专题10几何三大变换之平移探讨

【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探（1（2）（3）（4）（5）（6）（7）一、构造平移图形典型例题1.（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，9X9的正方形网格中有一个格点△ABCl个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△AlBlCl．(2)在网格中画出△ABCA900后得到的△AB2C2(3)在(1)中△ABCAC【答案】（1（2）如图所示（3）∵△ABC4个单位后得到的△A1B1C1，△ABCAC所扫42AC所扫过区域的面积=4×2=8。【考点】作图（旋转和平移变换平行四边形的判定和性质【分析（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可根据图形旋转的性质画出△ABCA90°后得到的△AB2C2根据△ABC4个单位后得到的△A1B1C1，△ABCAC所扫42为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。将△ABC32π)。【答案】（1）两次平移后的△A1B1C1如图所A1（0，2；C1（2，090171212

，∴S

17 B1C1旋转过程中扫过的面积为174【考点】作图（旋转和平移变换扇形面积的计算【分析（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1B1C1的长，由扇形的面B1C1旋转过程中扫过的面积。例3.（2012六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABCA的坐标为（﹣4，1），B的坐标为（﹣1，1）．Rt△ABC51Rt△A1B1C1．试在图中画出图形Rt△A1B1C1A1的坐标；Rt△A1B1C1绕点A190°Rt△A2B2C2Rt△A2B2C2．并计Rt△A1B1C1C1所经过的路程．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1A1的坐标为（1，0）（2）如图所示，△A2B2C2

22+32 C19013

13 【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换勾股定理，弧长的计算【分析（1）A．B．CA1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，A1的坐标即可。A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。例4.（2012省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABCAA1画出点B关于直线AC的对称点D，并AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的【答案】（1）答案不唯一，如图，平移即可5 ，BD= 5∴△ABD∴ADAB绕A90°【考点】作图（平移变换、轴对称变换，全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理BACDDADAB5.（2012海南8分）如图，在正方形网络中，△ABCA、B、C的坐标（－2，4（－2，0（－4，1画出△ABCOA2（0，2在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与 （1）△ABC（0，－2（－2，－1△1C11，－（－24→A（020、C（－4，1）22得到B2（0，－2、C2（－2，－1，连接即可。6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC43个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．在网格中画出△A1B1C1计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（部分不重复计算【答案】（1）如图所示（2）∵1222AC222∵将△ABC4AC4为2为高的平行四边形的面积：4×2=8。3AC3为高的平行四边形的面积：4×2=6，以 2为半径，圆心角为90°的扇形的面积部分是以A1为圆心，以 ，的扇形的面积，去掉部分，面积为

4522=ACA1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可例7.（2012白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是 【答案】A【考点】生活中的平移现象A。练习题（10（30（21（43（65（47y2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题： 3.（2012福 1，xB均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点A′B′.C在函数yk的图像上，△ABCABC的坐标x4.（20127分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)，O90°A2B2A1AA1A25.（2012湖南张家6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1C1180°得到6.（2012凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形A、B、C、DABCDyABCD（7.（2012辽宁丹8分）已知：△ABCA（0，3，B（3，4，C（2，2）.（正方形网格中，1个单位长度画出△ABC4个单位得到的△A1B1C1C1C2点的坐标及△A2BC2的面积．例1.（2012肇庆3分）点M（2，1）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 A（2，0） B（2，1） C（2，2） D（2，【答案】B【考点】坐标平移M（2，-1）2个单位长度，∴－1＋2=1（2，1例2.（2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为 （1，1【考点】坐标平移P（﹣1，4）23个单位长度，∴﹣1+2=1，4﹣3=1P1的坐标为（1，1）则点P′表示的数是 【答案】2【考点】数轴和数，平移的性质【分析】如图，根据平移的性质，点P′表示的数是2。 例3.（2012省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【】【答案】D【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值【分析】AB与⊙O相切，△BAPx表示出∵AB与⊙O

3(2x)∴△APB的面积y

（0≤x≤22∴△PABy关于x的函数图像是经过（2，0）0≤x≤2D。4.（2012浙江嘉兴、4分）ABCDaPA出发，沿折线A→B→D→C→AAPx，APy关于x的函数图象大致是 B．C．【答案】D【考点】动点问题的函数图象【分析】PA→B→D→C→A的路径运动，因此，yxPA→By随xy=xPB→Dy在动点PBDBPD→Cy随xA，CPC→Ay随xDD5.（2012浙江温4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，MABPA沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 【答案】C【考点】动点问题的函数图象【分析】CM，∵MAB

