2018高考数学备考黄金易错点专题06三角函数的图像与性质(易错起源)

2018高考数学备考黄金易错点专题06三角函数的图像与性质（易错发源）1.【122π3A.把C1上各点的横坐标伸长到本来的2倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移π个单位长度，获得曲6线2CB.把C1上各点的横坐标伸长到本来的2倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移π个单位长度，获得12曲线2CC.把C1上各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移π个单位长度，获得曲26线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移π个单位长度，获得212曲线C2【答案】D22.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为aa，b，c，已知△ABC的面积为3sinA（1）求sinsin;BC（2）若6coscos=1，a=3，求△的周长.BCABC【答案】（1）2.（2）333.3【分析】1）由题设得由正弦定理得

121aaacsinB，即csinB.23sinA23sinA1sinAsinCsinB.23sinA2故sinBsinC.3（2）由题设及（1）得cosBcosC1,，即cosBC1sinBsinC.22所以BC2，故A.3312由题设得a，即bc8.bcsinA23sinA由余弦定理得2c29，即b29，得bc33.c3bcbbc故△ABC的周长为333.πππ3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤2，x＝－4为f(x)的零点，x＝4为y＝f(x)图象的对π5π称轴，且f(x)在18，36上单一，则ω的最大值为( )A．11B．9C．7D．5答案B4．已知函数f(x)＝sinωx＋ππ.为了获得函数g(x)(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为52＝cosωx的图象，只需将y＝f(x)的图象( )3πA．向左平移20个单位长度B．向右平移3π个单位长度20πC．向左平移5个单位长度πD．向右平移5个单位长度答案A分析先求出周期确立ω，求出两个函数分析式，而后联合平移法例求解．因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T＝π，2π(x)＝sin2x＋π所以ω＝T＝2，即f5，g(x)＝cos2x.2π3ππ把g(x)＝cos2x变形得g(x)＝sinx＋＝sin[2(x＋20)＋5]，所以要获得函数g(x)的图象，只需将2f(x)的图象向左平移3π个单位长度．应选A.205．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(此中A>0，ω>0，|φ|≤π)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，2∠PQR＝π4，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为( )816A.33B.33C．8D．16答案B分析由题意设(0)，(0，－a)(a>0)．Qa,Ra则M(2，－2)，由两点间距离公式得，a2a2TπPM＝－2＋2＝25，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得，2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝6，由(2,0)得φ＝－π，代入f(x)＝sin(ω＋φ)得，P3Ax(x)＝Asin(πx－π)，63π16从而f(0)＝Asin(－3)＝－8，得A＝33.6．义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．答案7分析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图以下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f(x)＝2asinωx·cosωx＋23cos2ω－3(a>0，ω>0)的最大值为，1，2是会合＝x2xxM{x∈R|f( )＝0}中的随意两个元素，且|x1－2|的最小值为6.xx求函数f(x)的分析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后获得函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2]时，求函数h(x)＝(x)·g(x)的值域．解(1)f()＝2sinω·cosω＋23cos2－3＝sin2ω＋3cos2ω.xaxx由题意知f(x)的最小正周期为12，2ππ则2ω＝12，得ω＝12.由f(x)的最大值为2，得a2＋3＝2，又a>0，所以a＝1.于是所求函数的分析式为f(x)＝sin

π6x＋

3cos

π6x＝2sin

ππ6x＋3

，令πx＋π＝π＋kπ(k∈Z)，632解得x＝1＋6k(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1＋6k(k∈Z)．πππ(2)由题意可得g(x)＝2sin[6(x－2)＋3]＝2sin6x，所以(x)＝(x)·()＝4sinπx＋π·sinπhfgx636x2sin2π6x＋23sinπ6x·cosπ6xππ1－cos3x＋3sin3x＝1＋2sinπ－π3x6.ππππ当x∈(－1,2]时，3x－6∈(－2，2]，ππ所以sin3x－6∈(－1,1]，即1＋2sin

πx－π36

∈(－1,3]

，于是函数

h(x)的值域为

(－1,3]

