对数函数（第二课时）【 核心精讲+备课精研+高效课堂 】 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

6.3对数函数（第二课时）课标要求素养要求1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，发展直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.新知探究观察图形，回答下列问题：图(1)图(2)问题(1)观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？提示(1)对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴.(2)由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b<c，因此a，b，c的大小关系为0<b<c<1<a.反函数(1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为______的反函数，反之，y＝ax也称为________的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作____________.(2)互为反函数的两个函数，图象关于y＝x对称.y＝axy＝logaxy＝f－1(x)基础自测[判断题]2.lnx<1的解集为(－∞，e).(

)

提示由lnx<1，解得0<x<e.3.y＝ax与x＝logay的图象相同(a>0且a≠1).(

)4.由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象.(

)

提示向左平移1个单位可得y＝log2(x＋1)的图象.××√×[基础训练]2.已知log7(2x)<log7(x＋2)，则x的取值范围为________.解析由0<2x<x＋2得0<x<2.答案

(0，2)答案(－∞，0)[思考]1.不同底的对数函数y＝logax与y＝logbx，a≠b的图象之间有何相对位置关系？提示作直线y＝1，与各图象会有交点，底数越大，交点越靠右，简称“底大图右”.2.y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的性质有何关系？提示

①y＝ax的定义域为y＝logax的值域，y＝ax的值域为y＝logax的定义域.②y＝ax上任一点为(m，n)，则点(n，m)必在其反函数y＝logax的图象上，即互为反函数的两个函数的图象关于y＝x对称.③互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.题型一对数函数的图象及应用【例1】

(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(

)(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.答案C对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.(2)解

∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示.【迁移1】

(变换条件)将本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(

)解析∵在y＝loga(－x)中，－x>0，∴x<0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a>1时，y＝loga(－x)是减函数，答案C【迁移2】

(变换条件)将本例(2)中的函数改为f(x)＝loga|x＋1|，且满足f(－5)＝1，求解析式并画其图象.解由f(－5)＝loga|－5＋1|＝1得a＝4，即f(x)＝log4|x＋1|.其图象画法：①先作y＝log4x的图象，②将y＝log4x的图象向左平移1个单位得y＝log4(x＋1)的图象，③再将y＝log4(x＋1)的图象关于x＝－1对称，如图所示.规律方法有关对数函数图象间的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.【训练1】作出下列函数的大致图象：(1)y＝|log2x|；(2)y＝|log2(x－1)|；(3)y＝|log2(1－x)|.解

(1)第一步：作函数y＝log2x的图象；第二步：把函数y＝log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的不变)，即得y＝|log2x|的图象(如图①).(2)第一步和第二步同(1)；第三步：把y＝|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|log2(x－1)|的图象(如图②).(3)第一步：作函数y＝log2x的图象；第二步：把函数y＝log2x的图象沿y轴翻折，得y＝log2(－x)的图象；第三步：把y＝log2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝log2(1－x)的图象；第四步：把y＝log2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的不变)，即得y＝|log2(1－x)|的图象(如图③).题型二对数型函数的单调性角度1解对数不等式【例2－1】解下列不等式.(2)因为log3x<1＝log33，所以原不等式的解集为{x|0<x<2}.所以原不等式的解集为{x|0<x<3}.当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，当0<a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，所以x2<1，所以－1<x<1，因此函数的定义域为(－1，1).令t＝1－x2，x∈(－1，1).单调递增区间为[0，1).角度3由单调性求参数【例2－3】

(1)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是(

) A.(0，1) B.(1，3) C.(1，3] D.[3，＋∞)解析(1)函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0，2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1<a<3.故选B.答案(1)B

(2)(－8，－6]规律方法1.对数不等式的三种类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.2.若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.【训练2】

(1)已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(

)答案A题型三对数型函数性质的综合问题角度1值域问题【例3－1】求下列函数的值域.(1)y＝log2(x2－4x＋6)；(2)y＝log2(x2－4x－5).解

(1)令u＝x2－4x＋6.∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，∴函数的值域是[1，＋∞).(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，∴x2－4x－5能取到所有正实数，∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.角度2奇偶性判断所以f(－x)＝－f(x)，角度3综合应用解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).规律方法

(1)对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.【训练3】已知f(x)＝log4(4x－1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；解(1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增.一、课堂小结1.由对数函数的图象，反函数概念，研究对数型函数的性质，发展直观想象素养，数学抽象素养及数学运算素养.2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解.3.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.4.y＝logaf(x)型函数性质的研究(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定