2开始时

2的中点时，点Q也到达BC的中点，此时 结束时

4

2△MPQC 例6.（2012 黄石3分）如图所示，已知A(2,y1)，B(2,y2)为反比例函数yx图像上的两点，动点P(x,0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 1(,2

(,2

(,2【答案】D【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系 【分析】A2y1，B(2y2y

得 2 ，2，B（2， ∵在△ABPABxP′PP′点时，PA－PB=AB，APBP之差达到最大。ABy=kx+bA、B 2=

k=

AB的解析式是yx52

y=0

5P（

，0 7.（2012辽宁大3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4（3，4（3，1B的横坐标的最小值为1A的横坐标的最大值为【】 【答案】B【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质【分析】PC－D－EBBPC∵C（－1，4∵B（1，00=a1+12+4，解得a=－1B的横坐标的最小时抛物线的解析式为yx+12+4APE重合，E（3，1A的横坐标的最大时抛物线的解析式为yx32+1。令y=0，即x32+1=0，解得x=2或x=4。ABA2BA2。例8（2012市5分）操作与探究：PP

1表示的数乘以13点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是3，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 2xoyABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个amn个单位（m＞0,n＞0A′B′C′D′A,BA′,B′ABCDFF′FF（1）0；32a23am 2 m

3am0an

，解得 F的坐标为

n1x1

x1F′F1

y2

，解得y4（1，4【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质BEb，根据题意列出方程计算即可得解：点

3×3Ba1a+1=2，解得a=33Eb1a+1=b，解得b=3 F的坐标为（x，y，根据平移规律列出方程组求解即可。9.（2012江苏常9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2M为边BCPCD上的动（点P异于CD两点连接PM，过点PPM的垂线与射线DA相交于点E（如图CP=x，写出y与x之间的函数关系 若点E与点A重合，则x的值 【答案】（1）y=－x2＋4x2（2） 或222过点PPH⊥ABH∵点DPED′AB4x2∴PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x24x2在Rt△D′PH中，PH=2D′P

x28x+12∵∠ED′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′∴△ED′A∽△D′PH。∴△ED′A∽△D′PH。 ，

x2＋4xx2

4 x22x22即x ，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得x x2 22+ 2+2∵当x2

时，y=

>22 EDA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根222 222∵当x

时，y=

<22 EAD∴当x22

2DPED′AB【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程【分析（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且DEDPy4x。∴y=－x2＋4x （2）EA重合时，y=22=－x2＋4x，x2－4x＋2=0解得x22PPH⊥ABHDPED′AB上，可得△E与△D′PHx10.（20128分）2的⊙OlAPAB左侧半圆x2

xPDPCPOPODl （1）∵⊙O又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB。∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°PCPAPA2=PC·PD 52∵PCx5，AB=4PA522∴在Rt△APB中，由勾股定理得：PB 6（2）OOE⊥PDE∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FDOECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2∴CD=PC－PDx－2（x－2）=4－x∴2x32+2

PDPC=2x24x=2x2+12x∵2<x<∴当x=3PDPC2【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PClABPC平行，根据两直线平行内错角相PCABPARt△APBABPA的长，利PB的长。OOE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到EPD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函xx的取值练习题1.（2012山东东营3分）将点A（2，1）平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是 B（2，－１） C（4，1） D.2.（2012广西3分）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是【 A（－1，2） B（3，2） C（1，4） D（1，0）3.（2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为 4.（2012攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴D（5，4），AD=2E、FO出发，EOA→AD→DCC点时停止；FOCC1E运动秒x△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为 5.（2012内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，ABC的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒，yPC2,则y关于x的函数的图像 A.B.C.D.6.（2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿ACC作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速PC点时，P、QPts．PA．CP为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙PBC27.（2012河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且xP、Ql和x点B的坐标是 º，当点Q与点A重合时，点P的坐标 设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相xDE（答：结论一 若∠B=45°，BC=2DBC上运动时（DB、C重合CE②若△ADEBD（2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O1cms的速度沿线段OA→ABQ从点Oacms的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．t秒．填空：点C的坐标是 )，对角线OB的长度 a=1时，设△OPQSStt为何值时，S的值最大POAQCBPQOBM.若以O、M、P为顶点的三角形与△OABa与tt的取值范围．（2012福建福13分）如图Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8P从点A开始沿AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点QC开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点PPD∥BCAB于点D，连接PQP、Q分别从点A、C同时出发，当其中一t秒(t≥0)．直接用含t的代数式分别表示 Q的速度(匀速运动)PDBQQ的速度；PQM11.（2011黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m,n)表示第m行n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(mn，如果调整后的座位为(i,j生作了平移

