专题十七推理与证明

1．(2015·浙江，8，中)设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sin tb2ta2＋2at

ta2＋a【答案】 A．若t确定，则t＝|sinb|，b有无数个解，则b2亦有无数解，A错t＝|a＋1|，tt2确定，(a＋1)2a2＋2a＋1确定．∴a2＋2a确定．Bt＝|sinb|，t确定时

CBD

有无数个解，则2

22．(2015·陕西，16，易) 据此规律，第n个等式可 【解析】3ii∴第n个等式应写为1－1＋1－1＋…＋ －1＝1＋1＋…＋1

【答案】

1 1

1．(2012·江西，5，易)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同 【答案】B 为第20项，所以不同整数解的个数为4＋(20－1)×4＝80.2．(2013·浙江，10，中)设a，b∈R

若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( B．a∧b≥2，c∨d≥2 【答案】C 由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.1＝3.PEF第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 【答案】 由反射角等于入射角，利用三角形的相似比，准确画图如图，碰撞的顺序是4．(2014·课标Ⅰ，14，中)A，B，C三个城市时，B城市；C由此可判断乙去过的城市 【解析】由丙可知，乙至少去过一个城市；由甲可知，甲去过A，C且比乙多，且乙没有去过A【答案】96则最短交货期 个工作日【解析】①AB6＋21＋15＝42(个)工作日．所以最短交货期为42个工作日．【答案】1，3，6，10，…记为数列{an}5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个(1)b2012是数列{an}中的 项 (k表示【解析】(1)an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.即 n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…an5b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，所以b2k＝a5k(k∈N*)．b2012＝a5×1006＝a5 (2)由(1)可知 【答案】(1)5 7．(2012·福建，20，12分，中)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个①sin213°＋cos217°－sin13°cos②sin215°＋cos215°－sin15°cos③sin218°＋cos212°－sin18°cos④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cossin215°＋cos215°－sin15°cos 2sin

(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinsin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sin

2

αcos

2

αcos 4sinα＋4cossin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)1－cos sinα(cos30°cosα＋sin30°·sin

2cos2α＋2＋2(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－2sinαcosα－2sin

3 2cos2α＋2＋4cos2α＋4sin2α－4sin2α－4(1－cos＝1－1cos 4cos F(n)为这个数的位数(n＝1212345678910111215个数字，F(12)＝15)数中随机取一个数字，p(n)0n≤2014F(n)n≤100，n∈N*}n∈Sp(n)解：(1)n＝1001920110的概率为p(100)＝11. 2n－9，3n－108，4n－1107，1000≤n≤2(3)n＝b(1≤b≤9，b∈N*)n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；当n＝100时，g(n)＝11，0， 11， n－80， n－80， h(n)＝f(n)－g(n)＝1n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9时，p(9)＝0；n＝90时，p(90)＝g（90）＝

＝1

当

k

n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)p(89)＝8又8<1n∈S时，p(n)1

169

m 9．(2013·重庆，22，12分，难)n

(1)P7

(2)若Pn的子集A中任意两个元和整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，Pn m km∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为 (2)n≥15时，PnA，BA∪B＝Pn⊇In.1∈A1＋3＝223∉A3∈B.同理，6∈A，10∈B15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集．P14k＝1 m km∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取 {3，5，7，8，10，12，14}A1，B1 m m

当k＝4

m∈I14中除整数外剩下的数组成集合，，

2稀疏集的并：A2＝，， ，B2＝， 2 2 m

m∈I14中除正整数外剩下的数组成集合

，，

3 A3＝3，3，3，3，3 B3＝3，3，3，3，3 kA＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3ABnP14

考向 类比推理的应(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确题(猜想(1)(2015·山东菏泽二模，14)已知数列{an}为等差数列，若∈N)am＋n＝n－m.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N)＝d(n－m≥2，m，n∈N)，则可以得到

OB′ ＝1′，则

OA′OB′OC′

△△△△△△△△

ABC＋S

ABC＝S (1)设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为q，则等差数列中an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中bn＝b1qn－1.

