微积分下册知识点

微积分〔下〕学问点微积分〔下〕学问点第第117页微积分下册学问点第一章空间解析几何与向量代数第一章〔一〕1234a(a

,a,ay z

)，b(b,bx y

,b)，z则abax

b,a

b,a

b),a(az

,ay

,a)；z5x2x2y2z2向量的模：r ；(x x)2(x x)2(y y)2(z2121z)22 1方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,方向余弦：

cos

y,coszrrrcos2cos2cos2rrrPr 投影：

jaacosu

，其中为向量a与u的夹角。〔二〕 1、数量积：ab a b cosa2 a21〕aa 2〕ab ab0第第217页 ababx x

a b

ab

微积分〔下〕学问点 2cab 大小：a b sin ，方向：a,b,c符合右手规章 1〕aa0 2〕a//b ab0 i j kab axbx

ay zby z

运算律：反交换律baab〔三〕S

:f(x,y,z)02x2z2yoz C:fyz)x2z2绕y

f(y,

)0x2y2zx2y2

,z)03F(x,y)0

表示母线平行于z

F(x,y)0轴，准线为z0 的柱面4〔不考〕微积分〔下〕学问点微积分〔下〕学问点317页a2b2xa2b2椭圆锥面：

z2a2b2a2b2椭球面：

y2 z2 1a2a2ca2a2c2旋转椭球面：

y2 z2 1c2a2c2a2单叶双曲面：a2xa2双叶双曲面：

y2 z2 1b2c2b2c2y2 b2c2b2c2a2b2a2b2椭圆抛物面：

y2 za2b2x2 ya2b2双曲抛物面〔马鞍面：a2b2a2b2椭圆柱面：

y2 1a2b2x2 ya2b2双曲柱面：抛物柱面：x2

ay〔四〕F(x,y,z)01G(x,y,z)0x x(t) xacos t 2、参数方程：

y

，如螺旋线：yasin t z z(t) zbt3F(x,y,z)0

H(x,y)0 ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影G(x,y,z)0

z0〔五〕1Axx0

)B(yy0

)C(zz0

)0n

AB,C)x,y,z)0 0 02AxByCzD0axa截距式方程：

yz1bc bc3nAB,Cn1 1 1 1

(A,B,C)，2 2 2AAAABBCC1 21 21 2A2B2C2111A2B2C2222

BBCC 01 2// 1 2

1 2 1 2 1 2A B C1 1 1A B C2 2 24P0

(x,y,z0 0

AxByCzD0的距离：AxAxBy00Cz0DA2B2C2〔六〕微积分〔下〕学问点微积分〔下〕学问点第第517页AxByCzD 01、一般式方程： 1 1 1 1A2

xB2

yC2

zD 022〔点向式〕方程：

xx0

yy0

zz0m n ps

(m,n,p)

，过点

(x,y,z)0 0 0xx0

mt3yy0ntzz0

pt 4s1

(m1

,n,p1

)，s2

(m,n,p)，2 2 2mmmmnnpp1 21 21 2m2n2p2 m2n2p2111222LL1

mm1 2

nn1

pp 01 2L//L1 2

m n p1 1 1m n p2 2 25AmBnAmBnCpA2B2C2m2n2p2L// AmBnCp0L

ABCm n p其次章多元函数微分法及其应用其次章〔一〕1域，有界集，无界集。2zf(x,y，图形：34

lim(x,y)(x,y)0 0lim(x,y)(x,y)

f(x,y)Af(x,y)f(x,y)0 00 05f(x,yx 0

)lim0x000x000

f(xx,y

)f(x,y)f(x,yy 0

)limy0

f(x,y0

y)f(x0y0

,y)06f f fl

xcos

ycos 其中,为

l 的方向角。 7zf(x,y)gradf(x,y0 0

)fx

(x,y0

)ify

(x,y0

j。zf(x,y)

dz

zdy8〔二〕

，则 x y1偏导数连续11偏导数连续

2

偏导数存在4定义 23函数连续2〔有界性定理，最大最小值定理，介值定理〕3定义： u xz复合函数求导：链式法则假设zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则 v yzzuzv

zuzvx u x v

，y u y v y隐函数求导：两边求偏导，然后解方程〔组〕〔三〕1zf(x,y的极值解方程组

fx0f y

求出全部驻点，对于每一个驻点(x,y)，令0 0Af (x,y)，Bf (x,y)，Cf (x,y)，xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0ACB2ACB2ACB2ACB2

0A0，函数有微小值，0A0，函数有极大值；0，函数没有极值；0，不定。zf(x,y在条件(x,y)0下的极值令：L(x,y)f(x,y) (x,y) ———Lagrange函数xL0x解方程组L 0 y(x,y)02曲线的切线与法平面xx(t)曲线:

yy(t)zz(t)

，则M(x0

,y,z0

〔对应参数为t0

〕处的xx0

yy0 zz0x(t)

y(t) z(t)0 0 00x(t)(x0曲面的切平面与法线

x)y(t)(yy)z(t)(zz)00 0 0 0 0:Fx,y,z)0，则M(xyz处的切平面方程为：0 0 0F(x,y,zx 0 0

)(xx0

)Fy

(x,y,z0 0

)(yy0

)Fz

(x,y,z0 0

)(zz0

)0xx,F(xy0,

yy0z) F(x,y,

zz 0z) F(x,y,z)x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0第三章重积分第三章〔一〕〔一般换元法不考〕1

f(x,y)dlim0D

n

f(,k

)k2、〔6条〕34直角坐标 (x)y(x)D(x,y)

2axb ，f(x,y)ddy

dx

22

f(x,y)dya (x)D 1 (y)x(y)D(x,y)

