2公务员行政能力知识

2第三章;判断推理---图形推理。是建立在分析图形构成、合理提取图形所储存信息的基础上的综合性思维过程，它有助于开阔个人思维，是形象推理的重要形式。图形是由点、线、面构成的一种符号，是一种信息储存和信息交流的工具。图形推理需要培养观察、辨别、推理、想象等四个方面的能力；掌握特征分析、求同分析、对比分析、位臵分析、综合分析等五大分析方法；熟练运用图形中的几何特征、数量关系、相对位臵、旋转、移动和翻转、组合与叠加，空间形式（空间想象）等六大规律；还有相互转化、综合思维等分析技巧。题型有：古典型、视觉型、九宫格型、空间型等。趋势：视觉型、空间型逐渐加大成立体题型。使用规律范围广：数量和位臵关系、几何特征、图形间转化。图形推理中的考虑元素：特征、对称轴、笔划、直线、封闭区域、一笔构成图形、相交成影、直线切图为三角形、曲线（含圆）、三视图、一笔画（奇偶顶点）、直线图形、曲线图形、轴对称图形、中心对称图形、凹图形、凸图形（三、四边形）、角、交点、小五角形、黑点、圆圈、正面图、俯面图、左视图、图形的旋转、移动和翻转；图形的组合和叠加、去异存同、去同存异；线条组合、片块组合、平面与立体图、立体与三视图关系；图形的接触与离开、对称与非对称及开放性。图形的平面展开—-折纸盒，平面图形的空间还原---折纸盒。图形重组、图形类比、图形对应复合、意旨图形。五种分析法：特征分析，即从典型特殊元素出发，寻找规律；求同分析，即在图形的特征属性、构成元素求同（如九宫图）；对比分析，即寻找细微差异，转换方式；位臵分析，一是图形中的不同小图形间的相对位臵变化；同一图形的旋转、移动和翻转变化；综合分析，即元素与位臵、个体图形与题干图形、题干图形与选项图形的分析与结合。注意，求同分析是由整体到个体，每行、每列、整体求同；对比分析是由个体到整体，发现不同点，选择显著点，分析差异点，结合选项点。凡是偶点组成的连通图形定可一笔画成，凡只有两个奇点亦可，其他情况则画不成。几何特征：一笔画（顶点、顶点有奇顶点、偶顶点）、直线图形与曲线图形、图形对称和中心对称、凹凸图、重心。数量关系：笔画线条数、封闭区域数、图形部分数；图形种类、特殊元素、数量转化、相对位臵、接触与分离、相对位臵变化、其他位臵变化、旋转和移动及翻转、组合与叠加、去同存异、去异存同、空间形式推理、平面图形与立体图形的对应关系、立体图形与其三视图的对应关系。第二章数量关系—数学第三节数学运算基础知识。数的整数除鉴定：2、如某数个位数能被2整除则此数能被2整除，如422能被2整除；4、如某数末两位数能被4整除则此数能被4整除，如348能被4整除；8、如某数末三位数能被8整除则此数能被8整除，如2544能被8整除；3、如某数的各位数的和能被3整除则此数能被3整除，如156能被3整除；9、如某数的各位数的和能被9整除则此数能被9整除，如657能被9整除；5、如某数的个位数的和能被5整除则此数能被5整除，如430能被5整除；25、如某数的末位数的和能被25整除则此数能被25整除，如4375能被25整除11、如某数奇数位臵上的各位数的和与偶数位臵上的数字和之差能被11整除，则此数能被11整除，如9658中（9+5）-（6+8）=0,则此数字能被11整除；7、如某数的末三位数与的前和面部份数和字之差能被7整除，则此数能7被整除，如4375能被7整除。13、如某数末三位的和与面部份字和之能被13整除，妣数能被3整除，如274中1274-士273273/13=21，所以该数字能被13整除。数的整除性质：1、如数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b能被c整除；2、 如数a能被c整除，m为任意整数则a*m也能被c整除；贝U+b、a-b能被c整除；3、 如数a能被b整除，数a能被c整除，且b与c素质，则数a能被b、c整除；完全平方数有：0(0)1(1)2(4)3(9)4(16)5(25)6(36)7(49)8(64)9(81)10(100)11(121)12(144)13(169)14(196)15(225)16(256)17(289)18(324)19(361)20(400).数的约数和倍数。整数a和b,如a能被b整除，则称a是b的倍数，或说b是a的约数；整数a、b、c,如c是a的约数，c又是b的约数，则称c是a和b的公约数。整数a、b、c，c是a的倍数，c又是b的倍数，则称c是a和b的公倍数。用辗转相除法求大数之间的最大公约数。如414与378，求解过程为414/378=1……36，378/36=10……18，36/18=2，无余数，则说明18为414和378的最大公约数。同余问题。整数a、b、c，被除数a/整数b==商c……余数d、(非零自然数)。有0<d<b;整数a、b、m，若a、b除以m所得余数相等，则称a、b对于m同余，如23、18除以5余数都是3,则称23、18对于5同余；如151和15除以7求同余：和同余为51-7=21••….4,15-7=2……1，151+15=166，166-7=23……5(1+4=5)差同余为151-7=21……4，15-7=2……1，151-15=136，136-7=19-..3(4-1=3)积同余为51-7=21……4，15-7=2……1，151*15=2265，2265-7=323……4(4*1=4)。剩余问题(中国剩余定理)：“今有物不知数，三三数之剩二(即一个数除以3余2)，五五数之余三，七七数之余二，问物几何(问这个数是多少)？”解①：先求三个数，第一个数能同时被3和5整除，但除以7余2,即(3*5)*2=30，第二个数同时能被3和7整除，但除5余3,即(3*7)*3=63，第三个数同时能被和7整除，但除3余2,即(5*7)*4=140。②：求这三个之和30+63+140=233③最后用233减去3、5、7之和的最小公倍数的若干倍233--(3*5*7)*2=23，即这个数就是23。自然数N次方尾数变化情况：0的n次方尾数为0；1为1；2为2,4,8,6；3为3,9,7,1；4为4，6；5为5；6为6；7为7，9，3，1；8为8，4，2，6；9这9，1。尾数法：适用加、减、乘、幂运算收情况，通过计算尾数找答案。弃九法：如11338*25593的什为()A、290133434；B、290173434；C、290163434；D、290153434。解：①先求题干各数的弃九数，1+1+3+3+8=16,1+6=7，本数弃九数为7。2+5+5+9+3=24,2+4=6,本数弃九数为6。②求题材干革命的弃九数，7*6=42,4+2=6；③求选项的弃九数，E项2+9+0+1+7+3+4+3+4=33,3+3=6;故选E。提取公因式法：如已知：X=7/3,Y9=/5,求(2XY)3.+(5丈2.-乂(2乂2.-Y+XY=(2X-A3+)(5X(+Y1)2X-Y)=(2«X=-90)(匆/32*7/3-9/3)=2107/15.