,并称a

时， 的最大值 例1.（2012湖南娄底3分）对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是 BC4y=﹣2xDx轴的交点坐标是例2.（2012福建南平3分）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线 【答案】y=2x＋1【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系（0，0（0，1ky=2x＋b。2×0+b=1b=1。∴所得到的直线是y=2x＋1。（1，0（0，2，A1、B1的坐标分别为（2，a（b，3，则a+b= 【答案】2【考点】坐标与图形平移变化例4.（2012江西南昌3分）如图，有a、b、c三户家用电路接入，相邻电路的电线等距排列，则三 A．a户最 B．b户最C．c户最 【答案】D【考点】生活中的平移现象，平移的性质平移，便可直观观察到都是相等的。因此a c三线长度相等。故选D。的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=-1x2+7x+4A、B两点 写出点AB若一y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）t（秒）PBCA的最大面积；的坐标；若不存在，请说明理由（1）A（8，0，B（0，4。∴C（0，－4A（8，0，C（0，－4）

k= b=

，解得

2。∴直线AC： x42∵直线l2t，∴OE=2t。P2t，2t27t4，在y1x4x=2t，得y=t4，∴M（2tt42∵BC=8，PM=2t27t4t

，OE=2t，EA=42tSS梯形

12t26t882t142t2t26t 4t220t16 PBCASt的函数关系式为S4t220t16（0＜t＜4 5∵S=

20t16=4t 2 2

PBCA41（2若∠PAMPA⊥CA，∴△AOC∽△PEAOCOA ÷设 p2 p+4÷，则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP= p2 p+4÷ ∴8

1p27p

，整理得p2

11p+24=0，解得p1=3，

（舍去当p=3时，-1p2+7p+4=-1? 7? ∴P（3，10 【分析（1）y=-1x2+7x+4x=0，得y=4y=0x=－1或x=8 ∴（8，，B（0，AB=ACCACMt的表达式，根据SS梯形

PBCAStPBCA存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据例 广州14分）如图，抛物线y=3x23x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的 侧），yA、BD为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACBD的坐若直线lE（4，0），MlA、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有l的解析式．【答案】解：（1）在y3x23x+3y=0，即3x23x+3=0x1=﹣4，x2=2 AB的左侧，∴A、BA（﹣4，0）、B（2，0）（2）由y3x23x+3x=﹣1 在y3x23x+3x=0y=3 1ABOC1639OA2Rt△OA2

42 42设△ACDACh12如图 AC，且到AC的距 ，这样的直线有2 对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。设L1 ∴CE

9sin sin 5AC

k=

，解得 4AC解析式为y3x34L1ACCE长度单位（9个长度单位）2L1的解析式为y3x393x3 D13139。∴D1（﹣49） AC9L2D2（﹣127） 综上所述，D点坐标为：D1（﹣49），D2（﹣127） （3）2AB为直径作⊙FFE点作⊙F2条．FMM作MN⊥xN。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙FFE=5Rt△MEF

4，sin∠MFE=4，cos∠MFE35252Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3412 FN=MN•cos∠MFE=339 ON4。∴M点坐标为（412） l过M（412 4

k=ly=k1x+b1，则有

，解得 4ly=3x+34y=3x﹣34ly=3x+3y=3x﹣3 【分析（1）A、Bxy=0根据题意求出△ACDAChAC的平行线，平行线之间的距离等于hD点．从一次ACAC的解析D点坐标。这样的平行线有两条。本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”A、BxlA、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意AB为直径作圆，当直线与圆A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。例7.（20129分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x＋b(b≥0)的位置随b的不同取已知⊙M的圆心坐标为(4，2)当b= 时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)经过圆心M：当b= 时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：B（6，0设直线lABCDSbSb5（1）10；0 5如图，当直线lA(2，0)时，b=4；当直线lD（2，2）时，b=6；当直线l（6，0）时，b=12；当直线lC(6，2)时，b=140≤b≤4时，直线lABCDS04＜b≤6时，直线lABCDS为△EFA的面积（1），在y=－2x＋b中，令x=2y=－4＋bE（2，－4＋b），y=0，即－2x＋b=0x=1bF（1b，0） ∴AF1b2，AE=－4＋b2

