分)①△DCE、^ABE与AACD或^BDC两两相似，分别是：△DCEs4ABE,4DCEs4ACD,4DCEs^BDC,△ABE^AACD,AABE^ABDC；(有5对)②△ABDs^EAD,^ABDs^EBC；(有2对)③△BACs^EAD,^BACs^EBC；(有2对)所以，一共有9对相似三角形. 5分(3)由题意知，FP〃AE,.•・N1=NPFB,过点P作PKXFB于点过点P作PKXFB于点K,贝FK=BK=6分・•AF=t,AB=8,…1。、.•・FB=8—t,BK=-(8-1).21在Rt△BPK中，PK=BK-tanZ2=1(8-1)tan30o=亘(8-1).TOC\o"1-5"\h\z2 6•.△FBP的面积S=1-FB•PK=1-(8-1)・上3(8-1),2 2 6•・S与t之间的函数关系式为:c<3zc、、c V3 4 16-S=~TT-(t—8)2，或S=-t2--t+—%'3. 8分JL乙 JL乙 J Jt的取值范围为：0<t<8 24、解：(1)，・,点B(-2,根)在直线y=-2/-1上，，m=-2X(-2)-1=3. .•・B(-2,3)•・•抛物线经过原点O和点A,对称轴为1=2,・••点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(i-0)(1-4). •…，将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4),.，.a=149分(2分)(3分)(6分)・•・所求的抛物线对应的函数关系式为y=41(i-(6分)(2)①直线y=-21-1与y轴、直线i=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).过点B作BG〃i轴，与y轴交于F、直线i=2交于G,则BG，直线i=2,BG=4.在Rt△BGC中，BC=、、CG2+BG2=5.•・•CE=5,

.•・CB=CE=5. (9分)②过点E作EH〃1轴，交y轴于H,则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),.•・FD=DH=4,BF=EH=2,ZBFD=ZEHD=90°..•・△DFB^ADHE(SAS),.•・BD=DE.即D是BE的中点. (11分)(3)存在. (12分)(3)由于PB=PE，：・点P在直线CD上，・•・符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=ki+b.将D(0,-1)。(2,0)代入，得［b=-1 .解得k=Lb=-1.2k+b=0 2・.・直线CD对应的函数关系式为y=21-1.•・.动点P的坐标为(•・.动点P的坐标为(1,112-1),4• 1V1—1c.•—1-1二一12—1.2 4解得1=3+\1；5,1=3—\'15.・•・符合条件的点P的坐标为(3+」5,(13分)y1=1,)或(3—3丁…(14分)(注：用其它方法求解参照以上标准给分.) 1分25、解：(1)根据题目条件，AB,C的坐标分别是(—10,0), 1分TOC\o"1-5"\h\z设抛物线的解析式为y=a2+c, 2分一 16=c,将B,C的坐标代入y=ax2+c，得< 3分0=100a+c〜口 3 / 八解得a=-50,c=6. 4分3所以抛物线的表达式是y=-5012+6. 5分(2)可设F(5,yF)，于是3y=——x52+6=4.5 6分f50从而支柱MN的长度是10—4.5=5.5米. 7分(3)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7,0). 8分过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则y=—3-x72+6仁3.06>3. 9分H50根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车. 10分26、解：(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，・•・在Rt△ABE中，AE=AO=5,AB=4.

BE=AEE2—AB2=55——42=3*/.CE=2*E点坐标为(2,4).在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2, 又DE=0D*••.•.(4—0D)2+22=0D2*解得：CD=-*^2.C5・二D点坐标为O,,I2(2)如图①PM〃ED,:.△APMs^AED.TOC\o"1-5"\h\zPMAP- - __5 ―