2022年高考冲刺文科数学(湖南卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，文1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：z＝i·(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B．2．(2013湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A．3．(2013湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝()．A．9B．10C．12D．答案：D解析：抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D．4．(2013湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()．A．4B．3C．2D．答案：B解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②由①＋②得g(1)＝3，故选B．5．(2013湖南，文5)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于()．A．B．C．D．答案：A解析：∵2asinB＝b，∴2sinAsinB＝sinB．∵sinB≠0，∴sinA＝.∵A∈，∴A＝.故选A．6．(2013湖南，文6)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()．A．0B．1C．2D．6．答案：C解析：利用图象知，有两个交点．故选C．7．(2013湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()．A．B．1C．D．答案：D解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC＝，故其面积为.8．(2013湖南，文8)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()．A．B．C．D．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，得，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.|c|即为，可看成M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1＝.故选C．9．(2013湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝()．A．B．C．D．答案：D解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.由于AB为最大边的概率是，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．∴，即4x2＝4y2＋x2，即x2＝4y2，∴.∴.又∵，故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．(2013湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(UA)∩B＝__________.答案：{6,8}11．(2013湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为__________．答案：4解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a·，即，∴a＝4.12．(2013湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．答案：9解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9.13．(2013湖南，文13)若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为__________．答案：6解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.14．(2013湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．答案：解析：如图所示，∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c.由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|24c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac即e2－2e－2＝0，∴，∴.15．(2013湖南，文15)对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．答案：(1)2(2)17解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，∴前3项和为2.(2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，…，则P＝{a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，…，则Q＝{a1，a4，a7，a10，…，a100}有34个元素，∴P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有1＋＝17个．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cosx·.(1)求的值；(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．答案：（1）；（2）解析：(1)＝＝.(2)f(x)＝cosx·＝cosx·＝cos2x＋sinxcosx＝(1＋cos2x)＋sin2x＝.f(x)＜等价于，即.于是2kπ＋＜2x－＜2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.故使f(x)＜成立的x的取值集合为.17．(2013湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．答案：（1）略；（2）解析：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以AD⊥C1(2)解：因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1故C1E＝，又B1C1＝＝2，所以B1E＝＝2，从而＝×A1C1＝.18．(2013湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．答案：（1）Y51484542频数2463（2）解析：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为＝＝＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝.19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．答案：（1）an＝2n－1；（2）1＋(n－1)·2n解析：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a12，即a1＝a12因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an.即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.

20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．答案：（1）(x－2)2＋(y－2)2＝4；（2）x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.解析：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离.所以.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是＝＝＝＝.从而ab＝＝≤.当且仅当，即时等号成立．故当m＝±eq\r(3)时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝y＋2，即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.答案：（1）f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为