2－4＋b1b2－2b+4446＜b≤12时，直线lABCDS为直角梯DHGA的面积（2），y=－2x＋b中，令y=0x=1bG（1b ∴DH1b3，AG1b2。 ∴S=1DH+AGAD1b52b5 12＜b≤14时，直线lABCDSDMNBA的面积=ABCD的面积－△CMN的面积（y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=1b2M（1b2∴MC=71b，NC=14－b2∴S421MCNC8171b14－b1b27b41 2 2 b＞14时，直线lABCDSABCD8。综上所述。Sb的函数关系式为：00b11b2－2b+44<b4Sb56b 11b2+7b4112<b8b【分（1）①∵直线y=－2x＋b(b≥0)经过圆心，∴2=－2×4＋b，解得b=10My=－2x＋bPPPH∥xMMH⊥PHHy=－2x＋b与x，yA，B则由△OAB∽△HMPMHAO1 MP的解析式为y1x＋b 由M(4，2)，得214＋b，解得 。∴直线MP的解析式为y1x y=－2x＋b和y1x，解得x2b,y1b ∴P（2b,1b PM=2b-4+b-

4，化简得4b220b+80=0 5解得b=10 5（2）求出直线lA、B、C、Db0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。222例8.（20129分）如图，在等腰梯形ABCD中 ，高 222AC、BDHBDMN、RQAACC匀速ABCDM、N和R、QACF、GRQCABCDMNS1RQ扫过的图形S2MN1单位/RQ2单位/秒，设两直线移动的时间x秒．填空 S2=3S1，求S2=mS1m【答案】解：（1）90°；4（2）直线移动有两种情况：0＜x33≤x≤2 0＜x3时，∵MN∥BD，∴△AMNARQ2MN1单位/RQ2单位/∴△AMN和△ARQ1：2 2∴2

4。∴S2=4S1，与题设S2=3S1 10＜x3xS2=3S123≤x≤22 4

△42x

2∴SCRQ2

=82x1 又

1ABCE132

6梯形 （

2 22 AF 2 2

2

AH x，S2=8﹣8（2﹣x）3∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3·2x2，解得：x162（舍去），x2=2 ∴x2（3）由（2）0＜x323≤x≤22 882

2∴m=2

=

12 +4 23

3∴m13≤x≤2112时，m1 x=3时，m4x=2时，m32∴m的变化范围为：3≤m≤4【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质【分析（1）C作CK∥BDAB∵CD∥ABDBKC2 ，CK=BD2∴AK=AB+BK32242ABCD是等腰梯形，∴BD=AC

=CE2 22∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°∴AC=AK•cos45°=42

42（2）直线移动有两种情况：0＜x33≤x≤2 0＜x3S2=4S1≠3S1

≤x≤2 可求得△BCD与△CRQS2S1S2=3S1x 882 时，m=4；当≤x≤2时，可得m=2

2

3于x的二次函数m= +4，利用二次函数的性质求得m的变化范围 39.（2012福建福14分）y＝ax2＋bx(a≠0)A(3，0)、B(4，4)OB向下平移mDmP的坐标(P、O、DN、O、B对应

，解得 OBy＝k1xB(4，4)，得：4＝4k1k1＝1。OBy＝xOBm个单位长度后的解析式为：y＝x－mDy＝x2－3xD(x，x2－3x)Dy＝x－mx2－3x＝x－mx2－4x＋m＝0△＝16－4m＝0，解得：m＝4。x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2D点坐标为(2，－2)。OBy＝xAOBA'的坐标是(0，3)。A'By＝k2x＋3B(4，4)，44∴直线A'B的解析式是 1x＋3∵∠NBO＝∠ABONA'B

，4n＋3)，又点Ny＝x－3x1n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－3，n2＝4(不合题意，会去) ∴点N的坐标为 45如图，将△NOBx ∴O、D、B1y＝－x∴OP1＝OD＝1P1的坐标为(－3，－45)