相向而行相遇公式：相距路程-(甲、乙速度之和)=所需时间，水速=(顺水速度-逆水速度)-2商场自动扶递的匀速=实际人速—人自己上梯速(类似流水问题)进货提价时当期进货价=上期进货*价(1+提价率)；进货降价时当期进货=价上期进货*价(1-降价率)利润率=(销价进价)/销价*100%利润率提高了X个百分点时：本期利润率=上期利润率X%常用的不轼原理当0<a<b时，则a<2ab/(a+b)<vab<(a+b)/2<^(aA+bA2)/2<b(vk-vb)a2.》0f(a+b)-2vab》0fa+b》2"abf(a+b)/2>vkb^ab<(a+b/2)a2.(当且仅当a=b时等号成立鸡兔同笼原理设鸡求兔公式：①兔数=(总足数-2*鸡兔总数)-2;鸡数=总数-兔数②先计算鸡足，鸡足=鸡兔总数总足量鸡足=兔足，兔足(4-2)=兔数，鸡数=总-兔数类似鸡兔同笼原理：100千克水52个瓶，大瓶装5千克，小瓶装1千克，全用小瓶装52*1=52千克，还剩下水100-52=48千克，再需大瓶装48/(5-1)=12个，所以小瓶数量52-12=40个。表面积与体积关系：表面积相同，则越接近球体空间的几何体的体积越大如。正20面体>正12面体导数原理：(XAn)z=nXA(n-1),CZ=0(c为常数)，y=-1/3xA3+xA2+11/3,yz=-(3*1/3)xA2+2x=-xA2+2x,令yz=0,得Xx=0或X2=2,^yx=11/3,y2=5。(x"3.的系数为负时则有最大值，x"3.的系数为正时则有最小值。)解不定方程。它是指未知数的个数多于方程个数的不定方程,或者计算程度很难的方程。其求解方法有利用奇偶性、质合性、整除特性、尾数法等技巧。利用数的奇偶性解题。奇数是不能被2整除的整数,偶数是能被2整除的的整数。其原理有：奇+奇=偶,+偶=偶,+奇偶=奇,*奇偶=偶,偶*偶=偶,*奇=奇,法此要结合其方他法一起解,题利用数的质合性解题。质数指只可以被1和自身整除,不能被其他自然数整除。合数指除可被1和自身整除外,还能被其他自然数整除。1既不是质数,也不是合数。2是唯一的一个偶质数。20以内的质数有：2,3,5,7,11,13,15,17,19。利用数的整除特性解不定方程。如：5X-2Y=56(且X+Y<20),-5X=2Y+56-2Y+56为5的倍数，又因为2Y+56为偶数，-2Y+56的尾数为0(即整除5)，椐求Y选项A、2;B、3;C、5;D、7。贝黑可去B、C选项，因y=3或5则2y+56的尾数不为0；取2、7时，若选D当y=7,解得X=14,5*14=2*7+56，则X+Y>20，与题意不符舍去；若选A当Y=2时—得X=12,5*12-2*2=56.且符合题意X+Y<20。故选A、2。利用尾数法等技法解不定方程。如37X+20Y=271，当x为1，2， 3，4时求x的具体值。因为原式中20Y尾数不可为1,则37X尾数为1,结合题意要求取X=3时，则有37X=111,-20Y=271-37X=271-111=160, -Y=8，故选X=3正确。第二章四节数学运算传统题型。基本公式：基本运算规律、何几相关公式容、斥公式、屉抽原理等。基本运算规律：加法交换律a+b=b+a,加法结合律(a+b)+c=a+(b+c),乘法交换律a*b=b*a,乘法结合律(a*b)*c=a*(b*c),乘法分配律(a+b)*c=a*c+b*c,幂次交换律aAm*aAn=aAn*aAm=a"(m+n),幂次结合律(a"m)"n=(a“n)"m=a"(m*n),幂次分配律(a*b)Am=aAm*bAm,(a/b)An=aAn/bAn,。运算公式：完全平方(a±b)A2=aA2±2ab+bA2,平方差&人27人2=(a+b)(a-b),完全立方(a±b)A3=a“3±3&人2匕+3&匕人2±匕人3,立方和差a“3±b“3=(a土0@八2-+&匕+匕八2),阶乘n!=1*2*3* *n=n*(n-1)* *2*1,0!=1,自然数和1+2+ +n=1/2*n*(n+1),奇数和1+3+5....+(2n-1)=/2,偶数和2+4+6+....+2n=n*(n+1),数列求和。有等差数列和等比数列。等差数列：通项公式an=a1+(n-1)d,递推公式an=am+(n-m)d(n>m),求和公式sn=n*(a1+an)/2=na1+1/2n(n-1)d。对称公式am+an=ai+aj,其中m+n=i+j,等差中项(若a、b、c成等差数列)，则a+c=2b-b=(a+c)/2),中项求和公式：(当n为奇数时)等差中项a(n+1)/2=sn/n,即sn=n*a(n+1)/2(当n为偶数时)等差中项a(n/2)+a[n/2)+1]=2sn/n,即sn=n/2*{a(n/2)+a[(n/2)+1]}等比数列。通项公式an=a1*qA(n-1),递推公式an=am*qA(n-m),求和公式：当q工1时sn=a1*(1-qAn)/1-q,当q=1时；sn=na1(常数列)，对称公式an*am=ai*aj,其中m+n=i+j,平方数列求和公式S=1A2+2A2+3A2+..+nA2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)立方数列求和公式S=1A3+2A3+3A3+..+nA3AA=(1+2+3+..+n)A2=[1/2*n*(n+1)]A2裂项公式d/n*(n+)=1/nT/h+d》1/n*(n+d=1/d*[1/nT/(n+d特殊公式/n*(n+1)=(1/nH1/n+1几何公式：n边形内角和为n-2)*180S^ABC=L/2ah馆l/2*bsin€l/2*csinAh为边长上的高。正方形C=4a,S=aA2;长方形C=2(a+b),s=ab;圆形C=2nR=nd,S=nRA2=1/4ndA2;梯形S=1/2(a+b)；平行四边形S=ah;菱形S=ab/2(a、b为两条对角线扇形s=n/360幻R“2,长方体s=2(ab+bc+ac),V=abc;正方体S=6&人2」=&人3;球体S=4肛RA2,V=4/3*肛R"3;圆柱体S=2nRA2+2nRh,V=sh=nRA2h;圆锥体V=1/3*sh=1/3*nRA2ho,图形极限理论：平面图形，周长一定，越趋近于圆，面积越大;面积一定，越趋近于圆，周长越小。立体图形，表面积一定，越趋近于球，体积越大;体积一定，越趋近于球，表面积越小。三角形常见考点：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，较小的角对应边也较小。容斥原理：1、内容：两个集合的容斥公式，AUB=A+B-APB，三个集合的容斥公式：AUBUC=a+b+c-anB-AnC-Bnc+anBnC;2、解题方法：公式法、图示法(即画图法)；3、解题步骤：明确问题涉及的几类事件，并且集合准确表示，利用上述两种方法。抽屉原理的含义：如每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可代表一个元素。假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。它常用于数字运算中题干要求“至少和保证…”的题目求解。考试常用的“最差原理”。