2cyd ，f(x,y)ddyddy2(y)

f(x,y)dxD极坐标

c (y)1 2D(,) 2

f(x,y)ddy

d2

f(cos,sin)dD〔二〕

()1123

f(x,y,z)dvlim0

n

f(,,k k

)vk直角坐标f(x,y,z)dvdxdyz2(x,y)

f(x,y,z)dz

“先一后二” D z1

(x,y)

-------------f(x,y,z)dvbdz

f(x,y,z)dxdy

“先二后一”柱面坐标

a DZ

-------------微积分〔下〕学问点微积分〔下〕学问点第第1017页xcosysin

f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz zz球面坐标xrsincosyrsinsin zrcos

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd〔三〕1(z)2(z)2x1(z)2(z)2xyAD

dxdy第五章曲线积分与曲面积分第五章〔一〕12

f(x,y)dslimnL 0i1

f(,i

)si[f(x,y)(x,y)]dsL

f(x,y)dsg(x,y)ds.L2〕

f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds. (LL

L).L L L 1 21 2L上，假设

f(xyg(x,y)，则L

f(x,y)dsL

g(x,y)ds. dsl(l为曲线弧L的长度)L3

xt),

)tt设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为yt), ，其中(t),(t在[上具有一阶连续导数，且2(t2(t)0，则f(x,y)dsL

f[(t),(t)] 2(t)2(t)dt , ()〔二〕1、定义设L为xoy 面内从A到B的一条有向光滑弧函数P(x,y)

，Q(x,y)在LL

P(x,y)dxlimn0

P(k

,)xk k，Q(x,y)dylim

Q(

k1,)y .L 0

k k k向量形式：2

FdrP(x,y)dxQ(x,y)dyL LLL的反向弧,则3

F(x,y)drL

F(x,y)drP(xy),Q(xyL上有定义且连续,L的参数方程为 xt), y t2(t2(t)0，则

(t

]上具有一阶连续导数，且P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL 4x(t) 设平面有向曲线弧为 L y

(t)

L (x,y)处的切向量的方向角为：,

，cos

(t)

，cos

(t)2(t)2(t)则PdxQdy(PcosQcos)ds.L L〔三〕1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线LP(xy),Q(x,y在D

QPdxdy x y

PdxQdy D L2、G 为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则Q P

曲线积分PdxQdy在G 内与路径无关L曲线积分 PdxQdy0L P(x,y)dxQ(x,y)dy在G 内为某一个函数u(x,y)的全微分〔四〕1设f(xyz是定义在上的一个有界函数，

f(x,y,z)dSlimn0i1

f(,i

,)Si i2zz(xy(xyD ，则xy2(t)2(t)f(x2(t)2(t) Dxy

f[x,y,z(x,y)] 1zx

2(x,y)zy

2(x,y)dxdy微积分〔下〕学问点微积分〔下〕学问点第第1317页〔五〕12设P(xyz),Q(x,yzR(xyz是定义在上的有界函数，定义

R(x,y,z)dylimn0i1

R(i

,,i

)(S)i i xyP(x,y,z)dzlim

P(

,,

)(S)同理，

0

i1

i i i

i yzQ(x,y,z)dxlimn 0i1

R(i

,,i

)(S)i i zx31〕，则1 2PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy

PdydzQdzdxRdxdy 1 2RdxdyRdxdy2〕

表示与取相反侧的有向曲面,则 4:zz(x,y)，(x,y)Dxy

zz(xyDxy

R(x,y,z)在

R(x,y,z)dxdyDxy

[x,y,z(x,y)]y,为上侧取“+为下侧取“-”.5PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS 其中,,为有向曲面在点(xyz处的法向量的方向角。〔六〕1、高斯公式：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数P,Q,R在 上有连续的一阶偏导数,则有

PQRdxdydz x y z

PdydzQdzdxRdxdy 或或

Px

Qy

Rz

dxdydzPcosQcosRcosdS 〔七〕1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界的侧与的正向符合右手法则,P(x,yz),Q(x,yzR(x,yz在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有RyRy

dydz

dzdx

PdxQdyRdzQzPzRxQQzPzRxQxPy 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:dydzdzdxdxdyxyzPQdydzdzdxdxdyxyzPQR1、微分方程的根本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.假设微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不行合并而使个数削减的)任意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分别变量的微分方程：gydyf(xdxdyh(x)gy)dx对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分别方程的通解：g(y)dyf(x)dx

y(y)x

或者x(x)y在齐次方程yy)中，令uy,可将其化为可分别方程y x x令u ，则yxu,

dyxdu

u,x dx dx代入微分方程即可。(1)形如yf(axbyc)的方程.令uaxby(1)形如yf(axbyc)的方程.

uaf(u).(2)形如y

f(

axb1 axb

yc b1)的方程.yc2项。3型如yp(x)yq(x) 称为一阶线性微分方程。其对应的齐次线性微分方程的解为

yCepx)dx。利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解yepx)dxq(x)epx)dxdxC)。4、伯努利方程：yp(x)yq(x)yn (n0,1)将方程两端同除以yn,得ynyp(x)y1nq(x) (n0,1) du dy dy 1 d令u y，则 1 n)yn ，y 于是U的通解dx dx dx 1n dxue(1n)p(x)dx((1n)q(x)e(1n)p(x)dx

C)。57、可降阶的高阶常微分方程y(y(n)f(x)型的微分方程6.4.2 y6.4.2 yn)fx,yn1)型的微分方程6.4.3 y6.4.3 yfy,y)型的微分方程8、线性微分方程解的构造函数组的线性无关和线性相关线性微分方程的性质和解的构造叠加原理：二个齐次的特解的