2023年一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式知识点一：不等式的概念14不等式:用（或），“＞”（或“2”）等不等号表达大小关系的式子,叫做不等式,用“W”表达不等关系的式子也是不等式.a要点诠释：（1）不等号的类型：①“力”读作“不等于"，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②读作“大于”，它表达左边的数比右边的数大；A③“V”读作“小于”，它表达左边的数比右边的数小；④“2”读作“大于或等于”，它表达左边的数不小于右边的数；小⑤读作“小于或等于”，它表达左边的数不大于右边的数;a（2）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表达现实世界中的数量关系，等式表达相等关系，不等式表达不等关系，但不管是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。a（3）要对的用不等式表达两个量的不等关系，就要对的理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。2.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解,要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边运用不等式的概念进行判断。3.不等式的解集：一般地，一个具有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如:不等式X-4V1的解集是xV5.不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.两者的关系是:解集涉及解，所有的解组成了解集。总要点诠释:不等式的解集必须符合两个条件：a（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）可以使不等式成立的所有的数值都在解集中。a知识点二:不等式的基本性质a基本性质1:不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。符号语言表达为：假如々＞8,那么以＞81。④基本性质2：不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。ab—＞一符号语言表达为：假如々＞8,并且c＞°,那么ac＞尻（或cc…基本性质3：不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。a符号语言表达为：假如々＞8,并且,那么＜小已（或ab一〈一CC）遵点诠释：（1）不等式基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；a（2）要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅涉及相同的数，尚有相同的单项式或多项式；（3）“不等号的方向不变”，指的是假如本来是“＞"，那么变化后仍是“＞"；假如本来是，那么变化后仍是；“不等号的方向改变”指的是假如本来是,那么变化后将成为；假如本来是，那么变化后将成为“2”；（4）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3,在乘（除）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，假如是负数，要记住不等号的方向一定要改变。a知识点三：一元一次不等式的概念屈只具有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1,系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。◎要点诠释：（1）一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只具有一个未知数；③未知数的最高次数为1。一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。a相同点：两者都是只具有一个未知数，未知数的最高次数都是1,左右两边都是整式;不同点:一元一次不等式表达不等关系（用“>”、"V”、“2”、连接），一元一次方程表达相等关系（用连接）。总知识点四：一元一次不等式的解法1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式。2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般环节为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个环节并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用（2）解不等式应注意:①去分母时，每一项都要乘同一个数，特别不要漏乘常数项;②移项时不要忘掉变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表达:a在数轴上可以直观地把不等式的解集表达出来，能形象地说明不等式有无限多个解,它对以后对的拟定一元一次不等式组的解集有很大帮助。a要点诠释:在用数轴表达不等式的解集时，要拟定边界和方向：a（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；⑵方向：大向右，小向左规律方法指导（涉及对本部分重要题型、思想、方法的总结）1、不等式的基本性质是解不等式的重要依据。（性质2、3要倍加小心）2、检查一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式,然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。