2023年中考数学二轮复习-证明圆的切线

年中考二轮复习-证明圆的切线一、单选题1．下列命题中的真命题是（）①相等的角是对顶角②矩形的对角线互相平分且相等③垂直于半径的直线是圆的切线④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．下列关于圆的说法，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弦相等B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦C．经过半径的端点且垂直于该半径的直线是圆的切线D．相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦3．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切4．下列说法中，正确的是（）A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．90°的圆周角所对的弦是直径D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．5．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，3为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交二、填空题6．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm．7．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．已知：⊙O和点P求过点P的⊙O的切线小涵的主要作法如下：如图，（1）连结OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；（3）作直线PB和PC．所以PB和PC就是所求的切线．

老师说：“小涵的做法是正确的．”请回答：小涵的作图依据是．8．如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为cm．

9．在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在ABC中，∠A＝90°．求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．嘉淇的主要作法如下：如图，⑴作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；⑵以点P为圆心，AP长为半径作⊙P．所以⊙P即为所求．老师说：“嘉淇的作法符合题意．”请回答：⊙P与BC相切的依据是①；②．三、解答题10．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A、B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．求证：直线DE是⊙O的切线.11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB.求证：直线CE是⊙O的切线；12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AC平分∠DAB.求证：CD是⊙O切线.13．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线.已知：P为⊙O外一点.求作：经过点P的⊙O的切线.小敏的作法如下：如图，①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C.②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点.③作直线PA，PB.老师认为小敏的作法正确.请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，写出依据.请写出证明过程.14．已知，如图：AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于D，DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．16．如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交于BC于D，DE⊥AC于E．求证：DE是⊙O的切线．17．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AB上，以OA的长为半径的圆O与AD交于点E，且∠ACB=∠DCE，求证：CE是⊙O的切线．18．如图，四边形OABC是平行四边形，且AO＝2OC，以O为圆心，OC为半径的圆交CB于E点，且E恰好是BC的中点，连接AE，求证：AE是⊙O的切线.19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故①错误；②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，所以正确的是②④，故答案为：D．【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；矩形的对角线互相平分且相等；经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，根据这些性质即可一一判断。2．【答案】D【解析】【解答】解：A、相等的圆心角所对的弦相等，必须是在同圆和等圆中，故此选项错误；B、过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦，过圆心的直径所在的直线都平分直径（平分弦），却不一定垂直这条直径，故此选项错误；C、经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线，故此选项错误；D、相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦，正确．故选：D．【分析】利用圆心角定理以及切线的判定以及相交两圆的性质、垂径定理的推论分别分析，举出反例即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

设⊙P与直线OC相切于点E，

连结PE，则PE⊥OC，

过P作PD⊥OB于D，

∵OP是⊙P的角平分线，

∴PE=PD，

∵PD是半径

∴⊙P与直线OB相切.

故答案为：B

【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。4．【答案】C【解析】【解答】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意；D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意；故答案为：C．【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．5．【答案】C【解析】【分析】∵点（3，2）到x轴的距离是2，小于半径，

到y轴的距离是3，等于半径，

∴圆与x轴相交，与y轴相切．

故选C．6．【答案】2或8【解析】【解答】解：①如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，连接O′C，则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，∴O′P=2O′C=3cm，∵OP=5cm，∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；②如图2：同理可得：O′P=3cm，∴O′O=8cm．故答案为：2或8．【分析】根据题意可知，分两种情况讨论：当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，连接O′C，则O′C⊥PA，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出O′P，然后根据OO′=OP﹣O′P，就可求出圆心O移动的距离；当圆O与射线PA的反向延长线相切时，可求出O′P，再根据OO′=OP+O′P，可求出结果。7．【答案】直径所对的圆周角是直角【解析】【解答】解：∵OP是⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=90°，∴OB⊥PB，OC⊥PC，∵OB、OC是⊙O的半径，∴PB、PC是⊙O的切线；则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．故答案为：直径所对的圆周角是直角．【分析】根据圆周角定理得出∠PBO=∠PCO=90°，即OB⊥PB，OC⊥PC，即可证得PB、PC是⊙O的切线．8．【答案】1或5【解析】【解答】如图a，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，

