山东省泰安市东平高级艺术中学2021年高二数学理联考试题含解析

山东省泰安市东平高级艺术中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A． B． C． D．或参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C2.若是虚数单位，则

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略3.甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为。故选D。考点：相互独立事件的概率乘法公式．点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．4.若等比数列的前n项和为Sn=2n+a，则a的值为(

)A．﹣1 B．±1 C．1 D．2参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：当n=1时，a1=S1=2+a；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+a﹣（2n﹣1+a）=2n﹣1，∵数列{an}为等比数列，∴a1=2+a=1，解得a=﹣1．此时an=2n﹣1，a1=1，q=2．故选：A．【点评】本题考查了递推关系及其等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β

B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α

D．m∥n，m⊥α，n⊥β参考答案：C对于选项C，∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，又∵m?α，∴α⊥β.6.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；

对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．故选A．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．7.已知集合,则A∩B=（

）A.{－2,－1} B.{－2,0} C.{－1,0} D.{－2,－1,0}参考答案：C【分析】先化简集合，再和集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.8.是直线与直线平行的

（

）（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）非充分非必要条件参考答案：C

略9.5名同学分给三个班级每个班至少一人共有（

）种方法A.150 B.120 C.90 D.160参考答案：A【分析】由题意知本题是一个分类计数问题，5名同学分到3个班级，每个班级至少一人，包括两种情况，一是按照2，2，1分配；二是按照3，1，1分配，根据分类加法原理得到结论。【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，5名同学分到3个班级，每个班级至少一人，包括两种情况，一是按照2，2，1分配，有＝90种结果，二是按照3，1，1分配，有种结果，根据分类加法原理得到共有90+60＝150种方法．故答案为：A．【点睛】本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列．10.当满足条件时，目标函数的最大值是（

）A．1

B．1.5

C．4

D．9参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，椭圆(a＞b＞0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，转化为：B1B2=A2B1，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，可得B1B2=A2B1，即：2b=，可得：a2=3b2=3a2﹣3c2，即2a2=3c2，可得e=．故答案为：；【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.命题“，如果，则”的逆命题是____________________．参考答案：，如果，则略13.定义：若数列对任意的正整数n，都有（d为常数），则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”，“绝对公和”，则其前2012项和的最大值为

参考答案：2012略14.已知函数.若函数存在5个零点，则实数a的取值范围为_________.参考答案：（1,3）【分析】先作出函数y=2f(x)的图像，再令=0，则存在5个零点，再作函数y=的图像，数形结合分析得到a的取值范围.【详解】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意.当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意.当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意.所以实数a的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查指数对数函数的图像，考查函数图像的变换，考查函数的零点问题，意在考查学生学这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是画图和数形结合分析图像.15.在正六边形的6个顶点中随机选取4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为_______________．参考答案：16.函数的值域是__________．参考答案：（0，1]略17.已知函数，若，则实数a=_______参考答案：3【分析】由题得到关于a的方程，解方程即得实数a的值.【详解】因为，所以，所以，所以.因为a＞0，所以a=3.故答案为：3【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，为抛物线的焦点，为抛物线内一定点，为抛物线上一动点，且的最小值为.(1)求该抛物线的方程；(2)如果过的直线交抛物线于、两点，且，求直线的倾斜角的取值范围．参考答案：解：（1）设，根据抛物线定义知：

故，，抛物线方程为：

……………6分（2）①当直线轴时：方程：

此时,

与矛盾；

……………8分19.如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD．（1）求证：△DEF∽△PEA；（2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．参考答案：【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明∠APE=∠EDF．又结合∠DEF=∠AEP即可证明△DEF∽△PEA；（2）利用△DEF∽△CED，求EC的长，利用相交弦定理，求EP的长，再利用切割线定理，即可求PA的长．【解答】（本题满分为10分）解：（1）证明：∵CD∥AP，∴∠APE=∠ECD，∵∠EDF=∠ECD，∴∠APE=∠EDF．又∵∠DEF=∠AEP，∴△DEF∽△PEA．…（2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，∴△DEF∽△CED，∴DE：EC=EF：DE，即DE2=EF?EC，∵DE=6，EF=4，于是EC=9．∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．…又由（1）知EF?EP=DE?EA，故CE?EB=EF?EP，即9×6=4×EP，∴EP=．

…∴PB=PE﹣BE=，PC=PE+EC=，由切割线定理得：PA2=PB?PC，即PA2=×，进而PA=．…20.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（I）求二面角C﹣DE﹣C1的正切值；（II）求直线EC1与FD1所成的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A﹣xyz，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果．（II）把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．【解答】解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）于是，=（﹣4，2，2）设向量与平面C1DE垂直，则有cosβ=z∴（﹣1，﹣1，2），其中z＞0取DE垂直的向量，∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴的平面角∵cosθ=∴tanθ=，∴二面角C﹣DE﹣C1的正切值为；（II）设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=，∴直线EC1与FD1所成的余弦值为．【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这样降低了题目的难度．21.（本小题满分12分）设，，，（1）求，(2)由（1）你能得出什么结论？参考答案：(1)∵A=，B={x|x≤3}；=CRA={x|x<-2或x≥4}CRB={x|x>3}

={x|x<-2或x>3}………8分(2)…………12分22.每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：温差x（℃）810111213发芽数y（颗）7981858690

（1）请根据统计的最后三组数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n颗，则记为n%的发芽率，当发芽率为n%时，平均每亩地的收益为10n元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9℃，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程中，.参考答案：（1）（2）见解析（3）7950万元【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出的值