将△OP1Dy＝－xP2(45，3)综上所述，点P的坐标是

45

【分析】(1)根据已知可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。0，由mD点坐标。y＝－xP点有两个。练习题（2012山东枣庄3分）将直线y2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为 y

y

y

y2.（2012市3分）将正比例函数y=－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可 （写出一个即可（2011随州4分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和 B、 C、 D、（201110分）如图（1）所示，AB是⊙O的直径，ACEF和⊙OC，AD⊥EFD。EF向上平行移动，如图（2）所示，EF交⊙OG、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？BC∥AD∠BAD=90°，BCyMMBC的中点，A、B、DA（1，0，B（1，2（30xEQQ

＝3

＝5，过点A作直线AC⊥ABy轴于点C.E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上lAC1个单位/AB方向平行移动.直线l在平移过程射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s.ACl在平移过程中，请直接写出△BOFFlEld，求dt备用图例1.（2012市4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式 【答案】y=x2+x﹣2【考点】二次函数图象与平移变换y=x2+x2y=x2+x﹣2。例2.（2012广州3分）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析 【答案】A【考点】二次函数图象与平移变换【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加。上下平移只改变纵坐标，下减y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1。故A。3.（2012陕西3分）在平面直角坐标系中，将抛物线yx2x6向上（下）或向左（右）个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为 【答案】B【考点】二次函数图象与平移变【分析】x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移x=0时，y=－6yC（0，－6（－20（302个单位恰好过原点，故|m|2B例5.（2012兰州4分）抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的 A23B23个单位C23D23【答案】B【考点】二次函数图象与平移变换【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可y＝x2个单位向下平移3个单位y＝(x2)2323B例 3分）如图，把抛物 12平移得到抛物线m，抛物线m经过点 2

1 2

2Q【答案272【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的NPMO的面积，然后求解即可：PPM⊥yMPQxOA（﹣6，0）x=﹣3∴平移后的二次函数解析式为：y=12将（﹣6，0）代入得出：0=1（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣9P的坐标是（3，﹣9） NPMO∴S3927 2例7.（2012广西桂林3分）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平 个单位后，其顶点在直线上的2处，则平移后的抛物线解析式是 1【答案】C【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，勾股定理2【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO= ，利用勾股定理求出m的2∵Ay=x上，∴设22 ）2，解得：m=±1（m=－1舍去）。∴A（1，1）2228.（2012江苏南14分）A(0，－4)y＝1x2＋bx＋c与x2C，O2y＝12

7向上平移2

P在△ABCmM在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACBAM2【答案】（1）将A（0，－4、B（－2，0）代入抛物线y12

0c b22bc0c422由题意，新抛物线的解析式可表示为y=1x+m2x+m4+7 y1x2m1x1m2m1P（1－m，－1 C（4，0PAB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m52（1－m）＋4=－1P在△ABC内时，0＜m52A（0，-4、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。OAON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。如图，在△ABN、△AM1BAB2=（－2）2+42=20，AN=OA－ON=4－2=2，综上，AM62【分析（1）A、Bm表示出该函数的顶点坐标，将其AB、ACP在△ABCm的取值范围。OAN，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMBy轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后AM的长。例 市7分）已知二次函数y(t1)x22(t2)x3在x0和x2时的函数值相等2若一次函数y 的图象与二次函数的图象都经过点A(3，m)，求m和k的值xB,C（B在点C的左侧B,C间（BC）向左平移n(n0C（2）ykxnG有公共点时，n的取值范围。【答案】（1）∵x0和x2时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为x1∴2t

，解得t32∴二次函数解析式为y1x2x3 m1×32336，A（－3，－6 又∵一次函数y

A3k66，解得k4B，Cy1x3x1，1≤x≤32则向左平移后得到的图象C的解析式为y1x3nx1nn1x3n2此时一次函数y4x6的图象平移后的解析式为y4x6n∴当xn104n16n，即n23当x=3n043n6n，即n6∴2≤n≤3【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质【分析（1）x0和x2x0+2=12由对称轴公式xb=1可求得t3 （2）由二次函数图象经过A(3，m)点代入y1x2x3可求得m6 y

A点，代入可求得k410.（2012广西柳12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=5ABx轴，AByA、B、A、B、CC1若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时 2如果将（2）xA′B′yC′，当平移多少个单位时，C′A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料．y2=x（x≥0x1=1y2=1，∴y1=1，y2=-1．x2=3y2=3，∴y33，y43y1=1，y2=-1，y33，y43x2x2x2

y

x2x2（1）∵AB ×2=1 52（－1，0，B52BC2在Rt△OBC中，BC2

（0，2根据题意得：b ，解得：b y2x22 1Dm，则AB•|m|=1，∴m=±12当m=1时，－2x2+2=1，解得 22当m=－1时，－2x2+2=－1，解得 622266∴D的坐标是 ，1）或 ，－1， ，－12266 c0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。y2xc22。x=0y=－2c2+2OC′=＋2c2+2（－22＋）2=（－c（1＋c32