＝n－m

H点．则 O-BCDV-BCD

­VO­­11VE＝h11

＝VV同理有

VO­

VO­

VO­DF＝VD­VBC；BG＝VB­VCD；CH＝VC­ VO-BCD＋VO­VBC＋VO­VCD＋VO­

VV­­­ VV ＝VV­­【点拨】解题(1)的关键是找出等差数列与等比数列的关联；解题(2)的关键是把平面几何的元素类类比推理的应用方法及步骤情形有：平面与空间类比，低维与类比，等差数列与等比数列类比，数的运算与向量运算类比，实(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确题(猜想

类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比 【解析】依题意有T4＝b1b2b3b4，T8＝b5b6b7b8，T12＝b9b10b11b12，T16＝b13b14b15b16. qT4，T8，T12，T16q16 【答案】 【解析】1∶21∶41∶2【答案】

考向 归纳推理的应

1

nkN(n，k)(k≥3)kn

＝2n三角形数 1 1＝2n正方形数五边形数 3 1＝2n六边形数 照此规律，第n个等式可 【解析

2

， 2n＝2n＋2 N(n，4)＝n2＝2

2

， 2n＝2n＋2 N(n，6)＝2n2－n＝2n2＋2 N(n，k)＝2n2＋2 故 ＝1100－100＝1式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)． (1)1000【点拨】解题(1)的关键是观察已知式子的规律并改写形式；题(2)常见的归纳推理类型及相应方法 15)f(x)＝x(x>0)＝ x，＝＝ x ＝＝ x ＝ 当n∈N*且n≥2时 【解析】由f(x)＝x f1(x)＝f(x)＝xf2(x)＝f(f1(x))＝ f3(x)＝f(f2(x))＝ n∈N*n≥2 【答案】

考向 演绎推理的应(1)演绎推理是由一般性题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然理．演绎推理的前(2)演绎推理的主要形式就是由、推出结论的式推理(2015·福建三明调研，20，12分)数列{a}nSa

Sn(n∈N*)．证明(1)数列n

n＋1＝

【证明

n，即

2·n 故n2为公比，1为首项的等比数列．(结论

＝4an(n≥2)，(又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(nSn＋1＝4an.(结论(第(2)问的是第(1)问的结论及题中的已知条件 演绎推理的应用方法(1)在应用推理来证明问题时首先应该明确什么是问题中的和在演绎推理中，(2)用证明的基本模式是①——已知的一般原理②——所研究的特殊情况在证明的过程中，往往不写出来(1)a>0且－b(2)f(x)＝0在(0，1)a＋b＋c＝0ba＋b＋c＝0ca＋b<0 b2

b(2)方法一：∵抛物线f(x)＝3ax＋2bx＋c的顶点坐标为

又 b

而 f(x)＝0在(0，1)内有两个实根． x轴的两个交点落在区间(0，1)内，即方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．f(x)＝0x1，x2

，x1x2＝c>0又

11．(2014·宜昌二模，7)如图所示的三角形数阵叫“调和三角形”，它们是由整数的nn个数且两端的数均为

2＝3＋6，3＝4＋12，则第10行第4个数(从左往右数)为 11 1 1

1

1

1【答案】 设第n行第m个数为

m)，由题意知a(7

a(8

a(9

a(10 ，∴a(102)＝a(91)－a(10

，

，

，

， ，

2)＝a(71)－a(8

＝a(81)－a(9

，a(9

2)－a(92)＝

，，

＝a(9

则第10行第 1

P-ABCV12，则S＝42

，则881

919【答案】 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维a，EABC的中心，O球球心，则 3，DE＝6＝a＝OA＝R，OE＝r，

3R＝3a－R＋3a ∴R＝6，r＝6 123∶1，P-ABCV1V2

1之比等于27①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若∈Ra＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝da，b，c，d∈Qa＋b2＝c＋d＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b其中类比结论正确的个数是() 【答案】CCa－b＝0a，bQa＋b2＝c＋d2，则(a－c)＋(b－d)2＝0a＝c，b＝34．(2015·荆州一模，10)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式( D．n【答案】C ……n