抽屉原理：1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于两件；2:将多于m+n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的件数不少于1+1)件。数字相关应用中的平均数有：和差倍比、溶液浓度、日期、年龄、方阵、鸡兔同笼等类型。平均数基本公式：算术平均数m=m1+m2+...+mn/n;几何平均数G=n次方Jm1*m2*...*mn<算术平均数[n次方/11*m2*.*mn)<11+m2+.+mn)/n)];两整数a、b,有a:vib=db:b:加权平均数=(a1F1+a2F2+.+anfn)/(f1+f2+f3+.fn);基本运用方法：定义法、十字交叉法、等量代换法、移多补少法。十字交叉法解题步骤：一是找出各部分平均值及总体平均值;二是平均值间交叉作差，写出部分对应量的比，得到十字竖式;三是利用比例关系解题。例题：某村一块试验田，去年种植普通水稻，今年该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田的水稻总产量是去年总产量的1.5倍，如普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是：A、5：2;B、4：2;C、3：1;D、2：1;解题：设普通水稻的平均产量为单位“1”，找出已知的平均值和对应量写成右下图：因为a<b，则(b-1.5):(1.5-1)=2/3:1/3, 平均值 交叉作差后对比量TOC\o"1-5"\h\z解得：b=2.5。所以b:a=2.5:1=5:2。 普通水稻产量(a)1 (b-r)1 2/3故选A、5：解题分析：本题属解混 \ /合产量问题，采用十字交叉作差法。这里总产量的平均值r(1.5)的“平均值”就是产量，设普通水稻产量 /\为1,那么今年的水稻产量就是1.5。 超级水稻产量(b=2.5) 0.5(1.5-1)1/3今年总产量的平均值为1.5，今年普通水稻田占2/3，超级水稻田占1/3，两者之比为2:1。另解:据普通水稻与超级水稻(面积)之比为2:1，则右上角数字2*0.5=1;左下角数字为1+1.5=2.5，即超级水稻的平均产量为2.5个单位，所以超级水稻的平均产量与普通水稻产量的平均产量之比为2.5:1=5:2。故选A、5:2。据上题求解情况归纳：一般分为两部分，第一部分为平均值a,第二部分为平均产量b,(这里假设a>b),两部分混合后的平均值为r,利用十字交叉法有：如下图所示：可得到等式为(r-b):(a-) =A:B(各部分的平均值对总体的平均值交叉作差，后得到的比与对应量相等)。注意：题中的对应量A、B为未知数时，只需知其比例。此处A、B可理解为第一部分平均值与第二部分平均值的权重，当a、b表示增长率时，得到的比例是增长前的

比例，乘上其增长率后才能平均值 交叉作差后对比量得到增长后的比例。第一部分ar-bA\/总体部分r/\第二部分b a-B和差倍比问题。和倍关系，指已知两个及两个以上的数字之和与它们的倍数关系，求这两个数或这些数的问题；差倍关系，指已知两个数的差及其倍数关系，求这两个数的问题。基本公式：和倍关系：和*(倍数+1)=1倍量，1倍量*倍数=n倍量；差倍关系：差一(倍数-1)=1倍量，1倍量*倍数=n倍量。在使用上述公式时注意：和差总数与倍数和差的对应关系，其中要注意单位“1”的恰当选择，准确的选举能简化的解题步骤。例题：三个单位共有180人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多4倍，甲单位比乙单位多1/2,则甲单位有：A;30人；B:60人；C:90人；D:120人。解：据和倍关系可知丙单位人数为：180-(4+1+1)=30人，所以甲、乙两队人数为：180-30=150人，再据和倍关系公式得乙单位人数为：150-(1/2+1+1)=60人。所以甲单位人数为：150-60=90人，故选C、90人。例题：甲、乙、丙三只水杯和一只空桶，30杯甲杯的水倒入水桶后，占全桶容量的2/5，再倒10杯乙杯的水，占水桶余下容量的1/2，再倒入30杯丙杯的水，恰好使水桶水满，则甲、乙、丙的容积比是A、6：7：5；B、5：7：4；C、6：9：5；D、4：9：3。解题：方法1、甲杯容积为桶的2/5-30=1/75；乙杯容积为桶的(1-2/5)*1/2-10=3/100。丙杯容积为桶的{1-[(1-2/5)*1/2]-2/5}-30=(1-2/5)*1/2-30=1/100，所以三者容积比例为：1/75：3/100：1/100=4：9：3。故选D、4：9：3。方法2、先求出乙、丙比结合选项解：设桶容量为1，30杯甲杯水为2/5，10杯乙杯水为(1-2/5*1/230杯丙杯水为1(2/)*1/2则有乙杯：丙积比为：1=9:3,结合选项选与浓度有关的元素：溶液、溶质、溶剂(如水、糖、糖水)，基本公式：溶液质量=溶质质量+溶剂质量，浓度=溶质-溶液混合溶液性质：一种高浓度溶液A与一种低浓度溶液C混合成一种溶液B,则三种溶液浓度为A>B>C.解题的基本方法有：十字交叉法、推导法、方程法。例题：甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现从甲、乙杯中取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多、20%；B、20.6%C、21.2%D、21.4%解题：方法1、整体法又叫加权平均法：(400*17%+600*23%)/(400+600)=20.6%。质量比方法2、十字交叉法：如右图所示： 溶液混合前溶液交叉作差后从题意中可知甲溶液400克，浓度为17%， 甲17%23%-X2乙溶液600克，浓度为23%，两者质量比为\/400：600=2：3,设混合浓度为X,则有：混合后溶液r(23%-X)/(X-17%)=2/3，500X=103，/\X=20.6%.故选B、20.6%。乙23%X-17%r3日期问题：闰年的判定：①、非100的倍数的年份能被4整除的是闰年(如2008年)；②、是100的倍数的年份能被400整除的是闰年(如2000年，但1900年和3200年也不是)；、特示：平年是52周加1天，闰年是52周加2天，即平年是星期加1,闰年是星期加2;、实际上日期问题的本质是余数问题，日期问题中，星期几就是除7余几。如2008年元旦是星期二，2008年是闰年，则2009年元旦是星期四，即闰年是星期加2。年龄问题：其特点：时间变化年龄在增长，但年龄差始终不变，它是“和差”、“和倍”、“差倍”等问题的综合应用，解题时要抓住年龄差不变求解。例题：10年前爸爸的年龄是他女儿的7倍，15年后爸爸的年龄是他女2儿倍的，现女儿多大？解：设爸爸的年龄为,女儿为：Y,x-10=7(Y-10)和X+15=2(Y+15)解得：X=45。y=15岁。例题：父亲今年44岁，儿子16岁，当父亲年龄是儿子8倍时，父子年龄和是多少？解：父子年龄差：44-16=28岁，当父亲是儿子年龄的8倍时，年龄差为7倍，儿子年龄为28-7=4岁，所以此时父亲年龄为4+28=32岁。父子年龄和为32+4=36岁。