，1，－1（3233故平 或1个单位长度32【分析（1）yABOA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股OCA、B、C的坐标即可求解。1首先求得△ABC的面积，根据 S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D2D设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同c的值。练习题1.（2012黔东南4分）抛物线y=x2﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点 2.（2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 A.（－2，3）B.（－1，4）C.（1，4）3.（2012江苏扬州3分）将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物 4.（2012鄂州3分）把抛物线yx2bx4的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为yx22x3，则b的值为【 5.（2012浙江丽水、金华10分）Ay＝x2OA，OOB⊥OABOA、OBAOBC．如图1，当点A的横坐标 时，矩形AOBC是正方形2A的横坐标为12By＝x2作关于xy＝－x2y＝－x2经过平移交换A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．6.（2012福建三12分）已知直线y=2x5x轴和yAB，抛物线yx2bx+c的MABABN．MA（4（4抛物线yx2bx+cABM，使得△OMN与△AOB相似？若存在，M（4分）（201114分）y=x2+4x+m（m为常数）经过点m对称轴（l2）与平移前的抛物线的对称轴（l1）y轴对称；它所对应的函数的最小P3Px（2011山东枣庄10分）xoyyx214yxh)2k.xA，B两点（AB的左边，yCD.判断△ACDACM，使△AOM∽△ABCM的坐标；若不存在，说（2011 呼和浩特12分）已知抛物线y1x4x1的图象向上平移m个单位（m0）得到的2抛物线过点m

axh)2kxxx轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.y析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在3x3y2y3nx说明理由

x的值为1x0，若存在，求出n（2011绵阳12分）已知抛物线y=x2－2x+m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如B．mAxC，求证：△ABC4C′x轴的左半轴Ey轴交于FC′P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．五、三角形的平移典型例题先把△ABC4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是【】 【答案】B【考点】坐标与图形的对称和平移变化【分析】∵将△ABC4个单位得△A1B1C1，∴A1的横坐标为-2+4=2∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，∴A22，纵坐标为－3（2，－3例3.（2012江苏无锡2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 【答案】3【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质【分析】由∠ACB=90°，AB=8，DAB1得 AB=4。然后由平移的性质得GH∥CD，因此△AGH∽△ADC。2又∵△EFG由△BCDBA1cmAG=4－1=33GHGH=3

AGGH A（－2，3，B（－－1，C（2，0，坐标为（3，1）.则点C1的坐标为 （7，－2【考点】坐标与图形的平移变化【分析】根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，得到C点的平移方法（3，1，可得C1（2＋5，0－2，即（7，－25.（2012浙江义3分）8的△ABC沿BC1个单位得到△DEFABFD的周长为 【答案】C【考点】平移的性质【分析】8个单位的等边△ABC沿边BC1ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10C例6（2012安顺12分）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶图中格点△A′B′C′是由格点△ABCa、bA的坐标为（﹣3，4），请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．【答案】解：（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC7（2）a、bA的坐标为（﹣3，4），则格点△DEFD（0，﹣2），E（﹣4，﹣4），F（3，﹣3），FFG∥xDEG，G（－2，－3）。△△∴S△△

△ △ 【考点】作图（平移变换，网格问题，三角形的面积【分析（1）直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可（2）根据△DEF所在的格点位置写出其坐标，过点FG7.（2012浙江温8分）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，将△ABCBC方向10cm，得到△DEF，A，B，CD,E,FADACFD是菱形。【答案】证明：由平移变换的性质得，CF=AD=10，DF=ACAB2ACAB2【考点】平移的性质，勾股定理，菱形的判定【分析】CF=AD=10，DF=ACRt△ABCAC10，8.（2012湖南湘8分）如图，△ABC3的等边三角形，将△ABCBCBC点重合，得到△DCEBDACACBD求线段BD【答案】解：（1）AC⊥BD。证明如下∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC又∵△ABC是等边三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°62在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴62【考点】等边三角形的性质，平移的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理（2）Rt△BDEBDRt△ABCA＝90°AB＝AC（－20B（0，1C（d，2求d将△ABCxB、CB′、C′正好落在某反比例函数图B′C′的解析式；在（2）B′C′交yGxM和反比例函数图像上的点PPGMC′MP的坐标；如果不存在，请说明理由（1）在 A和Rt△AOB中∴ ≌Rt△B（LC在第二象限，∴d＝－3设反比例函数为ykC′B′xC′（c，2B（c3，C′和Ｂ′的坐标分别代入ykk＝2c；k＝c＋3x∴2c＝c＋3，c＝3k＝6。∴反比例函数解析式为y6xC（32；B61