5．(2015·陕西西安一模，6)在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2013＋a2014＋a2015＝( B．1 D．1【答案】BA(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，由此可知数列的偶数项个是从1开始逐渐递增的且都等于所在项的下标除以2，则a2014＝1007，每四个数为一组，其中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－12014÷4＝5032a2013＝504，a2015＝－504，a2013＋a2014＋a2015＝504＋1007－504＝16．(2015·山西大学附中二模，13)2mn52＝1＋3＋5＋7＋9m3(m∈N*)73m 【解析】23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋1923起，m3的分解规律恰为数列3579…2333的分解中最小的数是73，∴m2－m＋1＝73，解得m＝9.【答案】1π17．(2014·湖南长沙二模，15)

3cos5cos5 cos7cos7cos7 若数列{an}中，a1＝cos3，a2＝cos5cos5πa3＝cos7n

71

7 ＝1024【解析】(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为1π

＝1

(2)由(1)an＝1

22

＝1－1

11【答案 π 2π n【答案 ＝(n∈N

(1)判断函数f1(θ)，f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论(2)

n 解：(1)f1(θ)，f3(θ)在0，4上均为单调递增函数 f1(θ)＝sinθ－cosθθ1<θ2，θ1，θ2∈04 则sinθ1<sinθ2，cos <cos∴f1(θ1)－f1(θ2)＝(sinθ1－sinθ2)＋(cosθ2－cos 即 又原式右边(2015·福建，22，14分，难)已知函数f(x)＝ln x>1kx0>1x∈(1，x0) 由f′(x)>0得

1＋2解得1＋2 1＋故f(x)的单调递增区间是 (2)则有 x∈(1，＋∞)F(x)在[1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)<F(1)＝0，x>1(3)由(2)k＝1x0>1满足题意．当k>1时，对于x>1，f(x)<x－1<k(x－1)，则f(x)<k(x－1)，x0>1xk<1G(x)＝f(x)－k(x－1)，x∈(0，＋∞)，则有G′(x)＝1－x＋1－kx G′(x)＝0 2 2

当x∈(1，x2)时，G′(x)>0，G(x)在[1，x2)内单调递增．x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)＝0，即f(x)>k(x－1)，综上，k的取值范围是 x3＋ax＋b＝0x3＋ax＋b＝0x3＋ax＋b＝0x3＋ax＋b＝0【答案】A “方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.q－1}(1)q＝2，n＝3(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中证明：若an<bn，则时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2(2)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<bn，可得

3．(2014·辽宁，21，12分，中)已知函数f(x)＝π(x－cosx)－2sin 1－sinsinsinππ

证明：(1)x0∈02 (2)x1∈2，πg(x1)＝0，且对(1)x0 证明：(1)x∈02时，f′(x)＝π＋πsinx－2cos f2＝2 x0∈02

cosx (2)x∈2，π

sinπtcossinπ

1＋sin t＝π－x

-t＋1，t∈0，2

.π（1＋sin由(1)t∈(0，x0) 当t∈x0，2

在x0，2u(t)u2＝0t∈x0，2

∴u(t)在x0，2上无零点 在(0，x0)u(t)u(0)＝1，u(x0)<0t0∈(0，x0) t0∈02 x1＝π－t0∈2，π x1∈2，π 4．(2013·湖南，21，13分，难)f(x)＝1－x (2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)解：(1)f(x)的定义域为

＝

1－x exx<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2)证明：当x<1时，由 x>1f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)

此不等式等价于(1－x)ex－exg(x)＝(1－x)ex－exx∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)即(1－x)ex－ex所以x2∈(0，1)f(x2)<f(－x2)，从而f(x1)<f(－x2)．x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)x1<－x2bn＝nSn，n∈N*c c＝0b1，b2，b4成等比数列，证明：Sn若{bn}是等差数列，证明证明：由题意得 c＝0bn＝n＝a＋22b1，b2，b4成等比数列，所以b2＝b1b4，2

a＋3即

d≠0m∈N*k，n∈N*Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，nSn

d－1 ＝b1＋(n－1)d1，n∈N，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N，有 dn

2 2A＝d1－1，B＝b1－d1－a＋1 D＝c(d1－b1)n∈N*，有在(*)式中分别取n＝1，2，3，4，得 从而有 由②③A＝0，cd1＝－5B，代入方程①B＝0d1－1

d1＝0d1－1＝0与题设，所以cd1＝0A1A2A＝d1B，CB1B2＝d2，C1C2＝d3d1<d2<d3AB，AC的中S中．DEFG在△ABCBC＝a，BChS.ABC量(A1B1C1­A2B2C2V)V＝S·h

