特殊的平行四边形　专项强化练习-人教版数学八年级下册

《18.2特殊的平行四边形》专项强化练习人教新版八年级下册一．选择题（共10小题）1．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为边BC的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．2．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（）A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD＝2，CD＝，则EF＝（）A．1 B．4﹣ C．﹣2 D．3﹣4．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝（）A．45° B．30° C．60° D．55°5．如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是（）A．10 B． C．8 D．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BD⊥AC B．BC＝CD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD7．如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（）A．1 B． C．4﹣2 D．8﹣48．如图，四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形，O是正方形ABCD的中心，OE交BC于点M，OG交CD于点N，下列结论：①△ODG≌△OCE；②GD＝CE；③OG⊥CE；④若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积等于1，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠ABD＝∠CBD10．下列命题为假命题的是（）A．四个内角相等的四边形是矩形 B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形 C．有两组邻边相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等的矩形是正方形二．填空题（共5小题）11．如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；…依此类推由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．12．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为．13．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝4，BC＝6，则图乙中阴影部分的面积为．14．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为．15．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有个三．解答题（共5小题）16．已知，如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，E，F分别是BC，CD的中点，求证：AE＝AF．17．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．18．已知矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的长和宽．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．20．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE＝DF．

《18.2特殊的平行四边形》专项强化练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为边BC的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：连接AC、AE，AE交BD于P，则此时PE+PC最小，连接CP，∵菱形ABCD，∴OA＝0C，AC⊥BD，AB＝BC，A和C关于BD对称，∴AP＝CP，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝1，∵E为边BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝，根据勾股定理得：AE＝，∴PE+PC＝AE＝．故选：C．2．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（）A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF【解答】解：A．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ADF（AAS），故选项A不符合题意；B..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，∵EC＝FC，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项B不符合题意；C..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，故选项C符合题意；D..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵BE＝DE，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项D不符合题意．故选：C．3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD＝2，CD＝，则EF＝（）A．1 B．4﹣ C．﹣2 D．3﹣【解答】解：连接CE，则CE＝CD＝，BC＝AD＝2，∵△BCE为直角三角形，∴BE＝，又∵BF＝AB﹣AF＝﹣2，∴EF＝BE﹣BF＝1﹣（）＝3﹣．故选：D．4．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝（）A．45° B．30° C．60° D．55°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AB＝AF，∴AF＝AD，∴△ABF和△ADF都是等腰三角形，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BAD+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴2∠2+2∠3＝270°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠BFE＝180°﹣135°＝45°，故选：A．5．如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是（）A．10 B． C．8 D．【解答】解：∵BE⊥AC，D为AB中点，∴AB＝2DE＝2×4＝8，在Rt△ABE中，BE＝，故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BD⊥AC B．BC＝CD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，当BD⊥AC或BC＝CD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形；当∠ABD＝∠CBD时，由AD∥BC知∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；当AC＝BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形；故选：C．7．如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（）A．1 B． C．4﹣2 D．