第61讲用初等变换化二次型为形

线性代数59主讲 大 教 July July高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网概率论与数理统计70讲 传课 考研题评讲 传课：:@:

July我在及线我在及线性代数59讲受。课程高等数学138 各地大学生的课程的望对你的学习有所帮助希望此课件仅用望对你的学习有所帮助希望此课件仅用于你的学习。请尊大(联 的著作权，切勿在大(联 July5.6第61讲用初等变换化二次型为标准形大观 July在第58~60这一讲我们讲用初等变换将二次型化为准形的方没有这个内 July由上一讲知，任何实对称矩阵A，都存在可矩阵C，使 大CTAC 对角矩而可逆矩阵都大 C 其中Qi都是初等矩则(QQ...Q)TAQQ...Q则 QT...QTQTAQQ...Q July复习初等矩阵（27讲由单复习初等矩阵（27讲由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵初等矩阵有三种，分别对应三种初等变E的第ij两行(列)E(ij)非零数k乘以E的第i行(列)E(i(k))Ejki行，得初等矩阵E(ij(k))川 orE的i列k倍加到j列川 July复习：初等矩

大 July 交换E的第ij两行(列)，得初等矩阵E(ij) 0

0 E

0r2

0 E(2,3)0

0c2

0 1

1 大 这种初等矩阵是对称的正交阵：E(i, E(i,E(ij右乘AAi,jE(ij)TAAi,j July非零数k乘以E的第i行(列)，得初等矩阵E(i(k))0 00

0 E

r2

0 E(2(k))0 0 1 大

c2

0 1 四这种初等矩阵是对称阵：E(i(k))T四

E(i(kE(i(kAAiE(i(k))TAAik JulyE的第j行的k倍加到第i行，得初等矩阵E(ij(k))。E的第i列的k倍加到第j列 0 0

0E

E(2,3(k)) 0

0 1

：这种初等矩阵不是对称 E(i,j(k)TE(j,i(k： 0 大E(2,3(k

0E(3,2(k 0学 1学

July(3Ejki行，得初等矩阵E(ij(k))E的i列k倍加到j 0

E(2,3(k))

0 E(2,3(k))T0

E(3,2(k)) 0

0 01 1 01

这种初等矩阵不是川川

E(i,j(k))TE(j,i(k))E(ij(k右乘AAi列的kjE(ij(k))TAAikj JulyE(i,

这种初等矩阵是对称E(ij)TE(iE(ijAAijE(ij)TAAijE(i,j)TAE(i,j)E(i,j)AE(i,先交换A的两i,j列，得B， 再交换B的i,j两行，得C。 JulyE(i(k))

这种初等矩阵E(i(k))TE(i(kE(i(k右乘AAiE(i(k))TAAik大E(i(k))TAE(i(k)) ))AE(i大先先将Ai列乘以非零k再将Bi行乘以非零k，C JulyE(i,j(k

这种初等矩阵不是对称 E(i,j(k))TE(j,i(k))E(ij(k右乘AAi列的kjE(ij(k))TAAikj大E(i,j(k))TAE(i,j(k))E(j,i(k))AE(i,j(k))先将先将Aik倍加到j列再将Bik倍加到j行C July由上一讲知，任何实对称矩阵A，都存在可矩阵C，使CTAC对角矩 大而可逆矩阵都 C 其中Qi都是初等矩设(QQ...Q)TAQQ...Q设 大QT...QTQTAQQ...Q 大 July C 其中Qi都是初等矩得(QQ...Q)TAQQ...Q 大得 即QT...QTQTAQQ...Q对角即 2..Q大 QT...QTQTAQQ...Q E C

July用初等变换化m 2 1 E 1 2 m QT...QTm 2 1 E 1 2 m 行变换把对称矩阵A化为对角阵Λ时，CTAC July用初等变换化用初等变换化A列变换行变换E C行变换把对称矩阵A化为对角阵Λ时，CTAC同济《线性代数》(五版)137页31(3)题改 QT...QTQTAQQ...Q 大 E C大

列变换+行

E 210A101并求矩阵CCTAC

列变

C

July210

A 1 01

第二列减第一列的 第二行减第一行的 0 0大学210

11

014 0

0 4E

0

0

0

0

0

1

1 第二列的2倍加到第三第二第二列的2倍加到第三2 0 0

0

0

0

0 4 0 2

2

E

10

1

0 2

2 1 1

1

July2 0 0

0210

0

11

014

2 大

C1E 1

11 1 2

C 2大 大

1 1 210

2

A

1

0

01

A:=array([[2,1,0],[1,1,-1],[0,-C:=array([[1,-1/2,- 1 122

1

C

2 1 川大满 CTAC 大

July角线元素全是1

第一列除以sqrt(2)第一列除以sqrt(2)第三列除以

0 0第一行除以sqrt(2)第二行乘以sqrt(2)第三行除以大第一行除以sqrt(2)第二行乘以sqrt(2)第三行除以 0

0

0

1

1 21

1

11

2

2

2 2 1 1

2 1 2

July 00210 0

0

11014

1 11 大

E

2 2

1 22

July 同济《线性代数》(五版)137页31(1) 112 大解

A1 0 5 5下面求可逆矩阵C，使 CTAC

ffx23x25x22xx4x123 则在变x=Cy下，f变成规范形 July11

对角

A1 0 第二列减第一 第二行减第一 5

第一列的2倍加到第三 第一行的2倍加到第三 11111211002022111210011 0 A2 5E10 E10 大 0大 1 July已对角 大 0 2

第三列减第二 0 0

第三行减第二 0 0

A 1 1 1E 1121

31 3 0

011

011 1

1

0 1

July 0

第二列除以 0

第二行除以 0 0大

0 0001

1

1

3 3E

1 3 011

1 四 四

1

0 1

1

1 July 0

11

100

0 A1 0

010

1

5 5

00

大 3 E C 1

CTAC2 12

xCy

xTAx(Cy)TA(CyT(CTAC)yyT

July11

100

A1 0

010

5 5

00

2C 12

11 1

x1

y1 1

x2