1 V估V

解：(1)A1A2ABC，B1B2ABC，C1C2ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3d1<d2<d3，所以四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形．AA2MEFN，AA2⊂AA2B2BAA2B2BMEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.A1A2∥FGM，NAB，AC 1

2(A 1

2(A 而d1<d2<d3，故DE<FG，DEFG是梯形．(2)V估<V.A1A2ABC，MN⊂ABCEM∥A1A2EM⊥MN由MN是△ABC的中位线，可得 ＝1，即为梯形DEFG的高S中＝S梯形

d1＋d322 22即V估＝S中 8又 ，所以

于是V－V估

6

6

8d1<d2<d3d2－d1>0，d3－d1>0V－V估>0V估

考向 分析法的应是一种“执果”的证明方法．(2013·江苏，21，10分)a≥b>0 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，【点拨】在证明时，无法直接找到思路，可用分析法证明或用分析法找出证明途径，再用综合法利用分析法证明时应注意的问题应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐a2＋1(2015·江苏南通模拟，21，a2＋1

证明：要 a2＋1－

只需 a2＋1＋2≥a＋1＋ a2＋1

即证a2＋1 a2＋1＋4≥a2＋1＋2＋2

从而只需证 a2＋1≥ a21≥2考向 综合法与分析法的综合应

(P表示条件，Q表示要证的结论提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理(2013·，20，13分)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前Ain－iai＋1，ai＋2，…，anBi，di＝Ai－Bi.(1)设数列{an}3，4，7，1d1，d2，d3的值；d1，d2，…，dn－10d1>0，证明：a1，a2，…，an－1【思路点拨】(1)d1，d2，d3的值可根据所给定义进行求解；(2)dn的通项后利用定【解析 (1)当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1－B1＝2，同理可求得证明：因为a1>0，公比q>1，a1，a2，…，an是递增数列．di≠0且di即dd1，d2，…，dn－1的公差．对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.a1，a2，…，an－1是递增数列．因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．d1＞0，B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<an－1.B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.又di＋1－di＝d，i＝1，2，…，n－2ai＋1－ai＝di＋1－di＝d，即a1，a2，…，an－1是等差数列．综合法与分析法综合应用的对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)(2013·辽宁，20，12分)(1)证明：当 2≤sinx≤x；2 (2)ax＋x2＋2(x＋2)cosx≤4x∈[0，1]a2解：(1)F(x)＝sinx－222F′(x)＝cosx－2 当

当 ≥2又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sin≥2sin2综上，2

≤sin(2)x∈[0，1] ax＋x＋2＋2(x＋2)cos (a＋2)x＋x＋2－4(x＋2)sin

2≤(a＋2)x＋x＋2－4(x＋2)4 所以， －时，不等 ＋

恒成立

x＋2

2)cos

-时，不等

＋

不恒成立

x＋2

2)cos

x∈[0，1] ax＋x＋2＋2(x＋2)cos (a＋2)x＋x＋2－4(x＋2)n

≥(a＋2)x＋x＋2 (a＋2)xx－≥(a＋2)x322 2所以存

满 ＋

x0取3和2中的较小值

x0＋ 2)cos 即

＋

x＋2

2)cos

综上，实数a的取值范围是则

3＝ ＋2x ＋ － 2＝ ＋2x ＋ －f′(x)＝a＋2x＋2＋2cosx－2(x2)·n记G(x)＝f′(x)，则′(＝2＋3x－4nx－2(＋2)cosx∈(0，1)

1，因此 2

－(x＋2＝(2－2×cos 2×f′(x)在[0，1]x∈[0，1]时，f′(x)<f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)<0，f(x)在[0，1]所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时

＋

恒成立 x＋2

2)cos

-时，不等

＋

不恒成立

x＋2

2)cos

22由于f′(x)在[0，1]上是减函数，且f′(0)＝a＋2>0，f′(1)＝a＋7＋2cos1－6na≥6sin－2cos1－7时，f′(1)≥0，222x∈(0，1)时，f′(x)>0f(x)在[0，1]f(1)>f(0)＝0；当－2<a<6sin1－2cos－7时，f′(1)<0.2f′(0)>0x0∈(0，1)f′(x0)＝00<x<x0时，f′(x)>f′(x0)＝0f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)>f(0)＝0.