方阵问题：实心方阵公式：总人数=最外层每边人数的平方(题设为正方形的方阵)；空心方阵指方阵相邻两层相差8人，因此总人数可以看成为首项是最外层总人数，公差为-8的等差数列之和，空心方阵公式：每层相差总人数=该层每边数*4-4。鸡兔同笼问题：例题：某次考试100道选择题，每做对一题得1.5分，不做或做错一题扣1分，小李共得100分，那么他做错或不做多少题？A、20;B、25;C、30;D、80。解：属鸡兔同笼问题。设小李所有题目都做对(一种元，素则)一共得到1.5*100=150分。比实际得分多150-100=50分(即误差)，故小李不做或做错题为50-(1.5-1)=20题，故选A、20。(实际上1.5为做对每题得分，1为不做和做错扣分)。实际相关应用题：行程、工程、利润、盈亏、植树、牛吃草等问题。行程问题：常规的行程问题，路程=速度*时间，平均速度=总路程-总时间。相遇问题和追及问题：相遇时间=相遇路程-速度和，追及时间=追及路程-速度差。例题：两车同时从A、B两地相向开出，相遇时甲车比乙车多开了6千米，已知甲乙单独走完全程分别需要2小时、3小时，则A、B两地共有多少米？20;B、30;C、40;D、50。解题：方法1、设A、B两地共有X米，则甲速X/2千米/时，乙速X/3千米/时，速度和X/2+X/3=5x/6千米/时。时间为X-5X/6=1.2小时，-X/2-X/3)*1.2=6千米，之=30千米。方法2、设甲走路和为X,为总路程的3/5，乙为X-6千米，占总路程的2/5，-X/(x-6)=3/5-2/5,tX=18千米。总路程=18+(18-6)=30千米故选D、50千米。流水问题：顺水速=船速+水速，逆水速=船速-水速，船速=(顺水速+逆水速)-2。水速=(顺水速-逆水速)-2。时钟问题：分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，两者速度差为5.5度/分，解此类题目可转化为相遇或追及等问题来解。例题：某人下午六点多从甲地步行到乙地，出发时发现表的时针和分针的夹角为110度，七点前到达乙地时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110度，若此人步行的速度为每小时6千米，则此人以每小时12千米的速度骑车返回需要多少分钟、?20;B、15;C、32;D、18。解题：“下午六点多出发”、“七点前到达”可知某人用时不到1小时，也说明分针比时针多走路程小于360度，据此可求求出分针比时针多走的路程，角度为：110+110=220度。又因为分针和时针每分钟的速度差的角度为5.5度，则实际耗时为：220-5.5-40分钟。路程一定，当速度加倍，耗时一半，故选A、20分钟。工程问题：工作量=工作效率*工作时间，计算时多设工作量为1，则可知工作效率。例题：一条隧道，甲队单独挖要20天完成，乙队单独挖要10天完成，如甲队先挖1天后，乙队接替甲队挖1天，再由甲队接替乙队挖1天，……，两队如此交替工作，那么挖完这条隧道需要多少天？A、14；B、16；C、15；D、13。解题：设工作量总量为1，则甲队的工作效率为1/20，乙队的工作效率为1/10，两队合挖需要天数为：1-(1/20+1/10)=6又2/3天，如甲、乙两队各挖6天后，还剩下工程的工作量为：1-(1/20+1/10)*6=1/10，第13天由甲队挖后剩工作量为：1/10-1/20=1/20。剩下的由乙队再挖半天即可完工。故选A、14天。注：若先算出1=（1/20+1/10=6又2/3天时，用6又2/3天乘2等于13.33天也约为14天。利润问题：基本概念和公式：成本指货物买入价，又叫进价。售价=成本*（1±利润率）。利润=售价-成本，利润率=利润/成本*100%=（售价-成本）/成本*100%=售价/成本-1，打折指在售价基础上减价（如卖90%的售价-即0.9为1折），折扣=（打折后的售价原来的售价＜1.注：上述“利润”是实际工作中的毛利润，净利润是毛利润减去一切税费。复利的计算公式：本息=本金*（1+利润率）An（n为年数）。特示：定价不一定是销售价。计算有关利润问题的基本方法：比例法、方程法、十字交叉法。例题：某玩具店同时卖出一个拼装玩具和一架遥控飞机，拼装玩具66元/个，赚10%，遥控飞机120元/架，亏0%此店卖出这两俱赚或亏多?A、赚12元；B、赚24元；C、亏14元;D、亏24元。解题：据公式：售价=成本*（1+利润率）-成本=售价/（1+利润率）。拼装玩具成本=66/（1+10%）=60元，赚6元=66-60。遥控飞机成本=120/（1-20%）=150元，亏30元=150-120。盈亏数为：6-30=-24元，故选D、亏24元盈亏问题：盈亏指把一定数量的物体分给若干个对象，先按某种标准分，结果刚分完、或余多（盈）、或不足（亏），按某种标准分，又出现分完、或多余（盈、）或不足（亏）的、结果，据这两次结果求物体以及对象的数量，此类问题称为盈亏问题。具体有五种情况：①一盈一尽型：盈数。两次分配个数的差=对象数；②一亏一尽型：亏数。两次分配个数的差=对象数；③一盈一亏型：（盈数+亏数）-两次分配个数的差=对象数；④两次皆盈型：（大盈数-小盈数）=两次分配个数的差=对象数；⑤两次皆亏大:亏数■小亏数）=两次分配个数的差=对象数;例题：一个植物小组植树，如果每人栽6棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵，这个植物小组一共要栽多少棵树？A、119;B、159；C、118；D、122。解题：据公式③求人数：（14+4）0（7-6）=18人，-18*6+14=122棵，故选D、122棵。植树问题：它包括不封闭区域、封闭区域植树公式，具体有四类：①不封闭的路两端都植树：棵数=总路长一间距+1；②不封闭的路有一端植树：棵数=总路长*间距；③不封闭的路两端都不栽树：棵数=总路长一间距-1；④封闭区域植树：棵数=总路长=间距（与第3点一样）。注：沿着湖边种树属“封闭区域植树问题”。例题：从一楼到五楼，爬完一层休息30秒，一共要210秒，那么从一楼走到7楼，需要多少秒？A、318；B、294；C、330；D、360。（爬楼梯本质上属“不封闭区域”植树问题）。解题：应用公式：总时间=爬一层楼所需时间*（楼层数-1）。从一楼爬到五楼共爬了4层，期间共休息了3次，即休息时间是为：30*30=90秒。爬到五楼（不计休息）需时间：210-90=120秒，所以爬一层楼所需的时间为120=（5-1）=30秒。而从一楼走到楼共需休息5次，总需时间为30*（7-1）+30*5=330秒。故选C、330秒。牛吃草问题：又称消长问题、牛顿牧场。典型的牛吃草问题。条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同。求若干头牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可吃多少天。由于吃的草是每天都在生长的，所以草的总存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题的流程：先设每头牛每天所吃的草量为单位1，后据不同数量的牛吃光草所花的天数计算出草场每天长的草量以及最初的草总量，最后据牛吃草的核心公式求出答案：核心公式：最初的草总量=（所有牛每天吃的草量--草场每天长的草量）*天数。