a设直线C′B′的解析式为y＝ax＋bC′B′两点坐标代入得6ab

解得 3C′B′的解析式为y1x333G（0，3，C′（3，222325。∴Q（35 QlxM′点，与y6x3P′P′GM′C′P′Q＝QM′M′的横坐标大于P′23横坐标小于。2P′Ｈ⊥xH，QK⊥yK，P′HQKEQF⊥xF，则△P′EQ≌△QFM′。设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为3t，点P′的纵坐标y为6

，02

32

3 3

5

5

t2

3

5，解得t

3 2 23（经检验，它是分式方程的解∴3t3

6，

5，3t3

9 6

3 329

0）P为所求的点P，点M′为所求的点M 【分析（1）作CN⊥x轴于点N，由 A≌Rt△AOB即可求得d的值GC′QQlx点，与y6P′P′Q＝QM′M′P′x例10.（2012兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半3x＝52CD是否在该抛物线上，并说明理由；在(2)BDP使得△PBDP在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(M与点O、B不重合)，过点M作∥BDx轴于点N，连接PM、PNOM的长为t，△PMN的面积为SSt的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，SM点的坐标；若不存在，说明理由．（1）∵3x＝5b5，解得b10 2 3∴所求函数关系式为y2x210x+4 OA2（2）Rt△ABO中，OA＝3，OA2

5ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、x＝5y252105+4=4 x＝2y222102+4=0 C和点DCDPP为所求的点，CDy＝kx＋b，k= 则2k+b=0

。∴直线CD对应的函数关系式为y=x b= ，当x＝5时，y=458=2。∴P( 2)， OMONtON，得ONt xF，则S梯形

1PF 2 1OMON=1t1t=1t2

1NFPF=151t2 2 2

5t+51t21t+51t2+17

6

12 1

17

∵S=4t+12t=4t6

， <0

∴当t=17时，S取最大值 。此时，点M的坐标为(0，17) 【分析（1）y＝2x2＋bx＋cB(0，4)x＝5b，c 52时，y的值即可。CDy＝kx＋bx＝5y2MN∥BDOMN∽△OBD

练习题（2012福建莆田4分）如图，△A’B’C’是由ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC＝3cm，则 2.（2012山东聊城3分）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是 把△ABCC90°2把△ABCC90°5把△ABC4C把△ABC5C3.（2012区3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若

SPBC 31 314.（2012宜昌3分）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移△DEF的位置，下面正确的平移步骤是 先把△ABC52先把△ABC52先把△ABC52先把△ABC525.（2012辽宁铁岭3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移后点B的对应点B′的坐标为 若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 （1，Rt△ABCCDECB将图（1）中的△ADEAB向右平移到△A′D′E′E′BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．8.（20117分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐OAxOA＝AB＝1Rt△OABx轴正方向平移1AB1若（1）OBC，与D、C的坐标．

y1.（2012山东青3分）ABCD32A的对应点A1的坐标是 【答案】B【考点】坐标与图形的平移变化【分析】ABCD32A32（0，120（60D（0，3C．CABCDmBm【答案】解：（1）过点CCE⊥ABABCDykxC3k4y12x（2）ABCDmB′（6，m）y12xx=6m12=26m=2【分析（1）CDC作CE⊥ABE，则△AOD≌△BEC，即可求BEOEC的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数得出3.（2012重庆12分）ABCDAB=3．E为BCBEBEFGBEFGABCDBCFACBE将（1）BEFGBCBEFCB′EFGECtB′EFGEFACMB′D，B′M，DMt，使△B′DMt的值；若不存在，请说明理由；在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC部分的面积为S，请直接写出S与t之间t的取值范围．【答案】解：（1）BEFGx，BE=FG=BG=x。∴AG=GF