-时，不等

＋

x＋2

2)cos

综上，实数a的取值范围是2思路点拨：(1)sinx与2

考向 反证x存在某个xxxnn－1pp且nn＋1pp或(2013·陕西，17，12分)设{an}q(1)推导{an}n(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列 (1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时q≠1①－②

(2)证明：假设{an＋1}k1a2＋k111∴q＝1，这与已知用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的成立；(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理M，NAB，DF(1)CD＝2ABCDDCEFMN(2)MEBN解：(1)CDGABCD，DCEF2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.ABCD⊥∴MG MG2＋NG2＝(2)MEBNAB⊂MBENMBENDCEF∴AB⊄又∵AB∥DC，∴AB∵ENMBENDCEF的交线，∴AB∥EN.∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E，故假设不成立MEBN 【答案】B “三角形三个内角至少有一个不大于60°”的是“三个内角都大于2．(2015·二模，5)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( 2

A．2ab－1－ab B．a＋b

2 －1－ab D．(a－1)(b【答案】 ∵a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选3．(2015·山西太原期中检测，13)下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0 使a＋b≥2成立的条件的序号 【解析】要使

2成立，则

ab同号，故①③④均能使

2

【答案】4．(2015·山东德州一模，13)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2弦值，则△A2B2C2 三角形【解析】由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1△A2B2C2 sinA2＝cos

2 由sinB2＝cosB1＝sin2－B1B2＝2 sinC2＝cosC1＝sin2

C2＝2 π那么，A2＋B2＋C2＝2，这与三角形内角和为180° 所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形，所以△A2B2C2【答案】5．(2015·洛阳一模，20，13分)数列{an}，{bn}的每一项都是正数，a1＝8，b1＝16，且an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1a2，b2求数列{an}，{bn}的通项公式， 1 ＋ ＋ ，

1解：(1)2b1＝a1＋a2由 ，可 b b

1∵an，bn，an＋1成等差数列n1∵bn，an＋1，bn＋1成等比数列，∴a2n1∵数列{an}，{bn}的每一项都是正数 于是当n≥2时 将②③代入①式，可得2 ∴数列{bn}42∴bn＝b1＋(n－1)d＝2n＋2，于是bn＝4(n＋1)2.则an＝ 当n＝1时，a1＝8，满足该式子，n证明：由(2)∴ 4n2＋4n－1 1 － n≥3 1

11－1＋1－1

－

－

< ＋

4n2＋4n－1

<1＋1 n＝1时，1n＝2时，11 23 综上所述，对一切正整数n，有 ＋ ＋ ＋…＋ 2123n1a123n1

a

a

a－6．(2015·荆门一模，17，12分)已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)－x＝0f(x)f′(x)0<f

sin

M＝2＋4Mfx)f(x)[n]Dx0∈(，n)f(n－f()＝(－)f′(0)f(x－x＝0有且只有一个实数根．解：(1)①x＝0时，f(0)＝0f(x)－x＝0 4cos

由①②f(x)＝x＋sinxM (2)f(x)－x＝0α，β(α≠β)，则f(α)－α＝0，f(β)－β＝0.α<βc∈(α，β)，满足f(β)－f(α)＝(β－α)f′(c)．f(α)＝α，f(β)＝β所以f′(c)＝1，与已知0<f′(x)<1．又f(x)－x＝0有实数根，f(x)－x＝0(时间：90分钟分数：120分一、选择题(10550分x都成立，则( 【答案】 4a2－4a－3<0.解得－1<a<3. 使用了“”，但错使用了“”，但错【答案】C 由定义判断，由于是特称命题，而全称命题，故选C.3．(2014·山东潍坊二模，8)①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( 【答案】D 4．(2015·山东日照质检，5)下列推理是归纳推理的是 A．A，BP满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|Pa1＝1，an＝3n－1S1，S2，S3nSn