例题：牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，可供25头牛吃多少天？A、5；B、7；C、6；D、8。解题：设每头牛每天吃的草量为1,每天长草量为x,最初的牧场草量为y。则有：（10-x）*20=（15-x）*10=y-x=5，y=100，-25头牛可吃天数为：y=（25*1-x）=100=（25*1-5）=5天。故选A、5天。例题：一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量，在该市新近迁3万人之后，该水库只能够维持15年的用水量。市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年，那么，该市民平均需要节约多少比例的水，才能实现政府制订的目标？A、2/5;B、2/7;C、1/3;D、1/4。解题：此题类似牛吃草问题，抓住核心公式。设每万人每年的用水量为1，每年的降水量为x,总水量为y。贝则(12-x)*20=(12+3-x)*15=yo解得：x=3,y=180。将水库使用寿命提高到30年则15万人每年用水量为：180-30+3=9。比以前节约用水为：原万人每年用水量-(现每年用水量-现人数)=1-(9-15)=2/5才能达到政府制定目标,故选A、2/5o(注意：y为原水库总水量；每万人每年用水量设为1；每年降水量为Xo所有人每年用水量为;人数(万)*每万人每年量“1”);第二章五节数学运算综合题型。统计类问题：(它是数学运算综合题型的一种。还有对策分析类、综合分析类、数学建模类。)它包括：加法原理与乘法原理、排列组合问题、概率问题等。加法原理与乘法原理是统计问题中最常用、最基本的两个原理,是排列组合问题和概率问题的基础。加法原理：指完成一件事情有N类方式：第一类有M1种不同方式；第二类有M2种，……;第n类Mn种，那么完成这件事情共有M1+M2+……Mn种不同方式，可看出：加法原理是对复杂问题的分类讨论。乘法原理：完成一件事情，需要几个步骤，在第一个步骤中有m1种不同方式，在第二个步骤中有m2种在第n个步骤中有mn种不同方式，那么完成这件事情共有m1*m2**mn种不同方式。可看出：乘法原理对复杂问题的分步完成。例题用数字2,3,4,5共可组成多个不重复的数数字。120B、122C、130D、15Q解题：1、一位偶数有2、4两种；2、 两位数偶数有：12、14、24、32、34、42、52、54,共8个；3、 三位偶数有：①分尾数有2、4两类，包括:a、尾数为2有：一步进行在1,3,4,5中取一个数为百位数共有4种,二步在剩下的三个数中取一个数为十位数有3种,用乘法原理得4*3=12种；b、4同类可得亦有12种。总共有12*2=24种；4、 四位偶数，也分尾数为2、4两类：a、尾数为2有：一步先在1,3,4,5中取一个数为千位数有4种,二步在剩下的3个中取一个数为百位数有3种,三步在剩下的2个数中取一个数作十位数有两种，用乘法原理可得4*3*2=24种；b、尾数为4同理可得亦有24种,总共有24+24=48种。5、 五位偶数，也分尾数为2、4两类：a、尾数为2有：一步先在1,3,4,5中取一个数为万位数有4种,二步在剩下的3个中取一个数为千位数有3种,三步在剩下的2个数中取一个数作百位数有两种,四步在剩下的1个作为十位数有1种。用乘法原理可得：4*3*2*1=24种；b、尾数为4同理可得亦有24种，总共有24+24=48种。最后用加法原理求得的总偶数为：2+8+24+48+48=130种,故选C、130种。排列组合问题：排列指从n个不同元素中取出m(m<n)个元素排列成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个数列，所有不同排列的个数称为从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号AAmn表示，当n、m唯一确定时AAmn的值唯一确定。具体计算公式：AAmn=n(n-1)(n-2) (n-m+1)。组合指从n个不同元素中取出m(m<n)个元素作为一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数称为从n个元素中取出m个元素的组合数。用符号CAmn表示，当n、m唯一确定时C"mn的值唯一确定。具体公式为：C"mn=n(n-1)(n-2) (n-m+1)/m!排列与组合的关系：组合只关心取出来的是什么，排列是在组合的基础上强调顺序。AAmn=CAnn+AAmm。解题时具体要求：先分清是排列还是组合，分步还是分类。排列元素就是：先安排；复杂过程恰当选择；朝对立面等价转化；相对元素作为整体即捆绑法；特殊方法合理使用。例题：要求厨师从12种主料中选择出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪某种菜肴，烹饪的方法有7种，那么该厨师最多可做出多少种不一样的菜。A、131204;B、132132;C、 130468；D、133456。解题：（注意分清是排列还是组合，是分步还是分类）从选主料、配料和烹饪方法三个步骤做菜，属乘法原理，每步为组合问题，选主料有CA2.12种方式，选配料有CA3.13种方式，选烹饪方法有CT.7种方式。据乘法原理共有：CA2.12*CA3.13*CT.7种。用尾数法可知CA2.12尾数为6工人3.13尾数为6工人1.7尾数为7,则有6*6*7-尾数为2,故选B.132132例题：2名奥运志愿者和4名世界冠军排成一队合影留念，要求奥运志愿者不站在两端，那么有多少种不同的排列？A、288;B、256;C、336;D、348。解题：（特殊元素优先法，）2名奥运志愿者不站在两端，即有明显限制要优先考虑的，则分步解决问题应用乘法原理。因2名奥运志愿者不站两端，仅从中间4个位臵供其选择，即相对位置用排列，则有AA2.4种方式，后将4名世界冠军排在余下的4个位置，则有AA4.4种方式，总体是分步用乘法原理：人人2.4*人人4.4=288种方式。故选A、288。例题：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同方法？A、7;B、9;C、10;D、12。解题：（复杂过程恰当简化）学习材料发放是属组合问题，先各队分发9份，剩下3份考虑分法，可采取分类解决：a、3份材料分发给一个部门有CA1.3种方式；b、3份材料分发给两个部门有CA2.3种方式；c、在分给两个部门时有两种方法（1个2份和1个1份）。因bc两步为分类则方式有CA2.3*AA2.2种方法；d、3个材料每个部门各发1份有。八3.3种。总共有CA1.3+CA2.3*人人2.2+。人3.3=10种方式。故选C、10。例题：在4名中学生和5名大学生中挑选4人去参加夏令营活动，要求中学生和大学生至少各有一名，有多少种不同选择：A、90;B、100;C、110;D、120。