等差数列、等比数列的基本问题

第1讲 等差数列、等比数列的基本问题高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第 (1)问出现，难度中档以下.真题感悟1.(2017全·国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析设{an的公差为，由a4＋a5＝24，2a1＋7d＝24，}dS6＝48，d4.6a1＋15d＝48，答案C2.(2017全·国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯

(

)A.1

盏

B.3盏C.5盏

D.9盏解析 设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为q，则依题意 S7381，公比q＝2.a1（1－27）∴11－2答案B3.(2017全·国Ⅲ卷)等差数列n，公差不为2，a3，a6成等比数{a}的首项为10.若a列，则{an}前6项的和为()A.－24B.－3C.3D.8解析根据题意得a32＝2·6，aa即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，所以6＝6a1＋6×56×5×(－2)＝－24.S2d＝1×6＋2答案A4.(2017全·国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解(1)设{an}公差为d，{bn}公比为q，－1＋d＋q＝2，由题设得 2－1＋2d＋q＝5d＝1， d＝3，解得 或 (舍去)，q＝2 q＝0故{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由已知得－1＋d＋q＝2，q＝4，q＝－5，2＝21，解得＝－或＝1＋q＋qd1d8.∴当q＝4，d＝－1时，S3＝－6；当q＝－5，d＝8时，S3＝21.考点整合1.等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）＝na1＋n（n－1）d；2 2(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，⋯，成等差数列.2.等比数列n＝a1n－1≠；(1)通项公式：aq(q0)求和公式：a1（1－qn）＝a1－anq(2)q＝1，S1－q1－q(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，⋯(Sm≠0)成等比数列.温馨提醒 应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2015全·国Ⅰ卷)已知{an是公差为1的等差数列，n为{an的前n项}S}和.若S8＝4S4，则a10＝()1719A.2B.2C.10D.12(2)(2016全·国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2⋯an的最大值为________.解析 (1)设等差数列的首项为 a1，8×（8－1）×1则S8＝8a1＋ ＝8a1＋28，24×（4－1）×1S4＝4a1＋ ＝4a1＋6，2因为S8＝4S4，即8a1＋28＝16a1＋24，1119所以a1＝2，则a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9＝2.(2)由于{an}是等比数列，设an＝a1qn－1，其中a1是首项，q是公比.a1＋a3＝10，2＝10，a1＝8，a1＋a1q所以24＝5，即113解得1a＋aaq＋aq＝5，q＝2.n1n－4故a＝2，1（－3）＋（－2）＋⋯＋（n－4）所以a1·a2·⋯·an＝21n（n－7）n-721211-49＝224.＝22当n＝3或4时，17249取得最小值－6，2n－2－41n-27-49此时1224取得最大值26.2所以a1·2·⋯·n的最大值为64.aa答案(1)B(2)64探究提高1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的通项公式，再将a1a2·⋯·an表示为n的函数，进而求最大值.2.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.【训练1】(1)(2017哈·尔滨模拟)设Sn为等比数列{an的前n项和，3＝8a6，则}aS4的值为()S21A.2B.25C.4D.5(2)(2017北·京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2＝________.b2解析(1)由a＝8a6，得a3＝3，解得＝124a11－21则S41－25＝12＝.S2a11－4211－2(2){an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，q＝－2，∴b2＝b1·q＝2.a2 2则b2＝2＝1.答案 (1)C (2)1热点二 等差(比)数列的性质【例2】(1)(2017汉·中模拟)已知等比数列{an的前n项积为Tn，若log22＋log28}aa＝2，则T9的值为()A.±512B.512C.±1024D.1024(2)(2017北·京海淀区质检已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S＝2a－2，若)nn数列{bn}满足bn＝10－log2an，则使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为________.解析(1)由log22＋28＝，得228＝，所以28＝，则5＝±，aloga2log(aa)2aa4a2等比数列{an}的前9项积为T9＝a1a2⋯a＝9＝±8a9(a5)512.(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，an＝2an－1.数列{an}是公比与首项都为2的等比数列，∴an＝2n.bn＝10－log2an＝10－n.由bn＝10－n≥0，解得n≤10.∴使数列{bn}的前n项和取最大值时的 n的值为9或10.答案 (1)A (2)9或10探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 .2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 .【训练2】(1)(2017贵·阳质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a9＝16，则S11＝()A.88B.48C.96D.176(2)(2017开·封质检)设等比数列n项和为n，若Sm－1＝5，Sm＝－11，{a}的前nSm＋1＝21，则m等于()SA.3B.4C.5D.611（a1＋a11）11（a3＋a9）11×16解析(1)依题意得S11＝2＝2＝2＝88.(2)在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.am＋132＝－2，则公比q＝am＝－16因为Sm＝－11，a1[1－（－2）m]所以1＋2＝－11，①又am＋1＝a1(－2)m＝32，②两式联立解得m＝5，a1＝－1.答案 (1)A (2)C热点三 等差(比)数列的判断与证明【例3】(2014·全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由 .(1)证明 由题设，anan＋1＝λSn－1，①知an＋1an＋2＝λSn＋1－1，②②－①得：an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝λ.(2)解 由题设可求a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.【迁移探究1】若把本例题的条件 a1＝1变为a1＝2，求解问题(2).解由题设，a1＝2，a1a2＝λS1－1，可得a2＝2λ－1，2由(1)知a3－a1＝λ，则a3＝λ＋2.若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，则2λ－1＝2＋(λ＋2)，解得λ＝5.9此时a1＝2，a2＝2，a3＝7，所以an＝5n－1，an＋1＝5n＋4，ann＋1＝25n2＋15n－4.22a4λS－1＝5（－）－1＝25n2＋15n－42n＋nn1×5，n224显然anan＋1与λSn－1恒相等，所以存在 λ＝5，使得{an}为等差数列.【迁移探究2】在本例题(2)中是否存在λ，使得{an}为等比数列？并说明理由 .解由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等比数列，则a22＝a1a3，即(λ－1)2＝λ＋1，解得λ＝0或3.当λ＝0时，由anan＋1＝λSn－1，得anan＋1＝－1，又a1＝1，所以a2＝－1，a3＝1，⋯，an＝(－1)n－1.所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，当λ＝3时，由a1＝1，a2＝λ－1＝3－1＝2，a3＝λ＋1＝4.显然an＝2n－1，此时anan＋1＝2n－12n＝22n－1，λSn－1＝3×1×（1－2n）－1＝3·2n－4，显然anan＋1与λSn－1不是恒相等，与已1－2知条件矛盾，所以 λ≠3.综上可知，存在实数 λ＝0时，使得{an}为等比数列.探究提高 1.本例题常见错误：(1)忽略an＋1≠0，由an＋1(an＋2－an)＝λan＋1直接得出an＋2－an＝λ.(2)由{a2n－1}是等差数列，{a2n}是等差数列，直接得出数列 {an}为等差数列.2.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意 n≥1，n∈N*，验证an＋1an或an＋1为与正整数n无关的一常数.an(2)中项公式法①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)且an≠0，则{an}为等比数列.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.解(1)设{an}的公比为q，由题设可得a1（1＋q）＝2，a1（1＋q＋q2）＝－6，解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.1（1－qn）－2[1－（－2）n(2)由(1)得Sn＝a1－q＝1－（－2）]2n＝3[(－2)－1]，2n＋12n＋2则Sn＋1＝3[(－2)－1]，Sn＋2＝3[(－2)－1]，2n＋12n＋22n4n所以Sn＋1＋Sn＋2＝3[(－2)－1]＋3[(－2)－1]＝3[2(－2)－2]＝3[(－2)－1]＝2Sn，∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.热点四 等差数列与等比数列的综合问题【例4】(2017·贵阳质检)已知数列{an}是等比数列，并且 a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；16(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn<3.(1)解 设等比数列{an}的公比为q，因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，a2＋1＝a1－3，所以a3＝（a2＋1）－3，a1q－a1＝－4，1即a1q2－a1q＝－2，解得a1＝8，q＝2.－11n－14－n＝8×＝所以an＝a1q22.bn＋1a2n＋21(2)证明因为bn＝a2n＝4，所以数列{bn}是以b1＝a2＝4为首项，14为公比的等比数列.41n1n1－41616所以Sn＝1＝3·1－4<3.1－4探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便 .2.数列的项或前 n项和可以看作关于 n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.【训练4】(2017·北京卷)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋⋯＋b2n－1.