a3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有环节的不等式变形，最终目的是将原不等式变为工>7或X<7的形式，其一般环节是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为lo这五个环节根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意,去分母或化未知数的系数为1时,在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，假如是个正数，不等号方向不变，假如是个负数，不等号方向改变。a解一元一次不等式的一般环节及注意事项变形名称具体做法注意事项去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数同解8WM2分节哪德M和MXi去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均可晶扈坛里分萼色奏蕾首跳猥睛霸螟⑵假如括号移项把籁耦姆楙腌露蛔蹲赣左移项（过桥）变号合并同类项把不等式两边的同类项分别合股把不等式化为ax>b或盘xw0）的形式合并同类项只是将同类项唯。数相加,字母及字母的指数不系数化1在不等西两边同除然未知数的系数白，若qx>力且々>°,则不等式的解集为bX>一々；章”>8且白<0,则不等式的解X■二—集为乙；若白工<8且白>0,则不等式的bX<一解集为a.若ax<b^a<0,则不等x>—式的解集为。；、器3族弧向蠹吊的专费性M定倒4、将一元一次不等式的解集在数轴上表达出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。A5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。6、常见不等式的基本语言的意义：（1）X>°,则x是正数；（2）X<°,则x是负数；KO,则x是非正数；（4）工之0,则x是非负数；（5）工一丁>0,则x大于y；（6）则x小于y；（7）矛之^,则x不小于y;（8）才工丁，则又不大于匕TOC\o"1-5"\h\z->0-<0（9）D>°或y,则X,y同号；（10）D<0或V，则X,y异号；\o"CurrentDocument"XXX—>1—<1—>1（11）”都是正数，若y，则x*；若丁，则xoz（山彳，〃都是负数，若y，则工。；若X一—<1y，则…一元一次不等式（组）知识点1：不等式的定义1.下列各式中不是不等式的为（）A.-2<5B.%+9<2C.5x=8D.6y+l>0知识点2：列不等式2.代数式3x+4的值不小于0,则据此可列不等式为（）A.3x+4<0®B.3x+4>0C.3x+4<0D.3x-f-4>022知识点3：不等式的基本性质的应用3.已知x<y,则--x一-）（用不等号填空）。.已知下列四个不等式中不对的的是（）A.46Z<4/7B.—4a<-4b^>C.a+4<b+4oD.a—4<-4.若攵<0,则下列不等式中不能成立的是（）

A.k—5<k—4毋.6女>5左C.3—左>1—左。D.—>—69知识点4:不等式的解与解集.当x取下列数值时，能使不等式X+lvO,X+2>0都成立的是（）A.-2.5B.-11fx>1.下列说法①x=。是2x—IvO的解；②工;一不是3x—1>0的解；③一21+1<0的解集是x>2；④《的解集是3[%>2X>1,其中对的的个数是（）A.1个B.2个。C.3个D.4个知识点5:不等式的解集的数轴表达.在数轴上表达不等式XN—2的解集，对的的是（）」」।।।]一।1上1111「上■」）।1r-3-2-10-3-2-10-2-1012-3-2-10ABCD知识点6:一元一次不等式的定义9.下列属于一元一次不等式的是（）A.10>8B.2x+l〉3y+2C.2（1+y）>—y-1D.x2+3>5知识点7:一元一次不等式的整数解10.在不等式3x—2v4中，x可取的最大整数值是（）A.0B.1C.2业32个C3D.4个B.」xv—15.不等式2x-l>3x-5的正整数解的个数为（）A.5个2个C3D.4个B.」xv—15知识点8:解一元一次不等式TOC\o"1-5"\h\zX5.不等式一一>5的解集是（）A.x<——33xx一114.解不等式：3x-2(x-3)>414.解不等式：3x-2(x-3)>415.解不等式：1+—14.解不等式：3x-2(x-3)>4Y_CyI1.当X取何值时，代数式——的值不小于1的值。32知识点9：一元一次不等式的应用.小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？.某种商品进价150元，标价200元,但销量较小。为了促销,商场决定打折销售，若为了保证利润率不低于20%,那么至多打几折？.小强借到一本有82页的图书，要在10天内读完，开始2天天天只读5页，那么以后几天里天天至少要读多少页?知识点10：一元一次不等式与一次函数.如图，一次函数y=ar+/7的图象通过儿N两点，则关于x的不等式ox+bvO的解集是（第20（第20题图）（第20题图）（第（第20题图）（第21题图）.直线乙：y=+b与直线4：y=&x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于工的不等式％2%>勺X+人的解集为..某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工。若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需1天，每吨售价400031元;若进行精加工，每吨加工费用为900元,需一天，每吨售价4500元。现将这50吨原料所有加工完。（1）设其中粗加工x2吨，获利y元，求y与x的函数关系式（不规定写自变量的范围）；（2）假如必须在20天内完毕,如何安排生产才干获得最大利润？最大利润是多少?知识点11:一元一次不等式组的解集的数轴表达TOC\o"1-5"\h\z.