山东省济南市汇才中学高三数学理测试题含解析

山东省济南市汇才中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．2.数列是公差为负数的等差数列，若，且，它的前项和为，则使的n的最大值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.在长为的线段上任取一点，分别以线段的长为邻边做一个矩形，则该矩形面积大于的概率为（

）

参考答案：B略4.下面给出四个命题：①若平面//平面，是夹在间的线段，若//，则；②是异面直线，是异面直线，则一定是异面直线；③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面垂直；④平面//平面，，//，则；其中正确的命题是（

）

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．①④参考答案：D略5.已知非零单位向量满足，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D设与的夹角为.∵∴，即.∴，则.∵为非零单位向量∴，即.∵∴∵∴故选D.6.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数K的取值范围是（）A．

B．

C

D．参考答案：C7.复数1+=(A)1+2i

(B)1-2i

(C)-1

(D)3参考答案：【标准答案】A【试题解析】1+=1+【高考考点】复数的概念与运算。【易错提醒】计算失误。【备考提示】复数的概念与计算属于简单题，只要考生细心一般不会算错。8.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（

）。w。w-w*k&s%5￥u(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略9.“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分有不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，结合题意可得a2=a+2，并且1﹣a＞0，再根据充要条件的定义即可判断．【解答】解：由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，因为此曲线表示圆，所以a2=a+2，并且1﹣a＞0，所以解得：a=﹣1．故“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+ax+a=0表示圆”的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查二元二次方程与圆的对应关系，解决此类问题的关键是熟练掌握圆的方程，以及学生要有较强的运算能力．10.定义表示不超过的最大整数，，例如，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（

）A．－1.4

B．－2.6

C．

－2.8

D．－4.6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P是抛物线上的动点，点P在直线上的射影是M，定点，2,4,6

则|PA|+|PM|的最小值是____________参考答案：12.已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为

.（结果精确到）参考答案：13.已知命题：“存在，使”为真命题，则的取值范围是___

．参考答案：[－8，+∞）略14.已知在平面直角坐标系中有一个点列：，……，．若点到点的变化关系为：，则等于

．参考答案：15.已知，则________.参考答案：由条件得，从而16.设，当0时，恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：略17.对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3． （I）求证：DA⊥平面ABEF； （Ⅱ）求证：MN∥平面CDFE; （Ⅲ）在线段FE上是否存在一点P，使得AP⊥MN?若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由．参考答案：略19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{an}的通项公式；（2）化简bn=2，然后根据等比数列的前n项和公式即可求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1．（2）∵bn=2an=2n+1，∴b1=4，．∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴Tn==2n+2﹣4．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，以及等比数列前n项和的计算，要求熟练掌握相应的公式．20.已知函数；（1）解不等式；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：

…2分（1）不等式即

；或即解集为；

或即

综上：原不等式的解集为

………5分

解法二：作函数图象如下不等式的解集为………5分（2）作函数的图像如下：不等式恒成立。

即恒成立

………8分等价于函数的图象恒在函数的图像上方，由图可知a的取值范围为

………10分21.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|?|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|?|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．22.已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3．（I）求a+b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若对于?x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质求出f（x）的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；（Ⅱ）根据a，b的范围，问题转化为x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|≤|x﹣a﹣x﹣b|=|a+b|=3，∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，