专题训练(五) 因式分解的八种用途

专题训练（五）因式分解的八种用途►类型一用于简便计算1•利用简便方法计算：23X2.718+59X2.718+18X2.718.2•计算：d—±）X（1—±）X（1—占必…"1—20^2）；►类型二用于化简求值x+y=5—m,已知关于x,y的二元一次方程组｛则4x2—4xy+y2的值为x—2y=m+1,已知x—y=5,xy=—6,求多项式x3y—2x2y2+xy3的值.已知x—2y=3,x2—2xy+4y2=11.求下列各式的值:(1)xy；(2)x2y—2xy2.►类型三用于判断整除随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数,把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数,并用较大的两位数减去较小的两位数,所得的差一定能被9整除吗？为什么？►类型四用于判断三角形的形状已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状．8.已知△ABC,ZA,ZB,ZC所对的边分别为a,b,c,且满足a2c2—b2c2=a4—b4,试判断△ABC的形状.►类型五用于比较大小设a=192X918,b=8882—302,c=10532—7472，则数a,b,c按从小到大的顺序排列，结果是VV.已知A=a+2,B=a2+a—7，其中a>2,试比较A与B的大小.►类型六用于面积的计算如图5—ZT—1是L形钢条截面，请你写出它的面积公式.并计算：当a=54mm,b=54.5mm,c=8.5mm时的面积.图5—ZT—112.观察：22—12=(2+1)X(2—1)=2x(1+2)X2=3；42—32+22—12=(4+3)X(4—3)+(2+l)X(2—1)=4+3+2+1=2x(1+4)X4=10；62—52+42—32+22—12=(6+5)X(6—5)+(4+3)X(4—3)+(2+l)X(2—1)=6+5+4+3+2+1=|x(1+6)X6=21.探究：82—72+62—52+42—32+22—12=(直接写出答案)；(2n)2—(2n—1)2+(2n—2)2—(2n—3)2+・・・+22—12=(直接写出答案)；应用：如图5—ZT—2，2018个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为2018cm,向里依次为2017cm,20161cm,那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少(结果保留n?图5—ZT—2►类型七用于解方程(组)13.已知大正方形的周长比小正方形的周长多96cm,大正方形的面积比小正方形的面积多960cm2.请你求这两个正方形的边长.►类型八用于探究规律14.观察下列各式：12+(1x2)2+22=9=32,22+(2x3)2+32=49=72,32+(3x4)2+42=169=132,•••你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由.详解详析1．［解析］直接利用提公因式法求解即可．解：23X2.718+59X2.718+18X2.718=(23+59+18)X2.718=100X2.718=271.8.2.解：原式=(1+g)X(1—2)X(1+3)X(1—^XU+^XQ—4)X・・・X(1+20^)X(1—_^)=3x1x4x2x5x3x_x2020x20^=1x2020=^2019)=2x2x3x3x4x4xx2019x2019=2x2019=2019.3•［答案］36fx+y=5—m①，［解析］1_①+②，得2x—y=6，贝9原式=(2x—y)2=36.x—2y=m十1②，解：x3y—2x2y2+xy3=xy(x2—2xy+y2)=xy(x—y)2.当x—y=5，xy=—6时，原式=—6X52=—150.解：(1)°.°x—2y=3,.°.x2—4xy+4y2=9,(x2—2xy+4y2)—(x2—4xy+4y2)=11—9,即2xy=2,Axy=1.(2)x2y—2xy2=xy(x—2y)=1X3=3.［解析］假设原两位数的个位上的数字是b,十位上的数字是a(a>b),则这个数是10a+b.十位数字与个位数字对调后的数是10b+a,只要证明这两个数的差能分解为9乘某个整数即可.解：所得的差一定能被9整除.理由如下：设原两位数个位上的数字是b,十位上的数字是a,且a>b,则这个两位数是10a+b,将十位数字与个位数字对调后的数是10b+a,则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a+b)—(10b+a)=9a—9b=9(a—b),所以所得的差一定能被9整除.解：*.*a2+b2+c2—ab—be—ac=0,.2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ac=0,即a2—2ab+b2+b2—2be+e2+a2—2ae+e2=0,.(a—b)2+(b—e)2+(a—e)2=0.又°.°(a—b)2±0,(b—e)2±0,(a—e)2±0,.a—b=0,b—e=0,a—e=0,即a=b=e,.AABC为等边三角形.［解析］已知等式左右两边因式分解后,移项提取公因式,根据“两数乘积为0,两因式中至少有一个为0”得到关系式,即可作出判断.解：已知等式变形得e2(a2—b2)=(a2+b2)(a2—b2),移项,得e2(a2—b2)—(a2+b2)(a2—b2)=0,因式分解，得(a+b)(a—b)［e2—(a2+b2)］=0.*.*a,b,e为AABC的三边长，.：a+bMO..a—b=0或e2—(a2+b2)=0,即a=b或e2=a2+b2,则AABC为等腰三角形或直角三角形.［答案］aeb［解析］因为a=192X918=361X918,b=8882—302=(888—30)X(888+30)=858X

918,c=10532—7472=(1053+747)X(1053—747)=1800X306=600X918,所以aVcVb.解:B—A=a2+a—7—a—2=a2—9=(a+3)(a—3).因为a>2,所以a+3>0,从而当2VaV3时，a—3<0,所以A>B；当a=3时,a—3=0,所以A=B；当a>3时，a—3>0,所以A<B.[点拨]根据a的取值范围分类讨论是正确解此题的关键.[解析]把L形钢条分为两个矩形，求其面积，然后将a,b,c的值代入求解即可.解：L形钢条的面积=ac+(b—c)c=ac+bc—c2=c(a+b—c).当a=54mm,b=54.5mm,c=8.5mm时,原式=8.5X(54+54.5—8.5)=850(mm2),即面积为850mm2.解：(1)36(2)n(2n+1)(3)n・20182—n・20172n・22—n=nX(20182—20172——22—1)=nX(2018+2017——2+1)=^XnX(1+2018)X2018=2037171n(cm2).13.解：设大正方形和小正方形的边长分别为xcm,ycm,根据题意,,f4x—4y=96，①根据题意,/p得.<由①，得x—y=24.③[x2由①，得x—y=24.③由②，得(x+y)(x—y)=960,④把③代入④，得x+y=40.⑤x—x—y=24,由③⑤得方程组Ly=40,x=32,解得｛o[y=8.因此，大正方形的边长为32cm,小正方形的边长为8cm.4x—4y=96,[点拨]根据目前我们所学的知识，还无法解方程组但是我们可以