解题：朝对立面等价转化。方法1：据题中条件限制列式为：CA1.4*CA3.5+CA2.4*CA2.5+*CA3.4*CA=1120种。方法2：从限制条件的对立面出发：即全选中学生有CA4.4种，全选大学生有人4.5种。不区别中学生、大学生选的有4.9种。则应有CA4.9-CA4.4-。人4.=5120种，故选D、120。例题：6人站在一排，甲、乙必须相邻。问有多少种排法？A、280;B、120;C、240;D、 360。解题：相邻元素作为整体即捆绑法。甲、乙必须相邻则“捆绑”成一人，即6人变为5人，排法有AA5.5，但甲乙的顺序排列有AA2.2，共有AA5.5*人人2.2=240种（注意分步为乘）。故选C、240。例题：有张节目表上原有3个节目，如保持这三个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？A、20;B、12;C、6;D、4。解题：特殊方法合理使用插空法。因原3个节目顺序不变，如在原3个节目形成的4个空内可插入2个新节目：一步在每空内插入1个新节目有CA1.4种，二步在插入的2个新节目和原3个节目的5空内插入另1个新节目有CA1.5种。按乘法原理：总共有：CA1.4*CA1.5=20种，故选C、20。例题：将9本相同的图书分给4个学生，要求每个学生至少一本，问不同的分法有多少种？A、42;B、56;C、64;D、72。解题：特殊方法合理使用即隔板法。实质上将一个整体分成四份，可用隔板法。即把9本书排成一排，内有8个空，在8个空中随机选择3个空处放上隔板，也就是把9本书分成4份，属组合问题。即Ca3.8=56种，故选B、56。概率问题：一个在。到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量，解题时先确定该随机事件的概率模型。其模型有：古典性概率模型、二次分配概率模型、条件概率模型。古典概率模型：事件A发生的概率P(A)=A(包含的样板点数)/样本点总数。例题：某单位共有36人，四种血型的人数分别是：A型12人，B型10人。AB型8人，o型6人，如果这个单位中随机地找两个人，那么这两个人具有相同血型的概率是多少？A、11/45;B、13/45；C、1/4；D、1/3。解题:古典型概率模型。题中样本点总数指36人中随机找两个人的不同方法，为CA2.36种。事件A是从36人中挑选两个血型相同的人，有四种形式：一是挑选2个A型血的人有CA2.12种；二是挑选2个B型血的人有CA2.10种；三是挑选2个AB型血的人有。人2.8种；四是挑选2个0型血的人有CA2.6种。据分类计算为加法原理得：事件A发生的概率为P=(。人2.12+CA2.10+。人2.8+C"2.6)/。人2.36=11/45.故选A、11/45。二次分布概率模型：指如在一次试验中事件A发生的概率为P，在n次独立重复试验中，事件A发生K的概率P(K) =CAKn*pAK*(1-P)a(n-K).例题：米斯诺克比赛的规则是11局6胜制。甲、乙两位球手对阵，在每局比赛中。甲乙获胜的概率分别是60%和40%，若前3局中甲已经连胜3局，问甲在第十一局取得比赛胜利的概率大约是多少？A、0.02；B、0.03；C、0.05；D、0.06。解题：题意有“甲、乙每局比赛获胜概率不变”则在n局比赛中获K次的概率服从二项分布概率模型，甲前三局已连胜，如在第11局比赛才取胜，则在4—10局中获胜2局概率：P(K=2)=CA2.7*(60%)A2*(1-60%)A5=21*0.36*0.004=8.4%由乘法原理求概率：甲在第11局中取得比赛胜利的概率大约是：P(K=2)*60%=8.4%*60%=5.04%=0.05。故选C、0.05。条件概率模式：它是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，表示为P(A/B)，读作“在B的条件下A的概率”；即P(A/B)=P(AB)/P(B)。其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。例题：从孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孩任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶的。问小孩取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少？A、1/3；B、1/4；C、1/5；D、1/6。解题：据题意可知：事件AB：两块糖均为牛奶味的，事件B：其中一块为牛奶味的。P(B) =[(CA2.4)—1]/CA2.4=5/6；P(AB)=1/CA2.4=1/6。由条件概率公式得：P(A/B)=P(AB)/P(B)=1/6-5/6=1/5。故选C、1/5。对策分析类问题：又称统筹问题。它利用数学来研究人力物力的运用和筹划，使它们发挥最大效率的一类问题，包括：物资调运、资源安排、工作分配，排队、对策等。资源安排问题：例题：星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖子要10分钟，用全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服10分钟，妈妈干完所有这些事情最少用多少时间？A、55分钟；B、60分钟；C、65分钟；D、70分钟。解题：最理想安排：如图：所需时间为：10+40+10=60分钟故选B、60分钟。洗领子、袖子洗衣机洗衣服晾衣服10分钟40分钟10分钟10+40+10=60分钟擦玻璃、收拾厨房20+15=35分钟例题：“红星啤酒开展喝7瓶换一瓶啤酒”的优惠促销活动，现在已知张先生在促销活动期间共喝掉347瓶红星啤酒，问张先生最少用钱买下多少瓶啤酒290B、298；C、300；D、302。

解题：每喝7瓶后的7个空瓶换1瓶啤酒，则349-7=49......4-49*6+4=298瓶。或：347-49=298瓶。故选B、298瓶。排队问题：例题：5位顾客地理发。每人理发时间为10、12、15、20、24。如先理需时短的后理需时长的，则理发和顾客等候时间总量最短。解题：如理10分钟的则4人共等40分钟；次理12分钟的则3人共等36分钟；再理15分钟则2人共等30分钟；后理20分钟的1人则1人等20分钟；最后理24分钟的1人需24分钟，共需理发时间为10+12+15+20+24=81分钟，（等40+36+30+20=126）共207分钟。例题：车间里有五台车床同时出现故障，每台修复时间为：18、30、17、25、20分钟。每台车床停产1分钟造成经济损失5元，现有两名工作效率相同的修理工，问修复时间最短（）、经济损失最少（）为：A、55、935;B、55、965;C、110、550;D、110、110。解题：据题意可知总需时间为：18+30+17+25+20=110分钟。