解(1)设{an}的公差为d，由a1＝1，a2＋a4＝10，得1＋d＋1＋3d＝10，所以d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.5＝9.(2)由(1)知a设{b的公比为，由＝1，b·＝a得qq3＝9，所以q2＝3，n}qb12b45所以{b2n－1是以1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，}b·（－n）n－1所以b1＋b3＋b5＋⋯＋b2n－1＝1133－＝2.131.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 .应用关系式n＝S1，n＝1，时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在3.an－Sn－1，n≥2S求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起 .一、选择题1.(2016全·国Ⅰ卷已知等差数列n前9项的和为10＝8，则a100＝()){a}27，aA.100B.99C.98D.97解析S9＝9（a1＋a9）9×2a5229a27a3a10－a5又a10＝8，因此公差d＝＝1，∴a100＝a10＋90d＝98.10－5答案 C2.(2017淮·北二模)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为()21A.－20B.－2C.－21D.－21105解析由题意，设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a(a≠0).S奇a＋4a＋16a21则＝＝－10.S偶－2a－8a答案C1323.(2017济·南调研)等差数列{an}中的a1，a4033是函数f(x)＝3x－4x＋6x－1的极值点，则log22017＝()aA.2B.3C.4D.5解析因为f′(x)＝x2－＋，8x6依题意，a1，a4033是方程f′(x)＝x2－8x＋6＝0的两根，a1＋a4033＝8，则a2017＝4，故log2a2017＝log24＝2.答案 A4.已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a2＋a3等于()a1A.4B.6C.8D.10解析设数列{an的公差为，}d则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，2因为S1，S2，S4成等比数列，所以 S2＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，解得d＝0(舍去)或d＝2a1，a2＋a3a1＋d＋a1＋2d8a1＝8.所以a＝a＝111答案C5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，⋯.该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 {an}称为“斐波那契数列”，则(a1a3－a22)(a2a4－a32)(a3a5－a42)⋯(a2015a2017－a22016)＝()A.1B.－1C.2017D.－201722＝，24－22＝－，35－2解析∵a13－2＝×－3＝×－4＝×－aa1211aaa1321aaa25223＝1，⋯⋯，a2015a2017－a2016＝1，(a1a3－a22)(a2a4－a23)(a3a5－a24)⋯(a2015·a2017－a22016)＝11008×(－1)1007＝－1.答案 B二、填空题6.(2017长·沙一模)等比数列n的公比为－2，则20172－ln(a20162＝{a}ln(a))________.解析因为an＝－2(n≥2)，故an2＝2，从而ln(a2017)2－ln(a2016)2＝an－1an－1a20172lna2016＝ln2.答案ln2nn，已知S3＝7，7.(2017江·苏卷)等比数列{a}的各项均为实数，其前n项和为S46＝63，则a8＝________.S4解析设数列{an首项为1，公比为≠，}aq(q1)13）7S3＝a（1－q1－q＝4，11则6解得a＝4，）163q＝2，S6＝a（1－q1－q＝4，所以8171×27＝32.a＝aq＝4答案 328.(2017衡·阳八中、长郡中学联考改编 )等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列Sn的前n项和取最小n值时的n为________.解析由题意知（a1＋2d）（a1＋14d）＝25，a1＋4d＝5，由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，n（n－1）nna1＋2d＝－3＋n－1＝n－4.∴n＝nS4由n－4≥0，得n≥4，且4＝0，Sn∴数列n的前n项和取最小值时的n的值为3或4.答案3或4三、解答题9.(2016全·国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列 {an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式.2解 (1)由a1＝1，an－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，令n＝1，得a2＝1，221令n＝2，得a2－(2a3－1)a2－2a3＝0，则a3＝4.(2)由n2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，a得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，an＋1 1因为{an}的各项都为正数，所以 an＝2.故{an是首项为，公比为1的等比数列，因此1}122.10.(2017湖·北七校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1＋a，数列{bn}满足bn＝2－log2a3n.(1)求常数a的值；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)当n＝1时，