x＋y

的面积πr，猜想出椭圆a2＋b2＝1【答案】 由A可知其为椭圆的定义Ba1＝1，an＝3n－1S1，S2，S3nSn

Cx＋y

的面积πr，猜想出椭圆a2＋b2＝1S＝πabD 【答案】 72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11773的末两位数字相同，应为43，故选则标上数字：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，依此类推，则为20132的格点的坐标为()A．(1006，1 B．(1007，1C．(1008，1 D．(1009，1 因为点(1，0)处标1＝12，点(2，1)处标9＝32，点(3，2)处标25＝52，点(4，3)处标49＝72，依此类推得点(1007，1006)处标20132.故选B.7．(2015·黑龙江哈尔滨一模，8)设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数有xn＋1＝f(xn)，则x2 x1234541352 【答案】C 数列{xn}4x2015＝x503×4＋3＝x3＝4C.①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有②loga(xy)＝logax＋logaysin(α＋β)sin(α＋β)＝sinαsin(a＋b)2＝a2＋2a·

【答案】 ①不妨取n＝2，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2，故①类比错误②∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ≠sinαsinβ(a＋b)2＝a2＋2a·9．(2013·，10)设函数f(x)＝ex＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使＝b成立，则a的取值范围是( 【答案】A 易知f(x)＝ex＋x－a在定义域内是增函数，由f(f(b))＝b，猜想f(b)＝b.f(b)<bf(f(b))<f(b)<b，与题意也不符，f(b)＝bf(x)＝x在[0，1]∴x∈[0，1]时，ex＋1≥2，2x≤2，1≤a≤eA.10．(2014·芜湖三模

方程169①f(x)RF(x)＝4f(x)＋3x

A．①②B．②③C．①③④D．①②③

16＋9【答案】 ＋9＝1，即 1－16.当x>0，y<0时，方程为16－9＝－1，即 16＋1.当x<0，y>0时 方程为－16＋9＝－1，即

9＝－1和－169＝－1y＝±4xF(x)＝4f(x)＋3x可知函数的值域为R，所以③正确．若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则函数y＝g(x)的图象就

方程16＋ ＝－1，即16＋9＝1，所以④错误．综上，①②③正确，故选二、填空题(4520分1S3，S4，则四面体的体积 【解析】OOR，根据三角形的面积的求解方法(分割法)OO为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， 3【答案】3数1，2，3，…，n，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(一行少一个数)，依次类推，最后一行(n行)n＝6n＝2时，最后一行的数 【解析】设最后一行(n行)an，则通过计算，容易得到：a2＝3＝3×20，a3＝8＝4×21，a4＝20＝5×22，a5＝48＝6×23，a6＝112＝7×24，…，由此，可猜测：an＝(n＋1)×2n－2n＝2013时最后一行的数是2014×22011.【答案】2014×22—13．(2012·湖南，16)n∈N*nn＝ak×2k＋ak1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20i＝k时，ai＝10≤i≤k－1时，ai01.定义bn如下n的上述表示中a0，a1，a2，…，ak中等1的个数为奇数时，bn＝1bn＝0.— 记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数则cm的最大值 【解析】(1)2＝1×2，b2＝1；4＝1×22，b4＝1；bn＝0a0＝0akak－1…，a1中有偶数个1，bn＋2＝0若，则，则，此时n为奇数，n＝ak×2k＋…＋1×20n＋1＝a′m×2m＋…＋a′1×21＋0×20，若bn＋1＝0，此时cm＝0；bn＋1＝1n＋2＝a′m×2m＋…＋a′1×21＋1×20，bn＋2＝0，综上所述，cm【答案】 14．(2015·调研，16)定义：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足 x0y＝f(x)在区间[a，b]f(x)＝－x＋mx＋1间[－1，1]上存在均值点，则实数m的取值范围 【解析】由题意设函数f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－1，1]上的均值点为x0(－1<x0<1)，则mm2 ＝mf(x)＝－x＋mx＋1x＝2