如1人修17、18、20，另1人修25、30，两人做各为55分钟，即耗时最短;考虑经济损失，第1人按17、18、20;第2人按2人按25、30顺序修则损失为：5*[（17*3+18*2+20）+（25*2+30=935元，故选A、55、935元。物质调运问题：指将物资从某地调往另一地。求总运费或物资调运运输量吨：.千米数最少例题：在一条公路上，每隔10千米有一座仓库。如图：A BC D E共有五座：图中数字表示各仓库存货物资的重量， ---. .---. . .—现在要把所有的货物集中存放在一个仓库，如果每吨 10T30T20T10T60T货物运输1千米需运费0.9元，那么集中到哪个i所需运费最?A、选;B、逛;C、选）；D遊。解题：观察可知应选D或C。从右向左运的货物为基础对比：如集中到D,那么只有E仓库60吨送到D;如集中到C,那么等于E仓库的60吨运到D,再将D仓库的10吨及E仓库的60吨一起运到C库，则运到C库比运到D库多（60+10）*10=700吨千米。同理，从左向右运的货物，运到C库比运到D库少：（10+30+20）*10=600吨千米。相比较集中运到D库比集中到C库好。经过对各点比较货物集中到D库运费最少，运费为：[（10*30+30*20+20*10）*0.9]+（60*10*0.9）=990+540=1530元。故选C、选D库。另外如选C库为：[（10*20+30*10）*0.9]+[（60*20+10*10）*0.9]=450+1170=1620元例题：（物质调运）。A、B、C三地的距离（单位：千米）如图所示：A（12吨煤）/\/\距10KM距7KM/距9KM\--C16吨粮食）现有一辆载重量4吨重的汽车要完成下列任务；从A地运12吨煤到B/\/\距10KM距7KM/距9KM\--C16吨粮食）A、7;B、10;C、16;D、17。B 8吨钢材）解题B 8吨钢材）里程最短。即按C-A-B-两次循环，B地8吨钢材运完，但C地有8吨粮食A地有4吨煤待运。再从C地运4吨粮食到A地后空驶回C地，再运4吨粮食到A地，最后从A地运4吨煤到B地。这样空驶里程为7千米为最短。故选A、7。分配工作的问题：目的是通过合理分配工作，使最少时间或代价最小。例题：甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件），乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服。两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服?A、1168;B、1290;C、1296;D、1468。解题：因甲厂生产上衣和裤子的时间比为16：14=8：7;乙厂为12：18=2：3。这样发挥甲厂生产裤子和乙厂生产衣服各自的优势。即甲厂30天可生产裤子448-14*30=960条，乙厂30天可生产衣服720=18*30=1800件，有960＜1800，而乙生产960件上衣所需时间为：960=（720=12）=16天，则乙厂剩下4天可生产衣服（上衣和裤子720=30*14=336套。所以两厂合并生产每月最多可生产衣服：960+336=1296套。故选C、1296。TOC\o"1-5"\h\z例题：有4辆汽车要派往五个地点运送货物，如右图所示： ⑤图中数字分别表示一个地点完成任务需要的装缷工人数。如果 / \有些装缷工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的 ③ ③装缷工人数，使完成任务所用的装缷工人数最少？ | |A、13；B、15；C、17；D、19。 ⑤—④解题：采用试控法：因装缷都需要人，若4辆车每辆5人跟车各点不需要另外安排人，共需4*5=20人；若4人跟车则5人点另需安排2人，共需4*4+2*1=18人；若3人跟车5人点需另安排2人，4人点另安排1人，共需安排1人，共需3*4+2*2+1=17人；若2人跟车则5人点需要另安排3人，4人点另安排2人，3人点另安排1人，共需要人数为：2*4+2*3+2+2*1=18人；同理可推断1人跟车共需人数为：1*4+2*4+1*3+2*2=19人。上述五种推断比较共需17人为最少（当3人跟车）。故选C、17。例题：（分配工作问题）。有17根11.1米长的钢管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙两种长度的管子，且要求所截成的甲、乙两种管子数量一样多。问最多能截成出甲、乙两种管子多少根？A、99;B、111根；C、121根；D、132。解题：要在17根钢管中尽量多截成甲、乙两种管子，也就是残料最少。现采取列表法将每根钢管截成两种管子的构成和残料情况。如右图所示：^方法钢管长\1234567891011121.0米111098765432100.7米01345781011131415残料0.10.400.30.60.20.50.10.400.30.6由表中内容可知，方法3和方法10没有残料。如能将两种方法配合起来，使截出来的甲、乙两种管子数量相等，那么这就是残料最少的方案。设按方法3截x根钢管，按方法10截y根钢管，则有甲管子（9x+2y）根，乙管子有（3x+13y）根，又有9x+2y=3x+13y，得6x=11y—x：y=11：6，所以用方法3截11根，方法10截6根钢管是符合题意的截法，共可得甲、乙管为:9*11+2*=111根，故选、111根。综合分析类问题：近年考题难题逐渐增加，内容也越加复杂，单一题型越来越少，综合问题比重逐年扩大，且问题新颖，多为对传统题型的加工改造和各类知识的糅合，为此需要坚实的数学基础知识，灵活适用，提高综合分析能力，透过现象看本质。具体有：推理问题、操作问题、复合问题、学科问题。推理问题：借助逻辑推理知识解决问题。例题：某机关20人参加百分制普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%，所有人得分为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？A、88；B、89；C、90；D、91。解题：1、先算出20人总分：20*88=1760分；2、算出不及格的人数为*（1-95）=1人；其最高分为59分；3、算出前9名总分最多为：100+99+……+92=864分；4、第10至19名分数最少为：1760-59-864=837分；5、推断：当第10名的分数为88分时，则10至19名分数为:88+87+86+......+79=835分＜837分，（不合题意舍去）。当第10名分数为89分时，则10至19名分数为：89+88+87+……+80=845分＞835分（符合题意）。故选B、89。注：①题意20人彼此得分不同；②计算前9名和不及格人的分数时要定得最高；③835分＜837分，不符合题意时，多了两分，第10名定88分偏小；④845分＞835分，符合题意，这样第10名得了89分，虽多了38分，这38分可在第11名至第19名中降分。例题;（综合分析中的推理问题）。在一次国际会议上，人们发现与会代表中有10人是东欧人，有6人是亚太地区的，会说汉语的人有6人，欧美地区的代表占了与会代表总数的2/3以上，而东欧代表占了欧美的2/3以上。