九年级数学中考复习 相似三角形提优学案

授课标题相似三角形知识点三角形相似的性质定理两个三角形相似，__________________.三角形相似的判定定理1、__________________的两个三角形相似．2、__________________的两个三角形相似．3、__________________的两个三角形相似．相似三角形周长、面积的性质(1)相似三角形周长的比等于__________．(2)相似三角形面积的比等于________________．相似三角形中对应线段的性质(1)相似三角形对应高之比等于__________．(2)相似三角形对应中线之比等于__________．(3)相似三角形对应角平分线之比等于__________．三角形重心的概念三角形的__________相交于一点，这点叫做三角形的重心．相似三角形的判定与性质例1如图正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．变式1如图在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，交BA的延长线于点F，且AD2＝DE·DF.求证：(1)△BFD∽△CAD；(2)BF·DE＝AB·AD.相似三角形性质定理的应用例2如图矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝eq\f(2,3)EH，则EH的长为________．变式2如图在△ABC中，D为BC上的一点，且∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，AB＝28，BC＝36，求eq\f(BE,EF)的值．相似与动点问题例3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．变式3如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）请判断△PFA与△ABE是否相似，并说明理由；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．练习1．如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为()A．4B．4eq\r(2)C．6D．4eq\r(3)3．如图6－Y－5，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是()图6－Y－5A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点4．如图6－Y－6，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是()图6－Y－6A．①②③B．①C．①②D．②③△ACD是BCDF=0求证：△BDE∽△CFD；BD=1，CF=3BEABCDAAE⊥BCEDE，FDE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC；AB＝8，AD＝12，AF＝6，AE的长．7．如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．8．如图在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．9．在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；②若BD＝3CD，求的值；（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．解析例1略变式1[解析](1)根据相似三角形的判定得出△ADF∽△EDA，再利用相似三角形的性质得出∠F＝∠DAE，进而证明△BFD∽△CAD即可；(2)由△BFD∽△CAD得出eq\f(BF,AC)＝eq\f(DF,AD)，∠B＝∠C，从而AB＝AC，再证明eq\f(BF,AC)＝eq\f(AD,DE)，进而解答即可．证明：(1)∵AD2＝DE·DF，∴eq\f(AD,DF)＝eq\f(DE,AD).又∵∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F＝∠DAE.∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ADB＋∠ADF＝∠CDE＋∠ADF，即∠BDF＝∠CDA，∴△BFD∽△CAD.(2)∵△BFD∽△CAD，∴∠B＝∠C，eq\f(BF,AC)＝eq\f(DF,AD)，∴AB＝AC.由AD2＝DE·DF，可得eq\f(AD,DE)＝eq\f(DF,AD)，∴eq\f(BF,AC)＝eq\f(AD,DE)，∴eq\f(BF,AB)＝eq\f(AD,DE)，∴BF·DE＝AB·AD.[答案]eq\f(3,2)例2[解析]设EH＝3x，用含x的代数式表示出EF，由AD－EF表示出△AEH的边EH上的高，根据△AEH与△ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，从而得出EH的长．具体的解答过程如下：设AD交EH于点M.∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴AM⊥EH，△AEH∽△ABC.∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(EH,BC).设EH＝3x，则EF＝eq\f(2,3)EH＝2x，AM＝AD－EF＝2－2x，∴eq\f(2－2x,2)＝eq\f(3x,3)，解得x＝eq\f(1,2)，则EH＝eq\f(3,2).变式2[解析]BE，BF可以分别看成是△ABD，△CBA的角平分线，因此，利用条件“∠BAD＝∠C”来证明△ABD∽△CBA，再根据相似三角形对应线段的比等于相似比求得eq\f(BE,EF)的值．解：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∵BF平分∠CBA，∴BE，BF分别是△ABD和△CBA的角平分线，∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(AB,CB)＝eq\f(28,36)，即eq\f(BE,BF)＝eq\f(7,9)，∴eq\f(BE,EF)＝eq\f(7,2).例3【答案】（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．变式3【答案】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=，∴EF=AE=.∵，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.1．解：∵△ACD∽△ADB，∴＝，∴AB＝＝1，故选：A．2．[解析]B∵BC＝8，AD是中线，∴CD＝4.在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(CD,AC)，∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝4eq\r(2)(负值已舍去)．故选B.3．[解析]B如图，连接OA交PQ于点C，过点C作CD∥AB，交y轴于点D.∵A(9，6)，∴AB＝9，OB＝6.∵AB∥OP，∴△OPC∽△AQC，∴eq\f(OC,AC)＝eq\f(OP,AQ)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(OC,OA)＝eq\f(1,3).∵CD∥AB，∴△ODC∽△OBA，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(1,3)，∴CD＝3，OD＝2，∴C(3，2)，∴线段PQ始终经过点(3，2)．4．[解析]A由题意，得eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AE)＝eq\r(2)，∠BAE＝∠CAD＝135°，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA.又∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴eq\f(MP,MA)＝eq\f(ME,MD)，∴MP·MD＝MA·ME，故②正确；∵eq\f(MP,MA)＝eq\f(ME,MD)，∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∴∠CPA＝90°.易知∠CAE＝90°，∴∠CPA＝∠CAM，而∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，eq\f(CP,CA)＝eq\f(CA,CM)，∴CP·CM＝CA2＝2CB2，故③正确．故选A.ABC∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，PAGE13∴△ADF∽△DEC；（2）ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴DE＝16．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，7．（1）证明：连结OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．8．解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF.∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCF＋∠DGF＝180°.又∵∠AGF＋∠DGF＝180°，∴∠AGF＝∠DCF.∴△AFG∽△DFC.(2)如图，连接CG.∵∠CDG＝90°，∴CG为⊙O的直径．∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△ADE∽△FDA，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AD,FD)，即eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,FD).∵△AFG∽△DFC，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AF,DF)，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AE,AD).在正方形ABCD中，AD＝CD，∴AG＝AE＝1，DG＝A