微积分-a1第十三周习题课

yx2y例.1yy(x在y0

解:y0x0y0yy(xy2x2yy2x2y(x2y2)x0y0yy(x下凸x0y0yy(x上凸x0f(x)y(xf(x)

dy(x)y(x)x2f(x)2yx2yf(0y(00可知y

f(x)也是初值问题y0 的解.由初值问题解的y(x)2

f(x)y(x)x

y(x)是奇函数x0时,

yx

y(x) y(x)dx

x时.通理,当x时,y(x)yx3例 试研究y0

yxx2y2

y0,

x

y,

x

Miny(x)y(0)yy0y

0,

x

y,

x

yx0,xyx2y2x2xyy3x2y2x4yx2y30是下凸的函数。例.3yy(x)满足条件xy3xy21exy(0)y(0)y(x)Ax2

x

Af(x)Ax2f(0)

f(0)y(0)y(0)0要使y(x

f(x,只要y

f

y

1x

1exx

1x

2A.而

1x

A12例.412y(xcex212

解:y2xcex2,y4x2cex22c xy(1x2)y

y2x21 例

yyy0yxy

yy

(xC)2y 4(xC)2y 41:原式y

yx

x dxlnlnu1lnCxyxe1Cu(lnu2:原式dyy

xylnxxyor

faxpxyqx型方例.7解方程dy1ysin 1

sin

1

y(x)

x(C

e xy(x)1(Csinxdx)1(Ccosx 解2:对方两边同乘x,得xyysinx xysinxxysinxdxC例.8若(x2xyy2yy2xdx12yx

y1(cosxC)x求一般解 (xy2cy2ey y

y2dx(x2xyy2)dy

dx12yxxy2cy2e

yyy=例.10求曲线yyx)yy=1

2tg

tgxtgtg2

1cos将tgyxtgx

x2y2x2y2 (2)2x2y2x2yd

x2y2x2yydyx2y

dx2y2

x2

y2xx2y

xcy22cxc2例.11将质量为m的物体,以初速v0比例系数k0。求物体到达的高度，到这最高处的时间，落到原地时的速度及下落mdvmg上升方程及条件 mdvmg下落方程及条件 mdvmgk2v解：上升方程及条件 kgkgt

kkv0kk

v

t*

mg kkg kkgkg

Hk0k

v0

mdvmgk2v下落方程及条件 例.12某湖泊水量为VA的污水，入湖污水量6

为6,流出量3。己知1999年底湖中有污物5m0，超 。为治污从 m(tP(tQ(t分别表示第t年湖内污物Admm0Vm V Vm(0)5m0

mm0cet2tmm0,t6ln

mm02

32m03例.13yax3

a

解:曲线族yax3 aR满足的方程yax3

yy3yxx23y2

y3

例.14解方程

1(.2ppy)dy

d2yd

dpdypdydx

dp,代入方程得到p

12 2pdpdy,两端积分得到ln(1p2)lnylnc1 dy c1yc1y2c2c1y解此方程得

c1 xc2

dxc 2化简得4(cy1c 21

d2

dy cosydx

sin ) 例.15求解二阶微分方程的定解问题y(1)

,y(1) 解：令

d2y

uuucosyuu2sinyuu0yCu0

uutany

，cos解为uycos

y(1,y(11，得

0

dysiny

lncscycotyty(1得出

3)tany1cosy

1cos1cos1cos

sin例.16求曲线方程，在该曲线上任意点的曲率半径等于夹在该点与横轴之间的法线之长， (1)向下凸； 2)向上凸.解

yy21yy21y1y1 向下凸 ,令py

pdp12

1

cy

cy21ecy21 cy2cy21

cy

exc1 y1exc1exc11Shxc

1，曲线为xc2y2c21 例.17XOY坐标平面上,L过点M(0,1P(xyx0)处的切OP的斜率之差等于ax（常数a0）求L的方程当Lyax8时,确定a的值3解：(Ⅰ)Lyy(xy(1)0LP(xy处切线斜率为ky(x)，y直线OP的斜率k 。由题设知kkaxx。因此yyy yy(xyyxx

yedx[Caxedx x1

x[Cadx]CxaxCa0CaLyax(x1(Ⅱ)Lyaxyax(xy

axax(x2)0，解出两个交点

与(2,2a)LyaxS(a)2[axax(x1)]dxa2(2xx203233a(x2x30

a(4

8)4a 令S(a)4a8得到常数a2 y例.18HhSShs0y孔，若水流出速度v是水深h

v 解y轴方向为水列方程：微元平衡分析,t到tdt的时段内：水深变化dy引起的水量变化=dt时间内流出的水量Sydy即y0

2gyyyt，Sy是已知函ySydyy11Syt y

dt

yyyh

dy 0合后的空气又以同样的速率排出，求t时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度解设在时刻ty(tdy y(t)dt，y(0)ay(t)

e1000

y(t)a

e10002

（min，即废（min例.201m2m时间（水面比出水口高h时，出水速度v0.6 设t时刻水面的高度为hdt时间后水面的高度降低