8﹣4【解答】解：设乙的直角边为x，依题意得：4x+4x＝×42+x2，整理可得：x2﹣16x+16＝0，解得x＝8±4，∵8+4＞4，不合题意舍去，8﹣4＜4，符合题意，∴x＝8﹣4，故选：D．8．如图，四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形，O是正方形ABCD的中心，OE交BC于点M，OG交CD于点N，下列结论：①△ODG≌△OCE；②GD＝CE；③OG⊥CE；④若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积等于1，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵O是正方形ABCD的中心，∴OD＝OC，AC⊥BD，∠ODN＝∠OCM＝45°，∴∠DOC＝90°，∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝OE，∠EOG＝90°，∴∠DOG＝∠COE，在△DOG和△COE中，，∴△DOG≌△COE，∴DG＝CE，所以①②正确，∵∠EOG＝90°，∴OE⊥OG，过点E有且只有一条直线和OG垂直，∴OG不垂直CE，所以③错误；在△DON和△COM中，，∴△DON≌△COM，∴S△DON＝S△COM，∴S四边形OMCN＝S△COD，∵正方形ABCD的边长为2，∴S△COD＝S正方形ABCD＝1，∴S四边形OMCN＝S△COD＝1；所以④正确，即：正确的有①②④，故选：C．9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠ABD＝∠CBD【解答】解：A、∵▱ABCD中，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵▱ABCD中，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；D、∵▱ABCD中，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意；故选：C．10．下列命题为假命题的是（）A．四个内角相等的四边形是矩形 B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形 C．有两组邻边相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等的矩形是正方形【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形，是真命题；B、因为对角线分成的四个小三角形的面积相等，且对角线的交点到各边距离都相等，所以四条边都相等，此四边形是菱形，是真命题；C、有两组邻边相等的四边形是筝形，不是平行四边形，是假命题；D、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题；故选：C．二．填空题（共5小题）11．如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；…依此类推由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【解答】解：∵等边三角形“扩展”而来的多边形的边数为：12＝3×（3+1），正方形“扩展”而来的多边形的边数为：20＝4×（4+1），正五边形“扩展”而来的多边形的边数为：30＝5×（5+1），正六边形“扩展”而来的多边形的边数为：42＝6×（6+1），…∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为：n（n+1）．故答案为：n（n+1）．12．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（﹣3，6）．【解答】解：作BM⊥CD于M，与y轴交于点N，如图所示，∵B（﹣3，1），C（1，4），∴BN＝3，BM＝3+1＝4，CM＝4﹣1＝3，ON＝1，∴BC＝＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝5，∵AB∥y轴，∴点A的坐标为（﹣3，6）；故答案为（﹣3，6）．13．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝4，BC＝6，则图乙中阴影部分的面积为．【解答】解：如图，设FM＝HN＝a．由题意点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，可得四边形HQFP是菱形，它的面积＝S矩形ABCD＝×4×6＝6，∵FM∥BJ，CF＝FB，∴CM＝MJ，∴BJ＝2FM＝2a，∵EJ∥AN，AE＝EB，∴BJ＝JN＝2a，∵S△HBC＝•6•4＝12，HJ＝BH，∴S△HCJ＝×12＝，∵TN∥CJ，∴△HTN∽△HCJ，∴＝（）2＝，∴S△HTN＝×＝，∴S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN＝6﹣＝，故答案为．14．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为54°或144°．【解答】解：如图，当点F在BD上时，∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴DC＝AB＝DB，∴∠CDB＝180°﹣2∠B，∵DE＝DF，∴△DEF中，∠DFE＝（180°﹣∠EDF）＝（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）＝（108°﹣∠CDB）＝54°﹣∠CDB＝54°﹣（180°﹣2∠B）＝∠B﹣36°，∵∠CEF是△AEF的外角，∴∠CEF＝∠A+∠AFE＝90°﹣∠B+∠B﹣36°＝54°，当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，故答案为：54°或144°．15．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有4个【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴AE＝OE，∵S△ADE＝AE•OD，S△EOD＝OE•OD，∴S△ADE＝S△EOD，故①正确②∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴EF⊥OD，∴平行四边形BFDE是菱形，故②正确；③∵OA＝OC，E、F分别是OA、OC的中点，∴EF＝AC，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝EF•BD，故③正确；④∵四边形BFDE是菱形，∴∠FDO＝∠EDO，无法求得∠ADE＝∠EDO，故④错误；⑤∵四边形BFDE是菱形，∴DE＝DF，∴△DEF是轴对称图形，故⑤正确；∴正确的结论有4个，故答案为：4．三．解答题（共5小题）16．已知，如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，E，F分别是BC，CD的中点，求证：AE＝AF．【解答】解：证明：∵菱形ABCD，∴BC＝CD，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EC＝FC，∵AC是菱形ABCD的一条对角线，∴∠ACE＝∠ACF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC（SAS），∴AE＝AF．17．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝EF．若AB＝4，则△CEF的周长为8．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，在△ADF和△ABH中，，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，∴∠FAH＝90°，∴∠EAF＝∠EAH＝45°，在△FAE和△HAE中，，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝HE＝BE+HB，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8．故答案为：EF；8．（2）EF＝BE+DF，理由如下：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中