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文档简介

§3.4泰勒公式泰勒公式几个常用函数的泰勒公式泰勒公式的应用一、泰勒公式（如下图）以直代曲不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.本节研究以下两个问题:(1)是否可选取一简单曲线

n次代数多项式即以简单曲线逼近复杂曲线?(2)逼近的误差是否可给出一个明确的表达式?设y=f(x)在x0

处有直至n

阶的导数,下面考虑寻找一n

次代数多项式Pn(x),使它在x0

处较好地逼近f(x)

分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交则由即称多项式为函数在点处关于的泰勒多项式.（唯一确定）例求函数y=ln(1+x)的关于x

幂的n

次泰勒多项式解取x0=0,下面计算称为函数在点处的n阶泰勒公式.也是用n次多项式来近似函数的截断误差.余项为佩亚诺型余项,拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项证明:注意:3.拉格朗日型余项主要用于证明命题，皮亚诺型余项主要用于求极限.麦克劳林(Maclaurin)公式二、几个常用的n

阶泰勒公式(在x0=0处)(1)f(x)=sinx取n=2m,则有其中ξ介于0与x

之间(2)f(x)=cosx取n=2m+1,则有其中ξ介于0与x

之间

(3)f(x)=ex其中ξ介于0与x

之间(4)f(x)=ln(1+x)其中ξ介于0与x

之间(5)f(x)=(1+x)α,

αR所以有其中ξ介于0与x

之间

（1）（2）（3）（4）（5）带佩亚诺型余项的泰勒公式解：在注：（1）若求处的泰勒公式；（2）特别注意是求哪一点处的泰勒公式；（3）对于拉格朗日型余项，没有特别的技巧，只能硬做；如例3中则解：三、泰勒公式的应用1.利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限例1求下列函数的极限（1）解：（1）原式（2）解（2）原式（3）解（3）原式例计算解因为(2)在无穷小阶的估计中的应用例当a,b

为何值时,量x(a+bcosx)sinx

是x

的5阶无穷小?解为使之为5阶无穷小,充要条件是:解得:所以当时,原式为5阶的无穷小例试确定常数a

和b,使当x

0时为x

尽可能高的无穷小,并求此阶数解

又

解得所以,当时,函数f(x)为7阶的无穷小(3)在近似计算中的应用其中ξ介于x0

与x

之间.例计算e的值,准确到10-6解先确定n

为多大时才能保证精度.

令x=1得(ξ介于0与1之间)n

阶泰勒公式,有

利用ex

的取n=10,则有(4)在一些证明题中的应用例如果在(a,b)内

证明:对(a,b)内的任意n

个点有不等式证明令则对每一xi,利用泰勒公式有由推得所以,得到常用不等式例设f(x)在[0,1]上二阶可导,且满足其中a,b为非负常数,证明:对任意c(0,1)有解任取c(

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