2017专题4：圆与相似含答案

专题：与相似(1).如图，AB是。O的直径，弦CDXAB于艮点G在。O上，过点G作直线EF,交CD延长线于点E,交AB的延长线于点F.连接AG交CD于K,且KE=GE.(1)判断直线EF与。O的位置关系，并说明理由;AH3(2)若AC〃EF, ,FB=1,求。O的半径.AC5.如图，PB为。O的切线，B为切点，直线PO交。于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交。O于点A,延长AO与。O交于点C,连接BC,AF.(1)求证：直线PA为。O的切线；(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系，并加以证明；1(3)若BC=6,tanZF=-,求cosZACB的值和线段PE的长.2.如图所示，AB是。。的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDXAB于点D,CD交AE于点F,过C作CG〃AE交BA的延长线于点G.连接OC交AE于点H。(1)求证:GCXOC.(2)求证:AF=CF.(3)若NEAB=30°,CF=2,求GA的长..如图，在△ABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且NCBF=1ZCAB.2(1)求证：直线BF是。O的切线；(2)若AB=5,sin/CBF=^5,求BC和BF的长.

.如图，。0的弦AB=8,直径CDXAB于M,OM：MD=3：2,CE并延长交CE的延长线于点F.求：(1)。0的半径；(2)求CE-CF的值.E是劣弧CB上一点，连结.如图，已知在4ABP中，C是BP边上一点，NPAC:NPBA,。。是4ABC的外接圆，AD是OO的直径，且交BP于点E是劣弧CB上一点，连结(1)求证：PA是OO的切线；(2)过点C作CFLAD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG-AB=12,求AC的长；(3)在满足(2)的条件下，若AF：FD=1：2,GF=1,求OO的半径及sinZACE的值..如图，在4ABC中，NC=90°,AC=3,BC如.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连接DE.(1)当BD=3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆。的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F.求证：4FAE是等腰三角形..如图，在4ABC中，ZC=90°,ZABC的平分线交AC于点E,过点£作BE的垂线交AB于点F,OO是4BEF的外接圆.(1)求证：AC是OO的切线；(2)过点E作EHLAB,垂足为H,求证：CD=HF；(3)若CD=1,EH=3,求BF&AF长.

.如图，BD是。。的直径，OALOB,M是劣弧上一点，过,如作。。的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点.(1)求证:PM=PN；(2)若BD=4,PA=AO,过点B作BC〃MP交。。于C点，求BC的长..如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中,金在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆。于点F,且BC=OE.(1)求证:DE〃CF；(2)当OE=2时，若以O,B,F为顶点的三角形与^ABC相似，求OB的长；(3)若OE=2,移动三角板ABC且使AB边始终与半圆。相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离..如图，AB、AC分别是。。的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DELAB分别交。。于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.(1)求证：PC是。。的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2:DE-DF,为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的长..如图，在4ABC中，NABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE,OE.(1)判断DE与。O的位置关系，并说明理由;(2)求证：BC2=CD-2OE；(3)若cosNBAD=，BE=6,求OE的长.专题：与相似答案1.(1)相切，理由见解析；(2)4.(1)如图，连接OG.VOA=OG,AZOGA=ZOAG.VCD±AB,AZAKH+ZOAG=90°.VKE=GE,AZKGE=ZGKE=ZAKH.AZKGE+ZOGA=ZAKH+ZOAG=90°.AZOGE=90°,即OG±EF.XVG在圆O上，・・・EF与圆O相切.(2)：AC〃EF,.\ZF=ZCAH,人 人 CHOGARtAAHC^RtAFGO..'・ =一.ACOF. ,AH3•.•在RtAOAH中，=-，设AH=3t,贝UACAC5=5t,CH=4t..CH4 ,OG4,,— ,,- —. —.AC5OF5,•*FB=1 ——，解得：OG=4.OG+15・••圆O的半径为4.考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质.3 102.(1)证明见解析；(2)EF2=4OD-OP,证明见解析；(3)-,一.53【解析】试题解析：(1)如图，连接OB,VPB是。O的切线，.NPBO=90°.VOA=OB,BA±PO于D,AAD=BD,ZPOA=ZPOB.XVPO=PO,.APAO^APBO(SAS)..ZPAO=ZPBO=90°..直线PA为。O的切线.(2)EF2=4OD・OP,证明如下:VZPAO=ZPDA=90°,.ZOAD+ZAOD=90°,ZOPA+ZAOP=90°.OA/.ZOAD=ZOPA.AAOAD^AOPA..———OP

