专训2 常用构造中位线的五种方法

专训2常用构造中位线的五种方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．［密琲d：连接两点构造三角形的中位线1如图，点B为AC上一点，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.求证：PM=PN；求ZMPN的度数.已知角平分线+垂直构造中位线2.如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为“ABC的外角平分线，且AD丄BD,若AB=12,AC=18，求DM的长.(第2(第2题)3.如图，在△ABC中，已知AB=6,AC=10,AD平分ZBAC,BD丄AD于点D,点E为BC的中点，求DE的长．倍长法构造三角形的中位线4.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BA=BC,ABEF为等腰直角三角形,/BEF90°,M为AF的中点，求证：ME=1CF.（第4题（第4题）已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5.如图，在△ABC中，ZC=90°,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点，CE=CF,M,N分别为AF,BE的中点，求证：AE=辽MN.5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6.如图，在△ABC中,AB=AC，AD丄BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN=1AC.答案1.⑴证明：如图，连接CD,AE.由三角形中位线定理可得PM平行且等于1CD,PN平行且等于2AE.^△ABD和ABCE是等边三角形，・：AB=DB,BE=BC,ZABD=ZCBE=60°,AZABE=ZDBC..••△ABE^ADBC,・・・AE=DC.:・PM=PN.(2)解：如图，设PM交AE于F,PN交CD于G,AE交CD于H,AE交BD于Q.由(1)知△ABE^^DBC,：・ZBAE=ZBDC.又VZDQH=ZBQA,.\ZAHD=ZABD=60°,・・・ZFHG=120°.易证四边形PFHG为平行四边形，・・・ZMPN=120°.2.解：如图，延长BD,CA交于N.N，、由题易知ZNAD=ZBAD,ZADN=ZADB=90°.又AD=AD,:.△AND^^ABD.・・・DN=DB,AN=AB.又TM为BC的中点，?.DM为ABNC的中位线,DM=|nC=2(AN+AC)=2(AB+AC)=15.解：如图，延长BD交AC于点F,55氢棊鏡基初中系列方朋创新教辅领跑VAD平分ABAC,:.ZBAD=ZCAD.•・•BD丄AD,・\ZADB=ZADF,又•AD=AD,・^ADB^^ADF(ASA).:.AF=AB=6,BD=FD.・・・AC=10,・•・CF=AC-AF=10—6=4.E为BC的中点,:.DE是ABCF的中位线.DE^qCF^qX4=2.证明：如图，延长FE至N使EN=EF,连接BN,AN易得ME=2AN.EF=EN,ABEF=90°,:.BE垂直平分FN,・.BF=BN,・・ZBNF=ZBFN.•△BEF为等腰直角三角形，ABEF=90°,・・・ABFN=45°.・・・ABNF=45°,・・・AFBN=90°,即AFBA+AABN=90°.又・・・AFBA+ACBF=90°,”BF=BN,:.ACBF=AABN.在ABCF和ABAN中，］ACBF=AABN,、BC=BA,•••△BCF^ABAN.・•・CF=AN..\ME=1AN=2cF.%(第4题)5.证明：如图，取AB的中点H,连接MH,NH,则MH=\bF,NH=CE=CF,CA=CB,・AE=BF.MH=NH.・•点M,H,N分别为AF,AB,BE的中点，・・・MH〃BF,NH〃AE.・AAHM=AABC,ABHN=ABAC.・AMHN=180°-(AAHM+ABHN)=180°-(AABC+ABAC)=90°.6.证明：如图，取NC的中点H连接DH过点H作HE〃AD,交BN的延长线于E.VAB=AC,AD丄BC,・・・D为BC的中点.又TH为NC的中点，:.DH//BN.又・.・PD〃E