连接O′C，则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，

∵∠APB=30°，O′C=1cm，

∴O′P=2O′C=2cm，

∵OP=3cm，

∴OO′=OP-O′P=1（cm）．

如图2：同理可得：O′P=2cm，

∴O′O=5cm．

故答案为：1或5．

【分析】1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.平移的性质.9．【答案】角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【解答】解：如图作PE⊥BC于E．∵∠PBA=∠PBE，PA⊥AB，PE⊥BC，∴PA=PE，∴PE是⊙P的切线.（角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切）故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】先求出PA=PE，再判断即可。10．【答案】证明：如图所示，连接OD，∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∵BD平分∠OBC∴∠OBD=∠DBE∴∠ODB=∠DBE∴OD∥AC∵DE⊥AC∴OD⊥DE∵OD是⊙O的半径∴直线DE是⊙O的切线【解析】【分析】连接OD，证得∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，由DE⊥AC得到OD⊥DE，即可得到直线DE是⊙O的切线.11．【答案】证明：连接OC.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴∠DAC=∠ACO，∴AD//OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线.【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠DAC=∠ACO，再根据平行线的判定得出AD//OC，从而得出OC⊥DE，即可得出直线CE是⊙O的切线，即可求解.12．【答案】证明：.连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.【解析】【分析】连接OC，由角平分线的定义得∠DAC=∠CAB，由等腰三角形的性质得∠OAC=∠OCA，推出∠DAC=∠OCA，则可判断OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥CD，结合OC为半径，即可得证.13．【答案】直径所对圆周角为直角；由作图可知OP为⊙C的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，∵OA、OB是⊙O的半径，∴OP是⊙O的切线.【解析】【解答】解：接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对圆周角为直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；证明过程如下：由作图可知OP为⊙C的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，∵OA、OB是⊙O的半径，∴OP是⊙O的切线.故答案为：直径所对圆周角为直角，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

【分析】（1）由作图可知OP为⊙C的直径，根据直径所对圆周角为直角可证∠OAP=∠OBP=90°.（2）根据切线的判断：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；14．【答案】证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，又∵OD＝OB∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB＝∠C，∴，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【解析】【分析】先求出∠ODB＝∠ABC，再求出，最后证明求解即可。15．【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，∵AB=AD，∴AE垂直平分BD，在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，∴OE=，根据勾股定理得：BE==，CE=OC﹣OE=，在Rt△CEB中，BC==4，∵OB=3，BC=4，OC=5，∴OB2+BC2=OC2，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，则BC为圆O的切线．【解析】【分析】连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OC﹣OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．16．【答案】证明：连接OD，∵以AB为直径作⊙O交于BC于D，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=DC，∵AO=BO，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．【解析】【分析】直接利用圆周角定理进而得出∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质结合三角形中位线定理得出OD⊥DE，即可得出答案．17．【答案】证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠CAD=∠OEA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC∥AD，∴∠BCA=∠CAD，∵∠ACB=∠DCE，∴∠CAE=∠DCE，∵∠DCE+∠CEB=180°﹣∠D=90°，∴∠OEA+∠CED=90°，∴∠OEC=180°﹣90°=90°，∴CE是⊙O的切线．【解析】【分析】连接OE，根据矩形的性质求出∠CAE=∠BCA=∠DCE，求出∠DCE+∠CED=90°，即可求出∠AEO+∠CED=90°，求出∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可．18．【答案】证明：连接OE，如图所示：∵四边形OABC是平行四边形，∴BC＝AO＝2OC，AB＝OC，AB∥OC，∴∠B+∠C＝180°，BC＝2AB，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE，BE＝CE，∴CE＝OC，又∵OC＝OE，∴OC＝OE＝CE，∴△OCE是等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠B＝120°，∵BC＝2AB，BC＝2BE，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∴∠OEA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AE⊥OE，又∵OE是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线.【解析】【分析】连接OE，根据平行四边形的性质，结合中点性质和同圆的半径相等推出△OCE是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠B=120°，然后根据等腰三角形的性质求出∠BAE=∠BEA=30°，再根据角的和差关系求出∠OEA=90°，即可解答.19．【答案】解；（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∠DOB为△COD的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

又∵∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠DOB，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠BDO=90°，

∴OD⊥AB，

又∵D在⊙O上，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解法一：

过点O作OM⊥CD于点M，如图1，

∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，

∴∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∵∠DOB为△ODC的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

∴∠DCB=30°，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，

∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=；

解法二：

过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2，

∵OM⊥CD，

∴CM=DM，又O为EC的中点，

∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，

∴DE=2OM=2，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∵Rt△BDO中，OE=BE，

∴DE=BO，

∴BO=BE+OE=2OE=4，

∴OD=OE=2，

在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=．【解析】【分析】（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；

（2）法1：过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠D