初中数学-圆中角平分线模型

有筋=蓟/弦有筋=蓟/弦AIABD.故为等腰直角三角形，/ACD=/BCI>/DAB4BA=45,圆中角平分线模型《广猛说题系列之圆中角平分线模型》＞商州市黄化学校段广猛问颍;如图1所示，0。是Rr&ABC的外接圆，且AC=3,BO4,/ACB的平分线

与。。交于点D,求CD的长.解题前（亩题）；：RiAABC及。。这些最基本的&骨架”都是确定的,角平分线CD也是确定的，整个图中所有的东西都是确定的，既然是确定的，,注定是可解的！首先，同学们不要畏惧这些确定性的题目，而且它们往往不仅不"可怕.•反而可能很打温柔"，父怎么玩她都有可以！七"即常常可以做到可一题多解.此题背景是圆，首先有个基本功,同主们必须形成条件反射，即"角等一弧等一弦等”的迅速转化，如图2所示，由CD是/ACB的平分线知乐/A0A/BCD,从而

解题中（析题）:构思一（见"特殊角"构"解三角形"强1;解题中（析题）:构思一（见"特殊角"构"解三角形"强1;C如图3所示，连接AI%则NANE是确定的，或/JS^―者说其三角图数■值是确定的,即它们所在的直角三角形\三边之比是确定的，旦为3:4:5,也可称这种角为立特殊藤。，7Ae\\另外，由/A35。及AC=3这些确定性条件,结AE一「二七*B合全等三角形判定方法/AA/知，△ACD是一个确定的三角开心从而8也是确定的，解ZkACD即可，而且金怎么确定下来的就怎么求解”！“执黑素因，由因导果，因果循环•，妙趣横生适就是我所谓的白基于确定性思想的因果关系分析法”，它是一种常用的思考问题、解决问题的方式，同学们应该逐渐学会这种分析方法，而且它应该也裳我们去“画图”的基本原理.再过点A作AE_L8于点&则将目标dACD分割为了两个直角三角形，等腰RiA^C34及比△AEDj由AC=£.□算可得AE=GE=-=..再由AE;ED;AD-3:4;5得石1>,从而CD=CE-ED=7°「猛文摘值得一提的是，连接BD,同理也可解△BCD求CD,不再罄述，同学们可自行研究.从,而由CE=CF得3-x=4-x,从,而由CE=CF得3-x=4-x,解得睡匚（见^平^线构“双垂"重D：如图4所示「连接DA及DB,贝UDA=DE,且NADB=gO'见口角平分线⑦―位核形成条件反射K作双垂即过点,D作DI：1CA于点.E,作DF__LCB干点F,则DE=DF：容易证明四边形CEDF为正方形？知CE=CF;另外由立母也易证:RiAAED^RtABFD,设AE=BF=x,贝|]CE=3f,GF=4画C£=—T而Ct^\f2.CE=—.R.22构思三（见等E箱角三角形构"施转"菖^：构思三（见等E箱角三角形构"施转"菖^：连接DA、DB；.易知AABD为等腰直角三角开支其中DA=DB目NAUB-9%••这就为「『旃转”奠定了天然的条件5点D出发有三条线段DA.DC.DB,可将线段D.“绕着点D按顺时针方向旋转如口至DB位置，这样线段DC也会相应旋转90°至DE位普，如图5所示:由旋转易知△注DC登为公EDEf：则AC=BEHZDAC=ZDBE,由修图的内接四边形对角互补“^DZDAC-ZDBC=180>贝J/DBE十ZDBC=1£0D,即/CBE=L80;从而C”B\E三点共线,故ADCE为等腰直角三角开猿易知CE=CB-BE=7,从而CD=—CE=-a/2.值得一提的是，也可将线段DB绕着点D按逆时针方向旋转9。口至DA位置，贝I］线段.DC也会相应旋转9/至相应的位置，不再瑟迷，同学可自行研究，具体可参加本」,作麻诙.一转那些事》,蓝厂人方同广显文摘构思四（作垂线构'切由CT模型）：_设8广显文摘构思四（作垂线构'切由CT模型）：_设8与AB交于点F,连接OD工.则易知OD1AB,再过点C作CE±AB于点、E,构造出“射影型”相似，.如图6所示晨则AE、CE、OE.OD均可求；...g7....12由射留定理口篁得白二=-二OE=OA-AE=—>由面积法知C?E=--/^510CE24易知△CEFsADOF;•且相似比为一=二？则EFCF24口「2412,,==一下即EF=--OE=—f从而DF254935497再CD=——CF=-<2.242_''?因而CF=5EF=--V-,故从而目标线段CI>CE-DE=且（？十3C值得同学从而目标线段CI>CE-DE=且（？十3C值得同学企依托于等艘KiAABD,其中DA=DB且NADB-g。）,分别过当｝声两点,向DC作垂线?垂足分别为E、F,贝I]易知比ZkAl正三处△口BF（AAS）,贝i]DE=Bh且易知TkAEC及△RFC都是等腰直角三角开匆则EC=EA=FI>上面解法中得到的基本结论0斯卜充T中〃全等法制（经好胆友延安贺基旭粥够I），构思五二这里,:由％B向经过等艘RtAABD直角顶点的线段DC作灯双垂”•构造出一粗全等三角形HAADE丝比△DBF（AAS）：,本届即为“一线三直角'I是一种应用极其广濠的基本模型，需要同学们认真反思；琢磨！解题后C思题）：反思是一种重要的习惯，尤其是解题后反思！做一道题就应该真正做到题目中去n真正反思到题目里来，“闭上眼睛”将题目中的来龙去脉再想一遍，日积月累，学习好习惯会慢慢地养成，解题能力也一定会悄无声息地在提升！对梅忠一（见“特殊角”梅“解三角形”整，的反思二普通意义上，初中阶段所谓的灯特殊角”特指3口工4芋、60口这三种甭『但笔者认为只要是已知三角困数值的任何一个确定的角都可以理解为所谓强特殊角力，其所在的直角三角形总是相似的，换言之，其所在的直角三角形三边之比也是确定的.同学们亩题时，往往要先“抓不变量’3尤其是抓这些“不变角'"再结合“比例法”分析图中各线段之间的比例关系，这时于分析问题、口算结果至关重要.在一个三角形中，通过全等的判定方法一旦确定这个三角形是唯一存在的，那么就可以在不破坏其“特殊角”的前提下，通过作高线构造直角三角形，通过解直凭三窜?卵井j这个三角形来，我们来看看下面这个最基本的关于“解三角形〃的模型题：练习1］如图7所示，在APAB中1AB=5,tanZA=-」且tanNB==,求PA及PBJaJ的长.，并求出/nPB的度数.简析二对于求PA、PB的长，在不破坏箕NA及上H的前提下丁通过作高线PG.，构造两个看特殊,直角三甬形,再结合’’方程思想”即可，如图7-1所示；要求/APB的度数，最基本的想法是求出其一个三角函额值，但上A?B是钝角初中阶段，我们只学过“锐角三再鸣数”•，可以通过转化求其补角的度数，如图中所示的ZBPH,通过作高线BH,构造RtZkEPH,由面积法求BH,再用勾股定理求出PH,可发现△BPH为等腰直向三角形,可得NAPB为135\例题中的“构思一”解法，对于学生而言，难在复杂的图形中识别或构造“解三角形”这个基本模型，所以平时学习中，务必不能因题目简单就“一带而过”，这些所谓“简单题”往往就是我们解决复杂问题的“突破口〃，在复杂图形中识别或构造这些简单的“基本模型才是困难所在！解题后反思正是最好的学习习惯,叫那怕题目再简里j我也要反思”！这是一种意识,一种品质,一种提升能力的方式与方法！比如下面这题,对很多学生而言，难度较大？试试看，你还能识别到“不变角",利用比例法口算答案不？（题目来源:高rt陆赞化学校九年级自主练习3）竦习2：如图&所示，已知点A（4,口），O为坐标原点,P是线段0A上任意一点1不含端点O,A）,过P、。两点的二次I函数W和过P、A两点的二;欠函触售的图象开口均向下，它们的顶点分别为B.G射线C®与AC相交于点D.当OD=AD=3时，求这两个二次函数的最大值之和.图81.-：;广眄文摘对构思二（见再平分线构“双垂用崛）的反思:对构思二（见再平分线构“双垂用崛）的反思:再平分线可以说是同学们刚接触几何时最重要的一个概念，也是最基本的一个模型，见角平分线这个条件，就应该想到作“双垂”;甚至有时候证明角平分线，也需要作“双垂”.