OD口.，即OA2=OD・OP.OA又•••EF=2OA，..EF2=4OD・OP.1(3)•・•OA=OC，AD=BD，BC=6，.OD=-BC=32(三角形中位线定理).设AD=x，,.,tanNF=AD=1，.FD=2x，OA=OF=2x-3.FD2在RtAAOD中，由勾股定理，得(2x-3)2=x2+32,解得，x1=4,x2=0(不合题意，舍去)..20=4,3.试题解3.试题解(1)证VC是劣oc±CG〃CG±0A=2x-3=5.「AC是。0直径，.e.ZABC=90°.又•.•AC=20A=10,BC=6,.\cosZACB=—=—=-AC10510V0A2=0D«0P,A3(PE+5)=25..*.PE=—.3析：明：如图，连结OC,弧AE的中点，AE,AE,0C,•・CG是。。的切线；(2)证明：连结AC、BC,「AB是。0的直径，ZACB=90°，：.Z2+ZBCD=90°,而CDLAB,.,.ZB+ZBCD=90°，.,.ZB=Z2,「AC弧二CEM,.*.Z1=ZB,.*.Z1=Z2,/.AF=CF；(3)解：在Rt^ADF中，ZDAF=30°,FA=FC=2,.*.df=1af=i,2.*.AD=V3DF=V3，VAF/7CG,ADA：AG=DF：CF,即石：AG=1：2,:.aS4.(1)证明：连接AE,4AB是。。的直径,.*.ZAEB=90o,.e.Zl+Z2=90°.VAB=AC,1 1.*.Z1=-ZCAB.VZCBF=-ZCAB,.\Z1=Z2 2CBF,.,.ZCBF+Z2=90°,即NABF=90°,VAB(2)过点C作CGXAB是。0的直径，，直线BF是。。的切线.(2)过点C作CGXAB于G.号于G.号-si”号,•・•在RtAAEB中，ZAEB=90°，AB=5,...BE:AB・sinN1二%5,VAB=AC,ZAEB=90°,ABC=2BE=2<5，在RtAABE中，由勾股定一 —T--八丁 AE2<5 BE%5理得AE=xAB2-BE2=2<5,；.sinN2= = ,cosZ2= =，在RtACBG中,AB5 AB5可求得GC=4,GB=2,・•・AG=3,*/GC可求得GC=4,GB=2,・•・AG=3,*/GC〃BF,・•・△AGCs△ABF,GC_AGBF-AB，BF=GC-ABAG20考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.圆周角定理；4.相似三角形的判定与性质;.试题解析：(1)如图，连接AO,VOM:MD=3:2,・•.可设OM=3k,MD=2k(k>0),则OA=OD=5k.又•・•弦AB=8,直径CD±AB于M,.AM=4.在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1.・••圆O的半径为5.(2)如图，连接AE,由垂径定理可知：ZAEC=ZCAF,XVZACF=ZACF,AAACEsAFCA..AC=CE,即AC2=CE-CF.CFAC在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80,.CE-CF=80..解：(1)证明：连接CD,VAD是。O的直径，.NACD=90°。.ZCAD+ZADC=90°OXVZPAC=ZPBA,ZADC=ZPBA,/.ZPAC=ZADCoAZCAD+ZPAC=90.PAXOAo又TAD是。O的直(2)由(1)知，又：CFXAD,.CFXVZPAC=ZPBA,XVZCAG=ZBAC,,ACABAGACTAG・AB=12,,即径一..PA是。O的切线。PAXAD,〃PAo.NGCA=NPACo.ZGCA=ZPBAo.△CAGMBACoAC2:AG・AB。AC2=12o.AC=2<3o(3)设AF=x,VAF：FD=1：2,AFD=2xoAAD=AF+FD=3xo在RtAACD中,VCF±AD,AAC2=AF«AD,即3x2=12。解得；x=2o.•・AF=2,AD=6oAOO半径为3。在RtAAFG中，VAF=2,GF=1,，根据勾股定理得：AG=<AF2+GF2=<22+12=芯o. . ._12由(2)知，AG・AB=12,；.AB=——AG连接BD,VAD是。O的直径，・•・NABD=90°o在RtAABD中， AB一.sin/ADB= ,AD=6,ADf12<5 , 2<5AB= /.sin/ADB= oVZACE=ZACB=ZADB,, 2<5.'sinNACE= 057.(1)解：AAB=5,VDB为直径VZC=90°,AC=3,BC=4,AADBE^AABC,DE3.•・NDEB=NC=90°,又VNAADBE^AABC,DE3(2)证法一：连接VEF为半圆O的切AZDEO+ZDEF=90°,.•.NAEF=NDEO,,/△DBE^AABC,.•.NA=NEDB,XVZEDO=ZDEO,AZAEF=ZA,.△fae是等腰三角形;证法二：连接OEVEF为切线，.•.NAEF+NOEB=90°,VNC=90°,.•・NA+NB=90°,VOE=OB,