3xx t，理由如下：DDH⊥BCH，BH=AD=2，DH=AB=3，∴ME=EC

ME4

在Rt△B′ME中 t2﹣2t+8 +13MMN⊥DHN

1，2，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣1t） 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（1 t2+t+1 即t2+t+1=（1t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=20 去）

即 （ 即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），综上所述，当t=20或 时，△B′DM是直角三角形7t20t4 3 1t2t24＜t2 3 （3）S 5 10t22t2＜t 3 31t510＜t4 2 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质【分析（1）BEFGx，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，BE的长。首先由△MEC∽△ABCB′M，DMB′D∠DB′M和∠B′DM分别从0t44＜t22＜t10和10＜t4 FCD2：3=CE：4，∴CE=83∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣84 ∵ME=2﹣1 1 2△∴当0t4时，S=SFMN=1×t×1t=1t2△ GAC

ECDH34t=33t ∴FK=2﹣EK=3t﹣14∵NL=2AD=4，∴FL=t﹣4 2△△4＜t2时，S=SFMN﹣SFKL1t﹣1（t﹣42△△3（3t﹣1）1t2t2

GCD3∴EC=4﹣t=B′C﹣2=2。∴t=10 （6﹣t）=3﹣ 1﹣1 23∴当2＜t103

1

（1

1）﹣1（t﹣4

3t梯

3t22t5 ④如图⑥，当10＜t43 2∴S=S

B′EKL﹣S

B′EMN1t5 1t20t4 3 1t2t24＜t2 3 综上所述：S 5 10t22t2＜t 3 31t510＜t4 2 4.（2012江苏宿12分）xoyl1:y=1xl2：y=－x+62Ml2与xM，N在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2ABx轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解；在（2）t为何值时，S的值最大？并求出最大值1

【答案】解（1）解

得y

（4，2在y=－x+6y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0（2）St1t20t1t11<t 32 S=

t t

4<tt+135<t221t27t+496<t t=0，2t1tS11tt1t2 2 ②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的部分的面积为一梯形面积，梯形的上底1t11t1S11t11t11t1 2 1t12，高为4t1=5t；第二个梯形的上底为－t+62，高为t42∴S11t1+25t1t+6+2t43t213t49

④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的部分的面积为一梯形面积，梯形的上底6－t7－t1。∴S16t+7t1t+13 t=77－t7－tS17t7t1t27t49 A（0，2B（－2，0，OAC作直线BC，以线段BCBCDE.填空：点D的坐标为 ，点E的坐标为 若抛物线yax2bxc(a0A、D、E三点，求该抛物线的解析式

5BCy轴上时，正方形和抛物线均停止运动t的取值范围.②运动停止时，求抛物线的顶点坐标（1）D（－1，3，E（－3，2（0，2（－1，3（－3，2a2c 2 abc ，解得b 。∴抛物线的解析式为yx2

x9a3bc

cDy1，DD11DC1BC

5，t=1 By2，BB1=BC=5

55155Ey

5+5

5，t=320＜t≤14y2△CC′FD′C′yF∵tan∠BCO=OB∴tan∠FCC′=2,FC'=2

5111

5t

t×5t2 2CC′D′GD′E′yGGGH⊥B′C′H

5，∴CH=1GH=5 5t，∴HC′=1

5t－525S梯形CCDG2

5t

2+ 1＜t≤36y2B′C′D′MND′E′、E′B′yM、N55∵CC′=5t，B′C′=555

5

5。∴B′N=2CB′=

t ∴

5，∴E′N=B′E′－B′N= t5555 5555 5 55 15

25t1

25t=5t215t45

∴S

S =525t215t455t215t25

4 综上所述，Sx2 1

0t 2 25 s5t42t 5t2+15t251<t3 4 2 E运动到点E′7∴△BOC∽△E′B′COBBC 25∵OB=2，B′E′=BC=5 525∴CE′=52

∴OE′=OC+CE′=1+57。∴E′（07 32

2，∵y1x23x21(x3)225，∴原抛物线顶点坐标为（ 25， ，∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（ 37， 6.（2012江西南6分）ABCDA（﹣2，0）、B（6，0）、D（0，3），C．CABCD2B【答案】解：（1）过点CCE⊥ABABCDykx3k4y12xABCD2A′B′C′D′B′（6，2）x=6y=122B′6【分析（1）CDC作CE⊥ABE，则△AOD≌△BEC，即可求BEOEC的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数（2）ABCD2B2个单位长度得到的点的坐标即可7.（