我们一起来看看下面这个关于角平分线的一个所谓的‘圆中三弦定理“特例：特别说明:以下内容摘自浙江绍兴沈岳夫老师发表于中国数学教育2016年初中版第12期文章《点动图变思构图分类探求寻突破一一对一道九年级期末复习题词忠睡鹤弧感悟》.‘定理1］如图/在Rt△一战:中，N工出耽，‘定理1］如图/在Rt△一战:中，N工出耽，0日为Rt△/此的外接圆，.4平分/月⑵AC+BC谡广星文摘弱化定理1中的条件;如果/小比声跛0,那么公，因，⑪这三者之间又有着什么样的数量关系呢？通过类比探究得到：定理2;如图1。」4起是Oo的两条弦乙且./趾即0,ZACB的平分线交巳炉于点D,则AC+ECYCD85,.〈这个定理是脑圆中三弦定理”的一个特例）2证明：如图以连接皿，叫过点口作/此目两边的垂线DE和DF,垂足分别是E」F.可ijfRtAADE^RtABDF,得黜二即,贝”AC十EC'AC+CF十十CF十AEFE十SAKE,•所以8Q=CDcos-,变形得AC+BCECDmq-,故命题成立.22CE.在RtACDE中J因为cos.ZDCE=二,所以在=①匚口3NDCE,即CD旦交0白于点,心则/£+死上◎物.（还明过程喀.河兴地的读者请宫己思蓍记见〕广西文菊通过对定理1广西文菊通过对定理1、定理2的探究,揭示了命题中条件与隐含条件'结论的内在联系，为寻求解题途径指明了方向,使问题的解法简单流畅、别具一格，达到了化整为简、化难为易的目的，而且还可以开拓学生的思路、提高解题能力，对学生的学习兴趣培养也大有程firi1.上面是沈老师文童所提，如有冒犯，敬请原谅，沈特是本人的偶像哦！上面模型的证明及例题的“构思二”，都可采用见角平分线构“双垂”模型，再分析求解p有的时候反过来，需要证明角平分线的话，也可作“双垂”,证相等即可,比如下面这例；（题目来源:部肺蜥t学楂九年级全品作业案改编）练习3：如图11所示jAABC和&BED均为等边三角形，AD与BC交于点PjEC与BD交于点Q,且与AD交于点M,连接品B,当A、5、E三点共线时，求证二MB平分/AXIE.简析:先证明△ADB刍△CEB（见图11-1）,进一步证明Z1AFB超ZICQB（见图11-2）/再过点H向/AA正的两边作“双垂”（见图11-约，可证明BG=HH,从而问题得解.；至于8G=BH,可以直接由“全等三角形的对应边上的高对应相等”直观感知,但不好直接利用这个结论,可以用面积法证一下，也可以再来一次全等证一下，学生可自行体悟！厂房文福

厂房文福对构思三切等I轴角三角形构"施转”蜘）的反思:"拆去"例题图中的CD。，保窜模型的“骨架也F其实这也是一个常见的基本模型匕笔者称之为'共斜边的等腰直角三角形加直角三角形模型%,如下图所示，详见本人作品《旋转那些事》.已知直角ZkABC和等腰直角△DEC,则AB-AC=^AD.简称“共斜边等腰直角三角形-直角三角形"模型（异侧型）.；-亡1盘二「蔺简称“共斜边等腰直角三角形-直角三角形”模型（同侧型）.关于上面这两个模型，2。16年中考几个地方都有出现，如广州中考压轴题、淮安中考压轴题，需充分引起同学们平时对于几何基本图形积累的重视，以达到在考试中灵活应对的自如，尤其是借助《旋转那些事》，把一些常见的典型模型利用“旋转”思:“曰超‘尸『在一起，使自己对于模型应用达到“无模胜有模〃的境界！再来看一看2015年常州中考填空压轴题：练习4：如下图,在0口的内接四边形加”中,但3,35,/放户6口口,点匚为弧3的中点，则雨的长是1（备用图）（备用图）简析;此题可借助/basndac,“见角平分线构双垂模型内完成J也可借助也目上BCIAL2Q。，“见等腰构旋转模型”完成，均不再瞽述.对构思四及构思五的反思,这两种方法都是考察学生平时对一些全等或相似等基本图形的识别与构造，如构思四中涉及的落射影型相似内及，字形相似”，如构思五中涉及的“一线三直角”等基本图形；如何在复杂的图形中识别到这些基本图形,如何在“残缺的”图形中联想构造出这些基本图形，就是大家学好几何的关键所在」只有对于一些常见基本图形理解