\ZOEB=ZB,AZAEF=ZA,••.△FAE是等腰三角形.证明：(1)如图，连接OE.VBEXEF,•・NBEF=90°,•BF是圆O的直径.「BE平分NABC,・'OB=OE,<线;C=90°,.•・OE〃BC,\ZOEB=ZCBE,•ZAEO=Z•AC是。O的切S(2)如图，连结「ZCBE=ZOBE,AZCBE=ZOBE,AZOBE=ZOEB,DE.EC±BC于C,EH±AB于H,•・EC=EH.ZZCDE+ZZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,在RtAHFE中，EF=在RtAHFE中，EF==Jlo,*EF±BE,.ZBEF=90°,EFHF.乔/F,t/1o

即有广=,AZCDE=ZHFE.在^CDE与^HFE中，AACDE^AHFE(AAS)ACD=HF.(3)由(2)得CD=HF,又CD=1,.•.HF=1,.ZEHF=ZBEF=90°,*ZEFH=ZBFE,.△EHF^ABEF,・BF=10,・OE=BF=5・OE=BF=5,OH=5-1=4,.Rt△OHE中,cosZEOA=,OE.Rt△EOA中，cosNEOA』M=,25.OA=4,25.AF=--5=.(1)证明：连接OM,,.，MP是圆的切线，AOMXPM,ZOMD+ZDMP=90°,VOAXOB,ZOND+ZODM=90°,ZMNP=ZDMP=.\PM=PN.BD=4

PA=3,

BCZMNP=ZDMP=.\PM=PN.BD=4

PA=3,

BC〃MP,MNP,(2)解：设BC交OM于E,OA=OB=BD=2,二PO=5；±MP,,.,ZBOM+ZMOP=90°,在直角三角形OMP中,ZMPO+ZMOP=90°,AZBOM=ZMPO；,.,ZBEO=ZOMP=90°,AAOMP^ABEO,OMBEBEOPBO,即=2,解得：BE=,/.BC=.(1)证明：连接OF,TAB切半圆。于点F,OF是半径,AZOFB=90°,VZABC=90°,AZOFB=ZABC,.•・OF〃BC,VBC=OE,OE=OF,BC=OF,四边形OBCF是平行四边形，.•・DE〃CF；(2)解：若△OBFs^ACB,OBAC又•.•0F=0E=2,又•.•0F=0E=2,.\OB= ,ABC=90°,BC=0E=2,AB=2V3.4X2AOB=V=；若△BOFs^ACB,OBACOF=BC,.*.OB=

4X2.•・OB=2=4；综上，03=或4；(3)解：画出移动过程中的两个极值图，由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，VZA=30°,AZABO=30°,ABO=4,ABE=2,・••点B移动的最大距离是线段BE的长为2.(1)证明：连接0C.VPC=PF,OA=OC,AZPCA=ZPFC,ZOCA=ZOAC,VZPFC=ZAFH,DELAB,AZAHF=90°,AZ