如图，用不等式表达数轴上所示的解集，对的的是（）JL-10A.x<—l^tx>3^B.x<—>3^C.—l<x<3^D.—1<x<3x+1>0,.把不等式组《一的解集表达在数轴上，对的的为图中的（）U-K0&•<-101——&•<-101——・♦-101_-101-b••►-101A.B.C.D.2x+7>3x-1知识点12：解一元一次不等式组25.解不等式组:12二2>0、5~2—x>0,26.解不等式组<5x+l2x-l并把解集在数轴上表达出来.-I1^******9|||||||||||、23-5-4-3-2-10123453x+l<4知识点13:一元一次不等式组的整数解27.不等式组J13的最大整数解是（）—（x+3）--<0124A.0°B.-1C.12oD.128.同时满足2x-1V0和-3x<1的整数1.知识点14:一元一次不等式组的应用.一个两位数，它的个位数字比十位数字大3,且这个两位数介于50和60之间，则这个两位数是o.现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则尚有19人无宿舍住;若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿人数和宿舍间数。.某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（涉及空白光盘费）;若学校自己刻录，除租用刻录机需120元外,每张还需成本费4元（涉及空白光盘费），问刻录这批光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自己刻录省？请说明理由。.为了加快教学手段现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价为每台5800元，优惠条件是购买10台以上则从第11台开始可按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5800元，但优惠条件是为支持教育每台均按报价的85%计算.假如你是学校负责人，在电脑品牌♦、质量、售后服务等完全相同的前提下,你如何选择?请说明理由.[%<8知识点15:33.假如不等式《无解，那么〃2的取值范围是（）A.m>8B.m>8C.m<8D.m<8[%>m.已知方程2x=k-1的解是正数，则k的取值范围是:；TOC\o"1-5"\h\z.在方程组[2"一'="中，x、y满足x+y>0,则机的取值范围在数轴上表达为（）[2y-x=\-10X-10«-1Ox-1OxA.。B.°C・D.36.已知关于x的不等式2x—m>—3的解的解如图所示，则m的值等于（）A.2oB.1C.-1D.0▲1»-2-10137.若av4,则关于x的不等式（a-4）x>4—。的解集是（）A.x>—1B.xv—1£.x>1D.x<1一元一次不等式中考题一、填空题:1.不等式x+5W9的非负整数解为.一个一元一次不等式组的解是2<xW3,试写出一个这样的不等式组为.[x>a.（2023甘肃）若不等式组〔4—2x>°的解集是一1<X<2,则4=.

（2023山东荷泽）若关于％的不等式mx+13V5的解集是x〉2,则实数m的值为.x+2>0<x-4>0]।x—6<07o-5.不等式组I一的解集是6能使不等式2（3x-l）-（5x-2）>2成立的最大整数值是..已知不等式4x-aWO的正整数解是1、2,则a的取值范围是—.[x>a.若不等式组〔X之”的解集是xeb,则a与b的大小关系为是_.[x>a-3.已知关于X的不等式组〔”415—3"无解，化简I3.a|+|a-2|.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲知蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排人种甲种蔬菜..红、白颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，若把每一个白球都记作数2,每一个红球都记作数3,则所有球总计数为60,那么白球个，红球个..设“•”、表达两个不同的物体，用天平称它们的质量，三次称量情况如图所示,若这两物体的质量是整数，则“■”的质量为质量为克.b1a一〈I-二、选择题:13.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）A.@B.b14.假如a>b,那么下列结论中错误的是（）A.a-3>b_3B.3a>3bC.[x>a[x>-a15.已知0<b<a,那么下列不等式中无解的是（）A.[X>bB.[X<-bc16.在数轴上与原点的距离小于3的点相应的x满足（）A♦-3<x<3B.x<3x—5W—2<3-r<417.不等式组1°x<一的解集在数轴上的对的表达是（）-♦••—]・L・・・L•—•—•1»_-103-103-1o3>1C.-a>-bD.a-b>0ab一〉一33d.-a>-b[x>a[x>-a\x<-b[x<b•Lx•C.x>3D.xv—3或x>3•••1・-103质量为克.b1a一〈质量为克.b1a一〈I-二、选择题:13.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）A.@B.b14.假如a>b,那么下列结论中错误的是（）A.a-3>b_3B.3a>3bC.[x>a[x>-a15.已知0<b<a,那么下列不等式中无解的是（）A.[X>bB.[X<-bc16.在数轴上与原点的距离小于3的点相应的x满足（）A♦-3<x<3B.x<3x—5W—2<3-r<417.不等式组1°x<一的解集在数轴上的对的表达是（）-♦••—]・L・・・L•—•—•1»_-103-103-1o3>1C.-a>-bD.a-b>0ab一〉一33d.-a>-b[x>a[x>-a\x<-b[x<b•Lx•C.x>3D.xv—3或x>3•••1・-103Ax—524.已知方程x—524.已知方程225.2023湖北芹I门）试拟定实数a的取值范围，使不等式组XX+1、八—+>0\o"Cur