天体地运动与能量

实用标准§4．10天体的运动与能量4．10．1、天体运动的机械能守恒二体系统的机械能 E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。 由于没有其他外力作用，系统万有引力属于保守力，故有机械能守恒， E为一恒量，如图 4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有GMm12GMm12E2mv1r22mv2r1当运动天体背离不动天体运动时，EP不断增大，而EK将不断减小，可达无穷远处，此时EP0而EK≥0，则应满足E≥0，即GMm1mv20r2v2例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束v1缚必有r2r1GMm1mv2M0R22GM2Rg11.2kmsvR图4-10-1我们称v=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为 2倍。另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对 m而言，遵循角动量守恒mvr 恒量或mvrsin恒量是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连文档大全实用标准线在相等时间扫过面积等。4．10．2、天体运动的轨道与能量若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动， 其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。）椭圆轨道如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为x2y21a2b2（a>b）则椭圆长，短半轴为a、b，焦距ca2b2，近地点速度v1，远地点速度v2，则有E1mv12GMm1mv22GMm2ac2acmv1(ac)mv2(ac)或由开普勒第二定律：1v1(ac)1v2(ac)22可解得v1(ac)GM/(ac)av2(ac)GM/(ac)a代入E得EGMm02a抛物线设抛物线方程为y Ax2

ybv1MaO(,0)axv2b图4-10-2文档大全实用标准0,1太阳在其焦点（4A）处，则m在抛物线顶点处能量为E1mv0GMm1mv04AGMm22212()4A可以证明抛物线顶点处曲率半径1mv02/GMm/(1)2得到2A，则有4Av08AGM抛物线轨道能量E1m(8AGM)4AGM0yC2cbDiii）双曲线OaF(c,0)x设双曲线方程为x2y2图4-10-31a2b2焦距ca2b2，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有E1mv02GMm1mv22cx2考虑到当r，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距FC为FCcb/a2b2b故有112vD(ca)2vb或mvD(ca)mvb联解得文档大全实用标准vGM/avDbGMaac双曲线轨道能量GMmE 02a小结GMm0E2a椭圆轨道E0抛物线轨道GMm0E2a双曲线轨道以下举一个例子质量为m的宇宙飞船绕地球中心 0作圆周运动，已知地球半径为 R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为 4R的新轨道上，如图 4-10-4所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的 ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处 A和B的速度变化 vA和vB各为多少？解:（1）宇宙飞船在