由此可见，与会代表人数可能是：A、22人；B、21人；C、19人；D、18人。解题：（亚太地区指亚洲环太平洋）。据题意条件从头开始逐一分析，或从几个集合的元素及范围寻找答案。东欧人10人东欧/欧美＞2/3-欧美＜15人|-欧美£14人（欧美＜14人）」欧美/全部代表＞2/3 |-全部代表£20人」（14-2/3=21，全部代表0人）结合选项可排队A、B。又因为:亚太人6人「亚太/全部代表＜1/3 |-全部代表＞18人结合选项可排队选项D。故选C、19人。J（6-1/3=18）注：全部代表包括：欧美和亚太两部分。“会说汉语的有6人”条件是不确定的不好用操作问题：指对某种事物按一定要求进行一种变换，这种变换可以具体执行。如对任意一个自然数是奇数就加1；是偶数就除以2；这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是已知操作结果求最少的操作次数或者是求连续进行这种操作后可能得到的结果。例题：用一个70毫升和30毫升的容器盛取20毫升的水倒在水池A中，并盛取80毫升的酒精倒在水池B中，倒进或倒出某个容器都算一次操作，则最少需要经过几次操作？A、15；B、16；C、17；D、18。解题：一是将30毫升的容器装满水后倒入70毫升的容器中，反复三次即可得到20毫升水；二是将70毫升的容器装满酒精后两次倒入30毫升的容器中，剩下10毫升再加上70毫升的酒精即得到80毫升的酒精。倒进倒出各算一次共15次。如下表：次：将30毫升容器装水； 2次：将1 中的水倒出 70 毫升的容器中；3次：将30毫升容器装水； 4次：将3 中的水倒出 70 毫升的容器中；5次：将30毫升容器装水； 6次：将5 中的水倒出 70 毫升的容器中；次：将6中的水剩下的20毫升倒入水池A中；次：将6中的70毫升的容器清空；9次：将70毫升的容器装满酒精；次：将9中的酒精倒入30毫升的容器中并装满；次：将10中30毫升的容器清空；次：将9中剩下的40毫升酒精倒入30毫升容器中并装满；13次：将9中剩下的10毫升酒精倒入B池中；14次：将70毫升的容器装满酒精；15次：将14中的酒精倒入B池中，得到80毫升酒精。故选A、15次。操作问题：例题：对于任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称之为交换。如对18和42可进行这样的连续交换：18，42-18，24-18，6-12，6-6，6.直到两数相同为止。问;对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？A、3；B、12；C、121；D、123。解题：（上述两数数差变换法如同两数最大公约数法）。其原理是：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个最大公约数也是a，因此在每次变换的过程中，得到的两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的公约数。如12345和54321的最大公约数应用辗转相除求得是3，(即：54321=12345=4.....4941,12345=4941=12 2467,4941=2467=2.....7,2467=7=352....3,)所以最后得到的两个相同的数是3,故选A、3。注意：类似题目可用辗转相除求最大公约数法解,避免繁琐且易错。复合问题：很多题目已经不能靠单纯传统题型进行分类求解,应由多种题型相互糅合,形成一类新问题,即复合问题。例题：某校按字母A至Z的顺序给班级编号，按班编号加01,02,03,…….给每位学生顺序定学号，若A—K班级人数从15人起每班递增1名，之后每班按编号顺序递减2名，则第256名学生的学号是多少？A、m12；B、n11;C、n10；D、m13。解题：1、A—K班级人数从15人起每班递增1名，即为一个公差为1,n=11,a1=15的等差数列，Sn=na1+„n(n-1)/2〕*d=11*15+„11(11-1)/2〕*1=220人。K班人数为ak,则a5=a1+(n-1)*d=15+(11-1)*1=25人；2、 从L班开始每班按编号顺序递减2名，所以L班有25-2=23人；3、 A—L班共有人数为：220+23=243人；4、 推断剩余人：256-243=13人，按排在M班，所以第256名学生编号为13号。故选D、m13。例题：甲、乙两人从相距1350米的地方,以相同的速度相对行走,两人在出发点分别放下1个标志物,前进10米后放下3个标志物,前进10米放下5个标志物,再前进10米标志物，以此类推，当两人相遇时，一共放下几个标志物、4489;B、4624;C、8979;D、9248解题：1、甲、乙两人以相同速度相对行走,,每人走的路为1350=2=675米。2、 甲、乙两人放下标志物的方法是一样的，故两人放的标志物总量是相等；3、 先计算甲、乙每走10米放下一定数量的标志物，615米中含有67个10米，而甲放的标志物数量构成一个公差为2，n=67+1，a1=1的等差数列(因为出发点开始放1个)，则S67Sn=na1+„n(n-1)/2〕*d=68*1+„68(68-1)/2〕*2=4624个。4、 甲、乙两人共放标志物数量为：4624*2=9248个。故选D、9248。例题：(复合问题)为把2008年北京奥运会办成绿色奥运会，全国各地都在加强环保植树造林。某单位计划在通往两个比场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗。已知一条路长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则省2754棵，若每隔5米栽一棵，则多396棵，问共有树苗多少棵？A、8500；B、12500；C、12596；D、13000。解题：1、先按盈亏原理求出总路长：因为4和5的最少公倍数是20，即由题意可知每20米“两种情况相差1棵(5-4=1)”；据一盈一亏型公(式盈：数+亏数)=次两分配个数差对=象数。推断总路长为：3150*20=63000米。2、两条(不封闭)路有4边，每端口加1棵，共4棵。3、据植树原理不封闭公式：棵数=总路长=间距+1，共栽树为：63000=5+396+4=13000棵，或630004-2574+4=13000棵。故选D、13000。注意：题干中“一条路长度是另一条路长度的两倍还多6000米”是无关条件，切记落入陷进学科交叉问题：即用多学科知识才能解答的问题：如以下例题是涉及地理知识的数学运算题。例题：当第29届奥运会于北京时间2008年8月8日20时正式开幕时，全世界和北京同一天的国家占：A、全部；B、1/2;C、1/2以上；D、1/2以下。解题：是否同一天是考查地理中的时区问题。因为1个月时区为1小时，北京位于东八区，时间为8月8日20时，则东十二区时间为8月8日24时；经过日期变更线以后，西十二区对为8月8日0时，因此全世界的时间为8月8日0时8月8日24时，即全世界都处于同一日。故选A、全部。