．易错发源1、三角函数的看法、引诱公式及同角关系式222π例1、(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x＋y＝1逆时针方向运动3弧长抵达Q点，则Q点的坐标为( )1331A．(－，)B．(－，－)22221331C．(－，－)D．(－，)2222已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．答案(1)A(2)－1(1)已知点Psin3π3π【变式研究】，cos落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()44π3π5π7πA.4B.4C.4D.4(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆订交于点P，已知点P的坐标为34－，5，则5sin2α＋cos2α＋1＝________.1＋tanα18答案(1)D(2)25cos3－cosπ4π4分析(1)tanθ＝3＝π＝－1，sin4πsin43π3π又sin4>0，cos4<0，7π所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝4.由三角函数定义，34得cosα＝－5，sinα＝5，2＝2cos∴原式＝2sinαcosα＋2cosααα＋cosαsinαsinα＋cosα1＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－32＝18.525【名师点睛】波及与圆及角相关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边地点相关，与终边上点的地点没关．应用引诱公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要依据必定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【神机秒术，战胜自我】1．三角函数：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．22sinα2．同角关系：sinα＋cosα＝1，＝tanα.kπ3．引诱公式：在2＋α，k∈Z的引诱公式中“奇变偶不变，符号看象限”．易错发源2、三角函数的图象及应用例、要获得函数y＝sin4x－π的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )2(1)3A．向左平移πB．向右平移π12个单位12个单位ππC．向左平移3个单位D．向右平移3个单位(2)函数f(x)＝sin(ω＋φ)(，ω，φ为常数，>0，ω>0，0<φ<π)的图象以以下图，则f(π)的值为AxAA3________．答案(1)B(2)1(1)∵y＝sin4x－π4x－π分析3＝sin12，∴要获得yπ的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π个单位．＝sin4x－312依据图象可知，A＝2，34T＝1112π－π6，所以周期T＝π，由ω＝2πT＝2.π又函数过点(6，2)，所以有sin(2×π＋φ)＝1，而0<φ<π，6所以φ＝π，则f(x)＝2sin(2x＋π)，66π2ππ所以f(3)＝2sin(3＋6)＝1.【变式研究】(1)已知函数f(x)＝sinωx＋π(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了获得函数g(x)＝cosωx3的图象，只需将y＝f(x)的图象( )A．向左平移π12个单位长度πB．向右平移12个单位长度C．向左平移π个单位长度3D．向右平移π3个单位长度(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπx＋φ＋k，据此函数可知，这6段时间水深(单位：m)的最大值为( )A．5B．6C．8D．10答案(1)A(2)C【名师点睛】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求分析式时，常采纳待定系数法，由图中的最高点、最低点或特别点求A；由函数的周期确立ω；确立φ常依据“五点法”中的五个点求解，此中一般把第一个零点作为打破口，能够从图象的起落找准第一个零点的地点．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换不过相关于此中的自变量x而言的，假如x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确立变换的单位长度和方向．【神机秒术，战胜自我】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象“五点法”作图：π3π设z＝ωx＋φ，令z＝0，2，π，2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：向左φ或向右φy＝sin(x＋φ)y＝sinx―――――――――→平移|φ|个单位10)倍横坐标变成本来的(纵坐标不变y＝sin(x＋)纵坐标变成本来的AA倍―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)．横坐标不变易错发源3、三角函数的性质例、已知函数f(x)＝sinπ－xsinx－2323cosx.求f(x)的最小正周期和最大值；2π谈论f(x)在6，3上的单一性．解

(1)f(x)＝sin

π2－x

sin

x－

23cosx31332x－π3＝cosxsinx－2(1＋cos2x)＝2sin2x－2cos2x－2＝sin3－2，所以f(x)的最小正周期为π，最大值为2－3.2【变式研究】设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．求函数f(x)的最小正周期和单一递加区间；π(2)当x∈[0，6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．解(1)f()＝2cos2＋sin2x＋＝1＋cos2x＋sin2x＋＝2sin(2x＋π)＋1＋，42π则f(x)的最小正周期T＝2＝π，πππ且当2kπ－2≤2x＋4≤2kπ＋2(k∈Z)，3ππ即kπ－8≤x≤kπ＋8(k∈Z)时，f(x)单一递加．3ππ所以[kπ－8，kπ＋8](k∈Z)为f(x)的单一递加区间．当x∈[0，π]时?π≤2x＋π≤7π，64412当2＋π＝π，即x＝π时，sin(2x＋π)＝1.x4284所以f(x)max＝2＋1＋＝2?a＝1－2.a由

ππ2x＋4＝kπ＋2(k∈Z)，kππ得x＝2＋8(k∈Z)，故y＝f()的对称轴方程为x＝kπ＋π，∈Z.28【名师点睛】函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单一性及奇偶性、最值、对称性等问题．【神机秒术，战胜自我】1．三角函数的单一区间：πππ3πy＝sinx的单一递加区间是[2kπ－2，2kπ＋2](k∈Z)，单一递减区间是[2kπ＋2，2kπ＋2](k∈Z)；y＝cosx的单一递加区